复数1

一．选择题
1．若复数(a∈R)是纯虚数,则实数a的值为（）
A.-2
B.4
C.-6
D.6
2．已知复数(x-2)+yi(x、y∈R)的模为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
3．若复数+(x2-8x+15)i是实数，则实数x的值是（）
A.1，3，5
B.5
C.3，5
D.1，3
4．设ω=-+i,A={x|x=ωk+ω-k,k∈Z}，则集合A中的元素有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5．在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6．在复平面内,复数ω=-+i对应的向量为,复数ω2对应的向量为.那么向量
对应的复数是
A.1
B.-1
C.i
D.-i
7．设复数ω=-+i,则1+ω等于( )
A.-ω
B.ω2
C.-
D.
8．计算的值等于（）
A.1
B.-1
C.i
D.-i
9．已知复数z1=m+2i，z2=3-4i，若为实数，则实数m的值为( )
A. B. C.- D.
10．设z1=2-i，z2=1+3i，则复数z=的虚部为( )
A．1 B．2 C．-1 D．-2
11．若复数(t∈R)的实部与虚部之和为0，则t为( )
A．-1 B．0 C．1 D．2
12．等于( )
A. B.
C. D.-
二．填空题
1．若复数(1-a)+(a2-4)i(i为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数a的范围为____________.
2．已知复数z=x+yi(x、y∈R)，满足,则|z|=____________.
3．复数z满足（1+2i）z=4+3i,那么z=______________.
4．若z∈C,且(3+z)i=1,则z=________.
三．解答题
1．已知复数z1=2+i,2z2=,
(1)求z2;
(2)若△ABC三个内角A、B、C依次成等差数列,且u=c os A+2i c os2,求|u+z2|的取值范围. 2．证明在复数范围内,方程|z|2+(1-i)-(1+i)z=(i为虚数单位)无解.
3．设复数z=cosα+isinα,u=cosβ+isinβ,z+u=+i.
(1)求tan(α+β);
(2)求z2+zu+u2的值.
4．已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对于任意x∈R均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范
围.
5．已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i为虚数单位),z=+|ω-2|,求一个以z为根的实系数一元二
次方程.
6．求1+2i+3i2+4i3+…+2 006·i2 005.
一．选择题
1．解析: ==(a+6)+(3-2a)i.
∵是纯虚数,
∴
∴a=-6.
答案:C
2．解析:∵｜x-2+yi｜=,
∴(x-2)2+y2=3.
∴(x,y)在以C(2，0)为圆心、以为半径的圆上.
如上图，由平面几何知识知≤.
答案:D
3．解析：由题意，得x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.由于当x=3时，分式无意义，
所以x=5.
答案:B
4．解析：设ω=-+i,则ω3k=1,ω3k+1=ω,ω3k+2=ω(k∈Z),
①当k=3n,n∈Z时，x=1+1=2;
②当k=3n+1,n∈Z时，x=ω+= ω+ω2=ω+ω=-1;
③当k=3n+2,n∈Z时，x=ω2+=ω2+ω=-1.
答案:B
5．解析:+(1+i)2=+2i-2=,∴位于第二象限.
答案:B
6．解析：∵ω2=--i,∴对应的复数为ω2-ω=-i.
答案：D
7．解法一:由ω及的性质,ω=|ω|2=1,=,又=--i,1+ω=+i=-=-.
解法二:在坐标系中,作出ω、1+ω、、的对应向量,比较得解.
答案:C
8．解析：=
答案:C
9.解析：本题考查复数的代数形式的乘法与除法运算；据题意有
∈R,故4m+6=0m=-.
答案:B
10. 解析：本题考查复数的代数运算及复数实部和虚部的判断．
由题得z=,所以，z的虚部为1.
答案:A
11. 解析：本题考查了复数的运算知识.将已知复数变形得
,此复数实部与虚部和为0,则有
=0,解得t=0.
答案:C
12. 解析：本题考查复数代数形式运算；原式
=.
答案:B
二．填空题
1. 解析：本题考查复数概念以及不等式组解法等问题.由题意知解之得1＜a＜
2.
答案：(1，2)
2. 解析：由,得,
∴，解得x=-1，y=5，∴|z|=.
答案：
3. 解析：z==2-i.
答案：2-i
4. 解析:设z=a+b i(a\,b∈R),由(3+z)i=1,
得(a+3+b i)i=(a+3)i-b=1,
∴a=-3,b=-1.
答案：-3-i
三．解答题
1. 解:(1)z2=
= =-i.
(2)2B=A+C,又A+B+C=180°,
∴B=60°,A+C=120°. u=cos A+2cos2i , =cos A+(2cos2-1)i=cos A+cos C i.
u+z
2
|=
∴|u+z
2
.
∵0＜A＜120°,∴60°＜2A+60°＜300°.
∴cos(2A+)=-1,|u+z2|min =.
当cos(2A+)=时,|u+z2|m a x =(取不到),
∴|u+z
|∈［,).
2
2. 证明：原方程化简为|z|2+(1-i)-(1+i)z=1-3i. 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得
x2+y2-2x i-2yi=1-3i,
将②代入①,整理得8x2-12x+5=0.(*)
∵Δ=-16＜0,∴方程(*)无实数解.
∴原方程在复数范围内无解.
3. 解:(1)因为z+u=(cosα+cosβ)+i(sinα+sinβ)=+i,
所以
即
两式相除,得tan=,
所以tan(α+β)=.
(2)因为z2+zu+u2
=［cos2α+cos2β+cos(α+β)］+i［sin2α+sin2β+sin(α+β)］ =［2cos(α-β)+1］［cos(α+β)+isin(α+β)］,
又因为(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2
=()2+()2=1,
所以2cos(α-β)+2=1, 即2cos(α-β)+1=0. 所以z2+zu+u2=0.
4. 剖析:求出|z
1|及|z
2
|，利用|z
1
|＞|z
2
|问题转化为x∈R时不等式恒成立问题.
解:∵|z
1|＞|z
2
|,
∴x4+x2+1＞(x2+a)2.
∴(1-2a)x2+(1-a2)＞0对x∈R恒成立.
当1-2a=0，即a=时，不等式成立；
当1-2a≠0时,
-1＜a＜.
综上,a∈(-1,］.
5. 解法一:∵ω(1+2i)=4+3i,
∴ω==2-i.
∴z=+|-i|=3+i.
若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,
则必有共轭虚根=3-i.
∵z+=6,z·=10,
所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0. 解法二:设ω=a+bi(a、b∈R),
a+bi-4=3i-2ai+2b,
得
∴ω=2-i,以下同解法一.
6. 解:设S=1+2i+3i2+…+2 006·i2 005,
则iS=i+2i2+3i3+…+2 005·i2 005+2 006·i2 006, ∴(1-i)·S=1+i+i2+…+i2 005-2 006·i2 006
=+2 006.
∴S=+
=i+1 003(1+i)
=1 003+1 004i.
一、选择题
1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（ ）
A ．i +1
B ．i -1
C ．i +-1
D ．i --1
2．0=a 是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）
A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3．在复平面内，复数
i
i +-12对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
4．设复数ω++-=ω1,2
3
21则i =（ ）
A ．ω-
B ．ω
-
1 C ．2ω D ．
2
1ω
5．设R ,,,∈d c b a ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是（ ）
A ．0ad bc -=
B ．0ac bd -=
C ．0ac bd +=
D ．0ad bc +=
6．如果复数i
bi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ）
A ．3
2-
B ．
3
2 C ．2 D ．2
7．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）
A ．22±
B ．22-
C ．i 22±
D ．i 22-
8．设O 是原点，向量OB OA ,对应的复数分别为i 32-，i 23+-，那么向量BA 对应的复数是（ ）
A ．i 55-
B ．i 55+-
C ．i 55+
D ． i 55--
9．i 表示虚数单位，则2008321i i i i ++++ 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．i
D ．i - 10．复数8)1
1(i +的值是
（ ）
A ． i 16
B ． i 4
C ．16
D ． 4
11．对于两个复数i 2
321+
-=α，i 2
321-
-=β，有下列四个结论：①1=αβ；②
1=βα；
③1=β
α；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）
A ． 1
B ．2
C ． 3
D ．4
12．若C z ∈且1||=z ，则|22|i z --的最小值是 （ ）
A ．22
B ．122+
C ．122-
D ．2
二、填空题 13．已知
ni i
m -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=-ni m
14．在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。

15．若2z =且1-=+z i z ，则复数z =
16．对于非零实数b a ,，以下四个命题都成立：①012>+a ；②2222)(b ab a b a ++=+；③若b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =。

那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的所有序号是 。

三．解答题
17．若方程2(2)20x m i x m i ++++=至少有一个实数根，求实数m 的值。

18．已知复数),()sin 3(cos 2),()4(221R i z R m i m m z ∈++=∈-+=θλθλθ，并且z 1 = z 2，求 λ 的取值范围。

19．把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+，求z 及z
z 。

20．求虚数z ，使R z
z ∈+9，且33=-z .
21．已知复数z 满足2||=z ，2z 的虚部为 2 ，
（1）求z ；
（2）设z ，2
z ，2
z z -在复平面对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.
22．设。

是实数，且
是虚数，11121
121≤≤-+
=z z z z z （1）求 | z 1| 的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若1
111z z +-=ω，求证：ω为纯虚数。

复数参考答案 1． C 2．B 3． D 4． B
5．解：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++，))((di c bi a ++为实数等价于0ad bc +=。

答案：D 6．解：
5
)4()22()
21)(21()21)(2(212i
b b i i i bi i
bi +--=
-+--=
+-，由
05
)
4()22(=+--b b 解得3
2-
=b 。

答案：A
7．解：由022=+z 得i z 2±=，=3z i 22±。

答案：C 8．解：i i i OB OA BA 55)23()32(-=+---=-=。

答案：A
9．解：=++++++3424144n n n n i i i i 0113210=+-+=+++i i i i i i 。

答案：A 10． 解：[]16)2()1()1()11(44
288=-=-=-=+i i i i。

答案：C
11．解：14
34
1=+
=
αβ；=βαi 23
21-
-；12
3
21=--=βα
i ；2113
3
=+=β+α
，所以①③正确。

答案：B
12．解：如图所示，1||=z 表示z 点的轨迹是单位圆，而|22|i z --表示的是复平面上表示复数z 的点M 与表示复数
i 22+的点A 之间距离。

当M 位于线段AO 与单位圆交点时，AM 最小，为122-。

答
案：C 13.解：由
ni i
m -=+11得：i n n m )1()1(-++=，解得2,1==m n ，所以i ni m -=+2。

答案：i -2
14.解：方程|1|||z z i +=-表示的是复平面上的点z 到点1-和i 的距离相等的点的轨迹，是一条线段的中垂线。

所以表示的图形是直线。

答案：直线
15.解：设),(Z b a bi a z ∈+=，则⎪⎩⎪
⎨
⎧+-=++=+2
22
222)1()1(2
b
a b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==2
2
b a 或
⎪⎩⎪⎨
⎧=-=2
2
b a 。

答案：)1(2i z -=或)1(2i z --=
16.解：实数的运算率对于复数系仍然成立，所以②④正确；对于①可举反例：i a =排除；
对于③可举反例1,==b i a 排除。

17. 解：设方程的实根为
a ，则02)2(2
=++++mi a i m a
，整理得：
0)2()2(2
=++++i m a am a
，即：⎩⎨⎧=+=++02022m a am a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==222m a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=2
22
m a 。

所以m 的值为22或22-。

18.解：由z 1 = z 2
得
⎩⎨⎧+=-=θ
λθsin 34cos 22
m m ，消去
m
可得：
16
9)8
3(sin 4sin 3sin 42
2
-
-
=-=θθθλ，由于1sin 1≤≤-θ，故716
9≤≤-λ.
19.解：设),(R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=，由已知得i bi a i 34))(21(+=-+，化简得：
i i b a b a 34)2()2(+=-++，所以32,42=-=+b a b a ，解得1,2==b a ，所以i z +=2，
i i i z z 545322+=-+=。

20.解：设)0,(≠∈+=b Z b a bi a z 且，则：
i b
a
b b b
a
a a bi
a bi a z
z )9()9(992
2
2
2
+-
+++
=++
+=+
，由R z
z ∈+
9得092
2
=+-
b
a
b b ，又
0≠b ，故92
2
=+b
a
①；又由33=-z 得：3)3(2
2=+-b
a ②，由①②得⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧±==23323b a ，即i z 2
332
3+
=
或i z 2
332
3-
=。

21.解：（1）设),(R y x yi x z ∈+=，由题意得xyi y x
z 2)(2
22+-=，所以⎪⎩⎪⎨
⎧==
+1
2
22xy y x ，
解得：11x y =⎧⎨=⎩或1
1
x y =-⎧⎨=-⎩，故i z +=1或i z --=1。

（2）当i z +=1时，i z z i z -=-=1,22
2， )1,1(),2,0(),1,1(-C B A ，故
1212
1=⨯⨯=
∆ABC S ；当i z --=1时，i z
z i z 31,22
2
--=-=，)3,1(),2,0(),1,1(----C B A ，
故1212
1=⨯⨯=
∆ABC S 。

22.解：(1)设)0,(1≠∈+=b R b a bi a z ，且，则：
i b
a b b b
a a a bi
a bi a z z z )()(112
2
2
2
1
12+-
+++
=++
+=+
=，因为 z 2是实数，b ≠0，于是
有122=+b a ，即11=z ，还可得a z 22=，由112≤≤-z ，得121≤≤-a ，解得2
12
1≤≤-a ，
即z 1的实部的取值范围是]2
1
,21[-
. （2）i a b b
a bi
b
a
bi
a bi a z z 1
)1(2111112
2
2
2
1
1+-
=++---=++--=
+-=
ω，因为]2
1
,21[-
∈a ，b ≠0，所以ω为纯虚数。