高三数学上学期期末考试试题含解析 试题

滨海新区七所2021届高三数学上学期期末考试试题〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、选择题〔一共9小题〕
1.记全集U =R ，集合{
}
2
|16A x x =≥，集合{
}|22x
B x =≥，那么(
)U
A B =〔 〕
A. [)4,+∞
B. (]1,4
C. [)1,4
D. ()1,4
【答案】C 【解析】 【分析】
求得集合{|4A x x =≤-或者4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}U
A x x =-<<，再结合
集合的交集运算，即可求解.
【详解】由题意，全集U =R ，集合{
}
2
|16{|4A x x x x =≥=≤-或者4}x ≥， 集合{
}
|22{|1}x
B x x x =≥=≥， 所以
{|44}U
A x x =-<<，所以()[){|14}1,4U A
B x x =≤<=.
应选：C .
【点睛】此题主要考察了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 2.直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，其中a R ∈，那么“1a =-〞是“12l l ⊥〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由12l l ⊥时，得到(2)1(2)0a a a -⨯+-=，解得1a =-或者2a =，再结合充分条件和必要条件的断定，即可求解.
【详解】由题意，直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=， 当12l l ⊥时，可得(2)1(2)(2)(1)0a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或者2a =， 所以“1a =-〞是“12l l ⊥〞的充分不必要条件. 应选：A .
【点睛】此题主要考察了两直线的位置关系，以及充分条件、必要条件的断定，其中解答中熟记两直线的位置关系，结合充分条件和必要条件的关系进展断定是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
3.3log 2a =，5log 6b =，ln 2c =，那么a ，b ，c 的大小关系为〔 〕 A. a c b <<
B. c a b <<
C. a b c <<
D.
c b a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数函数的图象与性质，求得(0,1)a c <∈，(1,)b ∈+∞，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的性质，可得3log 2(0,1)a =∈，5log 6(1,)b =∈+∞， 又由321
log 2log 3a ==
，21ln 2log c e
==，
因为3e >，所以22log 3log 1e >>，可得1a c <<， 所以a c b <<.
【点睛】此题主要考察了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 4.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
()
2
2
sin sin sin sin sin B C A B C -=-，a =2b =，那么ABC ∆的面积为〔 〕
A. 2
B.
C. 4
D. 【答案】B 【解析】 【分析】
由正弦定理化简得222b c a bc +-=，再由余弦定理得1cos 2A =
，进而得到sin 2
A =，利用余弦定理，列出方程求得4c =，最后结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-， 由正弦定理，可得()2
2b c a bc -=-，即222b c a bc +-=，
又由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得sin A ==，
因为a =2b =，
由余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，即22222c c =+-， 即2280c c --=，解得4c =，
所以三角形的面积为11sin 24222
S bc A ==⨯⨯⨯=. 应选：B .
【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解
是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.
5.抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22
221y x a b
-=〔0a >，0b >〕的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的间隔 为4，那么双曲线的方程为〔 〕
A. 22
1916x y -=
B. 2211641x y -=
C. 2214116
y x -=
D.
22
1916
y x -= 【答案】D 【解析】
【分析】
由抛物线
2
120
x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的间隔 为4，求得4b =
，进而得到9a =，即可求得双曲线的HY 方程，得到答案. 【详解】由题意，抛物线
2
120
x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ， 即双曲线22
221y x a b
-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，
又由双曲线22
221y x a b
-=的一条渐近线的方程为
a y x
b =，即0ax by -=， 所以焦点(0,5)F 到0ax by -=的间隔
54b
c
=
=， 所以4b =
，又由9a ==，
所以双曲线的方程为22
1916
y x -=.
应选：D .
【点睛】此题主要考察了双曲线与抛物线的HY 方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属
于根底题.
6.?九章算术?中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一高四尺，莞第一高一尺，以后蒲每高前一天的一半，莞每高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍〔 〕 A. 4天 B. 5天
C. 6天
D. 7天
【答案】B 【解析】 【分析】
由蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为3
18()2
n n S -=-，又由莞生长构成首项为14b =，公比为1
2q =的等比数列，其前n 项和为21n n T =-，根据
4n n T S =，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，蒲第一高四尺，以后蒲每高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，
公比为112q =的等比数列，其前n 项和为31
4[1()]
128()1212
n n n S -⨯-=
=--， 又由莞第一高一尺，每高前一天的两倍，那么莞生长构成首项为14b =，公比为1
2q =的
等比数列，其前n 项和为1[12]
2112n
n n T ⨯-==--，
又因为4n n T S =，即3
1214[8()]2
n n --=⨯-，解得5n =.
应选：B .
【点睛】此题主要考察了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，纯熟应用等比数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.
7.函数(
)sin f x x x ωω=〔0>ω，x ∈R 〕的图象与x 轴交点的横坐标构成一个
公差为
2
π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π
个单位，纵坐标扩大到原来
的2倍得到函数()g x 的图象，那么以下关于函数()g x 的命题中正确的选项是〔 〕 A. 函数()g x 是奇函数 B. ()g x 的图象关于直线6
x π
=对称
C. ()g x 在,312ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D. 当,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 的值域是[]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】
由三角函数恒等变换的公式和三角函数的图象变换，得到()4sin(2)3
g x x π
=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项断定，即可求解.
【详解】由题意，函数()sin 2sin()3
f x x x x π
ωωω==-，
因为函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为
2
π
的等差数列， 可得
22
T π=，即T π=，所以2ω=，即()2sin(2)3f x x π=-，
把函数()f x 沿x 轴向左平移3
π
个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，可得函数()4sin[2()]4sin(2)333g x x x πππ=+
-=+， 可得函数()4sin(2)3
g x x π
=+为非奇非偶函数，所以A 不正确；
由()4sin(2)663g πππ=⨯+=，所以6
x π
=不是函数的对称轴，所以B 不正确；
由,312x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，那么2,332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，可得函数()g x 在
,312ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以C 正确； 由,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，那么220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
当203
x π
+=时，即6
x π
=-
，函数获得最小值，最小值为()06
g π-=， 当23
2
x π
π
+
=
时，即12x π
=
，函数获得最大值，最大值为(
)412
g π
=， 所以函数的值域为[]0,4，所以D 不正确. 应选：C .
【点睛】此题主要考察了三角函数的图象变换，以及三角函数图象与性质的综合应用，其中解答中先根据三角恒等变换的公式和三角函数的图象变换得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，逐项断定是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 8.在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2CN NB =，假设
AM AC AN λμ=+，那么
1
1
λ
μ
+
=〔 〕
A.
13
12
B.
6413 C. 3512
-
D. 4013
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的运算法那么，化简得到131124AM AC AN =-，得到131
,124
λμ==-，即可求解.
【详解】由题意，根据向量的运算法那么，可得：
11
()66
AM AC CM AC AB AC AC CB =+=-
=-+ 515151131
()666464124
AC CB AC CN AC AN AC AC AN =-=-=--=-， 又因为AM AC AN λμ=+，所以131,124λμ==-， 所以
1
1
1240
41313
λ
μ
+
=
-=-. 应选：D .
【点睛】此题主要考察了平面向量的根本定理的应用，其中解答中纯熟应用平面向量的根本定理，纯熟应用向量的运算法那么是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 9.函数()233
23x
x
f x x -=++-，假设函数()()()lo
g 2a g x f x x =-+〔0a >，1a ≠〕
在区间[]1,1-上有4个不同的零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕
A. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. ()2,+∞
C. 3
73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D.
373,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
求得函数()f x 为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数()g x 在区间[]1,1-上有4个不同的零点，转化为()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，函数()233
23x
x
f x x -=++-，[]1,1x ∈-
可得()()2
2
332()33323x
x
x
x
f x x x f x ---=++--=++-=，
所以函数()f x 为[]1,1-上的偶函数，
当[]0,1x ∈时，()ln3ln34ln3()43333x
x
x
x
f x x x --'=-=⋅-++，
可得()0f x '>，所以函数在[]0,1上单调递增，所以在[]1,0-单调递减， 又由()()7
01,13
f f =-=
，
所以函数()y f x =的图象，如下图，
要使得函数()()()log 2a g x f x x =-+在区间[]1,1-上有4个不同的零点， 即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点， 那么满足0log 12a <<，解得2a >， 即实数a 的取值范围是()2,+∞. 应选：B .
【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中纯熟应用导数和函数的根本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与运算才能，属于中档试题.
二、填空题〔一共6小题〕 10.复数21i
z i
+=-，那么复数z 的虚部为______. 【答案】
32
【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，化简得13
22
z i =
+，进而求得复数的虚部，得到答案.
【详解】由题意，复数()()()()2121311122i i i z i i i i +++=
==+--+，所以复数z 的虚部为3
2
. 故答案为：
3
2
. 【点睛】此题主要考察了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，纯熟应用复数的除法运算法那么化简是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
11.二项式10
22x ⎫⎪⎭，那么该展开式中的常数项是______.
【答案】180 【解析】 【分析】
求得二项展开式的通项1052
1
10
2r r
r
r T C x
-+=⋅，令2r ，即可求解展开式的常数项，得到答
案.
【详解】由题意，二项式10
22x ⎫⎪⎭的展开式的通项为
105
102110
1022()2r
r
r
r r r
r T C C x x
--+==⋅， 令2r
，可得22
3102180T C ==，即展开式的常数项是180.
故答案为：180.
【点睛】此题主要考察了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
12.圆C ：222260x y x y +---=.直线l 过点()0,3，且与圆C 交于A 、B 两点，AB 4=，
那么直线l 的方程______.
【答案】3y =或者4390x y -+=
【解析】 【分析】
由圆C 得到圆心(1,1)C
，半径为R =2d =，再由圆心到直线的间隔 ，列出方程，求得k 的值，即可求得直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆C ：2
2
2260x y x y +---=，可化为22
(1)(1)8x y ，
可得圆心(1,1)C
，半径为R =
设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，
又由圆的弦长公式，可得AB =
4=，即2d =， 根据圆心到直线的间隔
为2d =
=，解得0k =或者43k =，
所以直线l 的方程3y =或者4390x y -+=.
【点睛】此题主要考察了圆的方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 13.底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.正四棱锥的高为2，体积为12，那么该正四棱锥的外接球的外表积为______. 【答案】
1694
π
【解析】 【分析】
根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在SAC ∆中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的外表积公式，即可求解.
【详解】如下图，正四棱锥S ABCD -，设正方形ABCD 的底面边长a ， 因为四棱锥S ABCD -的体积为12，即2
2
112123
3
a SO a ⨯⨯=⨯⨯=
，解得a =， 再正方形ABCD 中，可得6AC =，
在直角SAO ∆中，2,3SO AO ==，可得222313SA =+=， 在直角SOC ∆中，2,3SO OC ==，可得222313SC =+=，
在SAC ∆中，由余弦定理可得222(13)(13)65
cos 1321313
ASC +-∠==-⨯⨯，
所以2
12
sin 1cos 13ASC ASC ∠=-∠=
， 那么SAC ∆外接圆的直径为132sin 2AC R ASC =
=∠，解得13
4
R =， 即四棱锥S ABCD -外接球的半径为13
4
R =，
所以外接球的外表积为2
21316944()44
S R πππ==⨯=，
故答案为：1694
π
.
【点睛】此题主要考察了正四棱锥的构造特征，以及外接球的外表积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的构造特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考察了空间想象才能，以及推理与运算才能，属于中档试题.
14.世界第三届无人驾驶智能大赛在召开，如今要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、效劳四项不同工作，假设小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案一共有______种. 【答案】36 【解析】 【分析】
根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.
【详解】根据题意可分为2种情况讨论： 〔1〕假设小张或者小赵入选，那么有1
1
3
223
24C C A =种不同的选法；
〔2〕假设小张，小赵都入选，那么有22
2312A A =种不同的选法，
综上可得，一共有241236+=种不同的选法. 故答案为：36.
【点睛】此题主要考察了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.
15.0x >，0y >，那么
2222
282xy xy
x y x y +++的最大值是______.
【答案】
23
【解析】 【分析】
将2222
282xy xy
x y x y +++化简、变形为43()42()4x y y x
x y x y y x y x
++++，然后利用根本不等式和对勾函
数，即可求解.
【详解】由题意，33222242242243()
2312821016()16()10
x y xy xy x y xy y x
x y x y x y x x y y y x
+++==++++++
2443()3()442()2()4x y x y y x y x x y x y x y y x y x y x
++==++++
+， 设4x y t y x =
+
，那么44x y t y x =+≥=，当且仅当4x y y x =，即2x y =取等号，
又由2
y t t
=+在[4,)+∞上单调递增， 所以2y t t =+
的最小值为92
，即29
2t t +≥，
所以43()
324223()4x y
y x
x y
t x y y x t y x +≤=+++
+， 所以2222242xy xy x y x y +++的最大值是2
3
.
故答案为：
2
3
. 【点睛】此题主要考察了根本不等式的应用，其中解答中对式子进展变形、化简，以及合理利用换元法，结合根本不等式求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.
三、解答题〔一共5小题〕
16.某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在[]100,150内，其中语文成
绩分组区间是：[)100,110，[)110,120，[)120130
,，[)130140,，[]140,150.其成绩的频率分布直方图如下图，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比方下表所示：
:x y
1:2
2:1
3:5
3:4
语文人数x 24 3 数学人数y
12
4
〔1〕求图中a 的值及数学成绩在[)130140
,的人数； 〔2〕语文成绩在[]140,150的3名学生均是女生，数学成绩在[]140,150的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数〞，求事件M 发生的概率；
〔3〕假设从数学成绩在[]
130,150的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在[]140,150的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .
【答案】〔1〕数学成绩在[)130140
,的人数为8人〔2〕31
35
〔3〕详见解析 【解析】 【分析】
〔1〕由根据频率分布直方图的性质，求得0.030a =，再根据频率分布直方图数据，即可求解；
〔2〕由事件M 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生三种情况，即可求解相应的概率；
〔3〕由题意，得到X 可能取值有0,1,2，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】〔1〕由题意，根据频率分布直方图的性质，
可得()0.0050.0200.0400.005101a ++++⨯=，解得0.030a =.
那么语文成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130
,，[)130140,，[]140,150中的人数分别为3,24,18,12,3，
那么数学成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130
,，[)130140,，[]140,150中的人数分别
为6,12,30,8,4，
所以数学成绩在[)130140
,的人数为8人. 〔2〕从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数〞， 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生，三种情况：
所以事件M 发生的概率()2234
43434174
31
35
C C C C C P M C ++==. 〔3〕由题意可知X 可能取值有0，1，2.
()208421214033C C P X C ===，()118421216133C C P X C ===，()02
842
1231
23311
C C P X C ====， X 的分布列为
所以()1416120123333113
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】此题主要考察了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望
的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布列是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.
17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2
*
n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且2
1a
+，41
a +分别为数列{}n
b 第二项和第三项.
〔1〕求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； 〔2〕假设数列1
1
n n n n n c a b a a +=+
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】〔1〕()*
21n a n n N =-∈;2n n
b
=，*n N ∈〔2〕
21
n
n + 【解析】 【分析】
〔1〕由数列的通项n a 和n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列{}n b 的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项公式，得到答案.
〔2〕由〔1〕可得()()()1
2122121n
n c n n n =-+
-+，利用 “裂项法〞和“乘公比错位相
减法〞，即可求解数列{}n c 的前n 项和，得到答案.
【详解】〔1〕由题意，数列{}n a 的前n 项和为2
n S n =，
当1n =时，11a =
当2n ≥时∴121n n n a S S n -=-=-， 当1n =时也满足上式
所以数列{}n a 的通项公式为(
)*
21n a n n N
=-∈.
设数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，那么22124
311418a b b q
a b b q +===⎧⎨+===⎩，
∴12b =，2q
，∴2n n b =，*n N ∈.
〔2〕由〔1〕可得11n n n n n c a b a a +=+
，所以()()()12122121n
n
c n n n =-+-+
设(){}212n
n -前n 项和为成n A ，()()12121n n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭
前n 项和为n B ，
()23123252212n n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- ()23412123252212n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯
∴()2
3
1
2222222212
n
n n A n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯
()11822221212
n n n ++-⨯=+---()1
6322n n -=-+-
∴()1
6232n n A n +=+-⨯，*n N ∈
∵
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
∴111111123352121n B n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
∴()1
6232
21
n n n
T n n +=+-⨯+
+ 【点睛】此题主要考察了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法〞和“乘公比错位相减法〞求解数列的前n 项和，其中解答中熟记数列的通项n a 和n S 的关系，纯熟应用“裂项法〞和“乘公比错位相减法〞，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.
18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，13
BCC π
∠=
，1BC =，
12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.
〔1〕求证：1C B ⊥平面ABC ； 〔2〕求二面角11A EB A --的余弦值；
〔3〕在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为
11
，假设存在，求出CM
CA
的值；假设不存在，请说明理由.
【答案】〔1〕证明见解析〔2〔3〕存在,13CM CA =或者523
CM CA =.
【解析】 【分析】
〔1〕根据线面垂直的断定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .
〔2〕以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； 〔3〕假设存在点M ，设(),,M x y z ，根据CM CA λ=，得到EM 的坐标，结合平面11A B E 的法向量为列出方程，即可求解.
【详解】〔1〕由题意，因为1BC =，12CC =，13
BCC π
∠=
，∴1BC
又∴222
11BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，
∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC
〔2〕以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，
那么有()0,0,2A ，()1B -，12E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，()
1A -，
设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =
()
11,3,2AB =--，13,,222AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
∵100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴111111320
13
202
2x y z x y z ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，令13y =，那么11x =，∴()
1,3,1n = 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，()110,0,2A B =-，133
,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
， ∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2033
202
2z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，令3y =，那么1x =，∴()
1,3,0m =， 2m =，5n =，4m n ⋅=，∴425
cos ,5
25
m n m n m n
⋅=
=
=
. 设二面角11A EB A --为α，那么25
cos cos ,5
m n α==. ∴设二面角11A EB A --的余弦值为
25
5
. 〔3〕假设存在点M ，设(),,M x y z ，∵CM CA λ=，[]
0,1λ∈，
∴()()1,,1,0,2x y z λ-=-，∴()1,0,2M λλ-∴13
,,222EM λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
设平面11A B E 的一个法向量为()
1,3,0m =，
∴2
2
13211
2211
13
2424
λλλ--=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=.
即()()312350λλ--=，∴1
3λ=
或者523λ=，∴13CM CA =或者523
CM CA =.
【点睛】此题考察了线面平行的断定与证明，以及空间角的求解问题，意在考察学生的空间想象才能和逻辑推理才能，解答中熟记线面位置关系的断定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系断定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19.椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率2
e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭
圆上一动点M 到2F 的最远间隔 1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. 〔1〕求椭圆C 的HY 方程；
〔2〕当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；
〔3〕直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.
【答案】〔1〕2
212
x y +=〔2〕直线AB 的方程为1y x =-+或者1y x =-〔3〕存在，()2,0P
【解析】 【分析】
〔1〕由椭圆C 的离心率2
e =
，且椭圆上一动点M 到2F 的最远间隔 1，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的HY 方程； 〔2〕设直线AB l ：()1y k x =-，那么1AF l ：()1
1y x k
=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程；
〔3〕设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以0AP BP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.
【详解】〔1〕由题意，椭圆C 的离心率2
e =
，且椭圆上一动点M 到2F 的最远间隔 为
1，
可得2221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪
⎪⎩
，解得11
a c
b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的HY 方程为2
212x y +=.
〔2〕由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，那么1AF l ：()1
1y x k
=-
+， ∴()()11
1y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩
，得()22
11k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()
()
222
2
2
2
2
18211k
k k
k
-+
=++，427610k k --=，∴21k =，
直线AB 的方程为1y x =-+或者1y x =-.
〔3〕设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，
()22
122
y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222
124220k x k x k +-+-=， ∴2
122412k x x k +=+，2122
2212k x x k
-=+， ∵11AP y k x m =
-，2
2BP y k x m =-，所以()()()()
1221120AP BP
y x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .
【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆〔圆锥曲线〕方程，应用一元二次方程根与系数的关系进展求解，此类问题易错点是复杂式子的变形才能缺乏，导致错解，能较好的考察考生
的逻辑思维才能、运算求解才能、分析问题解决问题的才能等. 20.函数()()sin 1ln f x m x x =-+.
〔1〕当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性； 〔2〕当0m =且1
a e ≥-时，()()1
g x af x x
=-+，求函数()g x 在(]0,e 上的最小值； 〔3〕当0m =时，()()1
(2h x f x b x
=+
-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>. 【答案】〔1〕()f x 在()0,1上单调递增〔2〕()min 1
g x a e
=-〔3〕证明见解析
【解析】 【分析】
〔1〕求得函数的导数()()1cos 1f x x x
'=--+，结合导数的符号，即可求得函数的单调性； 〔2〕由()1ln g x a x x
=-，求得()2
1
ax g x x +'=-，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案. 〔3〕由()1ln 2h x x b x =+
-，根据题意，得到111ln 02x b x +
-=，22
1ln 02x b x +-=， 两式相减，
12
1212
2ln x x x x x x -=
，令()120,1x t x =∈，得到函数()1
2ln l t t t t =--，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】〔1〕由题意，函数()()sin 1ln f x x x =-+，那么()()1
cos 1f x x x
'=--+， 又∵()0,1x ∈，∴
1
1x
>，()cos 11x -<，∴()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递增. 〔2〕由()()11
ln g x af x a x x x =-+
=-，那么()2211a ax g x x x x
+'=--=-， 〔1〕当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时图数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，
∴函数()g x 在x e =处获得最小值，即()()min 1
(g x g e a e
==-； 〔2〕当0a <时，令()10g x x a
'=⇒=-， 当1e a -
≥时，即当1
0a e
-≤<，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时函数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()g x 在x e =处获得最小值， 即()()min 1
g x g e a e
==-； 综上所得()()min
1
g x g e a e
==-.
〔3〕证明：根据题意，()()1
ln 02h x x b x x
=+->， ∵1x ，2x 是函数()1
ln 2h x x b x
=+-的两个零点， ∴111ln 02x b x +
-=，22
1ln 02x b x +-=. 两式相减，可得1221
11
ln
22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴121212
2ln x x x x x x -=，那么12112
12ln x x x x x -=，2
1
21
2
12ln x
x x x x -=. 令12
x t x =，()0,1t ∈，那么1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t
--
-+=+=. 记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，那么()()2
21t l t t
-'=.
又∵()0,1t ∈，∴()0l t '≥恒成立，故()()1l t l <，即1
2ln 0t t t
--<.
可得1
12ln t t t
-
>，∴121x x +>.
【点睛】此题主要考察导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考察了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理才能与计算才能，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。