河北省张家口市私立第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省张家口市私立第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 偶函数f（x）在（0，+∞）上递增，a=f（log2）b=f（）c=f（log32），则下列关系式中正确的是（）
A．＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
参考答案：
C
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】函数f（x）为R上的偶函数，可得a=f（log2）=f（log23），利用对数函数的单调性及其f（x）的单调性即可得出．
【解答】解：∵函数f（x）为R上的偶函数，∴a=f（log2）=f（log23），
∵0＜log32＜log23＜，函数f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f（log32）＜f（log23）＜f（），
∴c＜a＜b．
故选：C．
2. 已知数列为等差数列，为的前项和，，则的值为（）A． B． C．D．64 参考答案：
B
3. 已知函数，则是（）
A．单调递增函数 B．单调递减函数 C．奇函数 D．偶函数参考答案：
D 4. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为
A.3
B. -6
C. 10
D. 12
参考答案：
5. 设集合，，则等于（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
试题分析：由，得，解得，由，得，因此，故答案为A.
考点：1、指数不等式的应用；2、集合的交集.
6. 全集，则集合M= （）
A．{0，1，3} B．{1，3} C．{0，3} D．{2} 参考答案：
A
略
7. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A．B．C．3 D．2
参考答案：
A
试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，椭圆和双曲线的离心率分别为
由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为即即
在双曲线中，①化简为即即③
联立②③得，
由柯西不等式得即（
即，当且仅当时取等号，故选A
考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理
8. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．B． C．D．
参考答案：
D
略9. 若实数x，y满足不等式组，则z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值为（）
A．B．10 C．D．17
参考答案：
C
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义：动点P（x，y）到（1，﹣1）距离的平方，即可求最小值．
【解答】解：设z=（x﹣1）2+（y+1）2，则z的几何意义为动点P（x，y）到（1，﹣1）距离的平方．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知点P到A点的距离最小，即A点到直线x+2y﹣5=0的距离最小．
由点到直线的距离公式得d==，
所以z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值为d2=．
故选：C
10. 已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）
A．﹣3 B．1 C．3 D．0
参考答案：
B
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=x ﹣2y 对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z 取得最大值1．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC 及其内部，其中A （﹣1，1），B （2，1），C （1，0） 设z=F （x ，y ）=x ﹣2y ，将直线l ：z=x ﹣2y 进行平移， 当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F （1，0）=1 故选：B ．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x ﹣2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平面向量与的夹角为，，，则
.
参考答案：
2
12. 数列
中，
，则。

参考答案：
13. （坐标系与参数方程）在极坐标系中圆
的圆心到直线
的距离是
参考答案：
1
14. 如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5，则输出的y 的值为 ．
参考答案：
﹣15
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算
分段函数y=的值，代入x=5，即可得到答案．
【解答】解：执行算法流程图，可得该程序的作用是计算分段函数y=的值，
x=5，
不满足条件x ＜0，有y=5﹣4×5=﹣15． 输出y 的值为﹣15． 故答案为：﹣15．
15. 已知函数f （x ）＝，若f （x ）存在零点，则实数a 的取值范围是
_______．
参考答案：
略
16. 定义在上的函数满足.若当时.,则当
时,
= .
参考答案：
略
17. 已知函数和函数的图像关于直线对称，
则函数的解析式为.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得x i=80， y i=20， x i y i=184， x=720．
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b，其中，为样本平均值．
参考答案：
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）由题意可知n，，，进而代入可得b、a值，可得方程；
（2）由回归方程x的系数b的正负可判；
（3）把x=7代入回归方程求其函数值即可．
【解答】解：（1）由题意知n=10， ==8， ==2，
又x﹣n×2=720﹣10×82=80， x i y i﹣n=184﹣10×8×2=24，由此得b═=0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，
故所求回归方程为=0.3x﹣0.4．…
（2）由于变量y的值随x的值增加而增加（b=0.3＞0），故x与y之间是正相关．…
（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．…
19. （本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。

证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

参考答案：
20. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：
休年龄政策”的支持度有差异；
4人中支持“延迟退休”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 参考数据： K 2=．
参考答案：
【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算
K
2
的值，即可得到结论；
（Ⅱ）ξ
的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表：
K2=≈3.429＞2.706，
所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=+=，
P（ξ=2）=+=，
P（ξ=3）==，
所以ξ的分布列是
所以ξ的期望值是Eξ=0×+1×+2×+3×=．21. （本小题满分12分）设
，是常数，且
（1）求的单调递增区间；
（2）若在时取得极大值，且直线与函数的图象有三个交点，求实数的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）∵，
∴
①当时, 有，由得或，∴的单调递增区间是和②当时, 恒成立,且只有，∴的单调递增区间是
③当时, 有，由得或，∴的单调递增区间是和
…………6分
（Ⅱ）∵在时取得极大值，由（Ⅰ）知，，∴，
，∵直线与函数的图象有三个交点，
∴，解得…………12分22. 如图，将长，宽AA1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：
（1）求平面APQ与底面ABC所成三面角的正切值；
（2）求三棱锥A1—APQ的体积。

参考答案：。