2021年高三上学期入学考试 数学(理) 含答案

2021年高三上学期入学考试数学（理）含答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）
1．设复数满足，则（）
（A）（B）（C）（D）
2．命题“”的否定为
A． B．
C． D．
3．命题是命题的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的定义域为（）
（A）（B）（C）（D）
5．函数的零点所在的大致区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）
6．曲线在点（1，-1）处的切线方程为（）
A． B． C． D．
7．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是2/3，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
8．已知且，则的值为（）
A． B． C． D．
9．若向量、满足，，则向量与的夹角等于（）
A． B． C． D．
10．若正实数满足，则
A．有最大值4 B. 有最小值
C．有最大值D．有最小值
11．已知随机变量的分布列是其中，则
A、 B、 C、0 D、1
12．已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若任意的,不等式恒成立，则当时，的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13．计算定积分 .
14．已知数列满足，且，则数列的前的前项和 = ．
15．与双曲线有相同焦点，且离心率为的椭圆方程为 ．
16．给出下列命题：①已知集合M 满足，且M 中至多有一个偶数，这样的集合M 有6个； ②函数，在区间上为减函数，则的取值范围为； ③已知，则60)61
1(
)31()21()61()3()2(=+++++++f f f f f f ； ④如果函数的图象关于y 轴对称，且，
则当时，；其中正确的命题的序号是 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

）
17．（本小题满分10分）在△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别是，已知.
（1）求sin C 的值；（2）求b 边的长.
18．（本小题满分12分）已知函数(
)()cos sin 244πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭f x x x x ． （1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，
与所成角为， 是的中点，是上的动点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的大小.
20．（本小题满分12分）已知数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求适合方程的正整数的值。

F E D C B
A P
21．（本小题满分12分）已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有 （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值．
22．（本小题满分12分）已知函数，常数。

（1）若是函数的一个极值点，求的单调区间；
（2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）设函数，
求证：)()1(2)2()3()2()1(*
N ∈+>n n n F F F F n n
参考答案 1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D 10．C 11．D 12.C
13．0 14．0 15． 16．②③
17．（1） （2）
18．（1）， （2）最大值为2，最小值为－1.
解 （1）()()cos sin 244πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x
3分
. 4分 6分
（2）由已知得()2sin 22sin 24436ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x f x x x ， 8分
，， 10分
故当即时，；
故当即时，，
故函数g （x ）在区间上的最大值为2，最小值为－1. 12分
19．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．
设，
则，，
于是，，，
则，
所以．………………6分
（Ⅱ）若，则，，
设平面的法向量为，
由，得：，令，则，
于是，而
设与平面所成角为，所以，
所以与平面所成角为．
20．（Ⅰ）（Ⅱ）100
试题解析：（Ⅰ）时， （2分） 时，11111112()1212
n n n n n n n n S a S S a a S a ----⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪=-⎪⎩，， （4分） 是以为首项，为公比的等比数列， （6分） （Ⅱ）11()3313111log (1)log (1)23
n n n n n n S a b S n ++-===-==-+， （8分）
1223111111111111()()()23341222
n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-+++ （11分） （12分）
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为6．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为
由已知得，
又点在椭圆上，
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可知，四边形为平行四边形 =4
设直线的方程为，且
由得
=+==
==
令，则 ==，
又在上单调递增
的最大值为
所以的最大值为6．
考点：椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．
22．试题解析：解：（1），
∵是的一个极值点，∴
令，得，令，得；
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是
（2）∵在是单调递增函数，则对恒成立
即对恒成立，对恒成立
令知对恒成立
在单调递增
∴，又，从而
（3），
)212()212)(111()2()2()1(n
n n F F F +++= 因为)2)(1(12112)1)(2()212)(111(k n k k n k k k n k k n k n k n k k -++-+++-++-=-+-+++ k k nk n k k n --++=++->22222)1)(2(
)1,,1,0(22)12(22-=+>--++=n k n k n k n
所以，
22)1
11)(1(22)212)(111(+>+++++>-+-++
+n n n n n n k n k n k k 相乘，得：n n n n n n n n F F F )1(2)22()212()212)(111()2()2()1(+=+>+++= 考点：1．导数的综合应用；2．放缩法；3．基本不等式；4．倒序相乘法．
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}35086 890E 褎26771 6893 梓21498 53FA 叺32491 7EEB 绫20074 4E6A 乪39273 9969 饩4<31514 7B1A 笚36425 8E49 蹉。