【KS5U解析】甘肃省张掖市山丹县第一中学2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题 Word版含解析

山丹一中2019-2020学年上学期11月月考试卷
高一数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
测试范围：人教必修1，必修2第1章、第2章.
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合A ={x |–3≤x <1}，B ={x |x 2≤4}，则A ∪B 等于（ ） A. {x |–2≤x <1} B. {x |–3≤x ≤2} C. {x |x <1} D. {x |x ≤2}
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出集合A ，B ，由此能求出A B U ．
【详解】∵集合{}3|1A x x =-≤<，{}
{}2
|4|22B x x x x =≤=-≤≤，
∴{}
32A B x x ⋃=-≤≤， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.函数()1
1
f x x =
+的定义域为( ) A. {|3x x ≥-且1}x ≠- B. {3x x -且1}x ≠- C. {|1}x x ≥- D. {|3}x x ≥-
【答案】A 【解析】 【分析】
由题可得：要使得函数()f x 有意义，则需满足30
10x x +≥⎧⎨
+≠⎩
，解出x 的范围即可．
【详解】解：要使()f x 有意义，则：30
10x x +≥⎧⎨+≠⎩
；
解得3x ≥-，且1x ≠-；
∴()f x 的定义域为：{|3,1}x x x ≥-≠-且． 故选A ．
【点睛】本题主要考查了函数定义域的定义及求法，属于基础题． 3.下列关于棱柱的说法中，错误的是( ) A. 三棱柱的底面为三角形 B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 【答案】C 【解析】
显然A 正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B 正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C 错误；D 正确，所以选C.
4.已知f （x ）=ax 5+bx 3+cx +3，且f （–2）=5，则f （2）=（ ） A. 2 B. 1 C. –2 D. –1
【答案】B 【解析】 【分析】
可根据()25f -=，求出532222a b c ⋅+⋅+⋅=-，从而可求出()21f =． 【详解】∵()5
3
222235f a b c -=-⋅-⋅-⋅+=，
∴532222a b c ⋅+⋅+⋅=-，
∴()5
3
22223231f a b c =⋅+⋅+⋅+=-+=．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，已知函数求值的方法，属于基础题.
5.已知函数)
25f
x =+，则()f x 的解析式为( )
A. ()2
1f x x =+ B. ()()2
12f x x x =+≥
C. ()2
f x x =
D. ()()2
2f x x
x =≥
【答案】B 【解析】 【分析】
利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.
2t =,则2t ≥，所以()()()()2
224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥ 即()2
1f x x =+ ()2x ≥.
【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化. 6.下列命题正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C. 棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
D. 一个正方形按不同方向平移所得几何体都是正方体 【答案】C 【解析】 【分析】
根据空间几何体的定义，对选项中的命题判断正误即可．
【详解】对于A ，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台， 因为不能保证各侧棱的延长线交与一点，∴A 错误；
对于B ，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台， 因为不能保证截面与底面平行，∴B 错误； 对于C ，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，
其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，∴C 正确；
对于D ，一个正方形按不同方向平移所得几何体，可能是正方体，也可能是长方体，D 错误． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征应用问题，属于基础题．
7.函数y =R ，则k 的取值范围是（ ） A. （–∞，9）∪[0，+∞） B. [1，+∞） C [–9，1） D. （0，1]
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可得出，不等式2680kx x k -++≥的解集为R ，从而得出0
k >⎧⎨≤⎩V ，解出k 的范围
即可．
【详解】∵y =R ， ∴不等式2680kx x k -++≥的解集为R ， 当0k =，显然不合题意，
∴()036480k k k >⎧⎨=-+≤⎩
V ，解得1k ³，
∴k 的取值范围是[)1
+∞，， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义及求法，一元二次不等式20ax bx c ++≥的解集为R 所满足的条件，属于中档题.
8.A 4纸是生活中最常用的纸规格．A 系列的纸张规格特色在于：①A 0、A 1、A 2…、A 5，所有尺寸的纸张长宽比都相同．②在A 系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A 0纸对裁后可以得到2张
A 1纸，1张A 1纸对裁可以得到2张A 2纸，依此类推．这是因为A ：1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A 0纸规格为84.1厘米×118.9厘
米，那么A 4纸的长度为（ ） A. 14.8厘米 B. 21.0厘米
C. 29.7厘米
D. 42.0厘
米 【答案】C 【解析】
【分析】
根据对折规律可得A4纸的长度. 【详解】由题意，A0纸
长与宽分别为118.9厘米，84.1厘米，
则A1A2=
A3
=A4=（厘米）．
故选C
【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据题意正确找出图形变化过程中存在的规律是解题的关键.
9.若函数f（x）=log a（x2–ax+2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）
A. [2，3）
B. （2，3）
C. [2，+∞）
D. （2，+∞）【答案】A
【解析】
【分析】
函数()
f x为函数log
a
y x
=与22
y x ax
=-+的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论1
a>，01
a
<<，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围.
【详解】∵函数()()
2
log2
a
f x x ax
=-+在区间(]
0,1上为单调递减函数，
∴1
a>时，22
y x ax
=-+在(]
0,1上为单调递减函数，
且220
x ax
-+>在(]
0,1上恒成立，
∴需22
y x ax
=-+在(]
0,1上的最小值1230
a a
-+=->，
且对称轴
1
1
2
x a
=≥，∴23
a
≤<，
当01
a
<<时，22
y x ax
=-+在(]
0,1上为单调递增函数，不成立，
综上可得a的范围是[)
2,3，
故选：A．
【点睛】本题考查了对数函数的图象和性质，二次函数图象和性质，复合函数的定义域与单调性，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法，属于中档题.
10.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函
数关系为：0kt
P P e -=⋅（k 为正常数，0P 为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物
被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A.
1
2
小时 B.
5
9
小时 C. 5小时 D.
5
2
小时 【答案】C 【解析】 【分析】
先利用函数关系式，结合前5个小时消除了90%的污染物，求出常数k 的值，然后根据污染
物的残留含量不得超过1%，列出方程001%kt
P P e -=，即可求出结论．
【详解】由题意，前5个小时消除了90%的污染物，
∵0kt
P P e -=⋅， ∴500(190%)k
P P e --=，
∴50.1k e -=， 即5ln0.1k -=， ∴1ln 0.15
k =-，
则由001%kt
P P e -=，
即ln 0.01ln 0.15
t
=
⨯， ∴10t =，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%， 又∵前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 故本题选C.
【点睛】本题主要考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域，考查函数的应用，根据实际问题列出表达式是解题的关键，属中档题.
11.设函数()f x 满足1(
)11x
f x x
-=++，则()f x 的表达式为（ ） A. 22
11x x
-+ B.
2
2
1x
+ C.
21x
+ D.
11x
x
-+ 【答案】C 【解析】 试题分析：设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t -=+=++，所以2
()1f x x
=+，故
选C ．
考点：求函数解析式．
12.已知函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则关于x 的不等式
1
(ln )(ln )2(1)f x f f x
+<的解集为（ ） A. (0,)+∞ B. (0,)e C. 1
(,)e e
D. (1,)e
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由函数的解析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得f （lnx ）+f （ln
1x
）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）⇒|lnx |＜1，解可得x 的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，函数f （x ）＝ln （1+|x |）211x -+，则f （﹣x ）＝ln （1+|x |）2
1
1x
-=+f （x ），即函数f （x ）为偶函数， 在[0，+∞）上，f （x ）＝ln （1+x ）2
1
1x -+，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数， f （lnx ）+f （ln
1
x
）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）， 即|lnx |＜1，解可得1e ＜x ＜e ，即不等式的解集为（1
e
，e ）；
故选C ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数
1,1
()
3,1
x x
f x
x x
+<
⎧
=⎨
-+≥
⎩
，则
5
2
f f
⎡⎤
⎛⎫
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
等于________.
【答案】3 2
【解析】【分析】
先求得
5
2
f
⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值，进而求得
5
2
f f
⎡⎤
⎛⎫
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
的值.
【详解】因为
551
3
222
f
⎛⎫
=-+=
⎪
⎝⎭
，所以
113
5
2
1
222
f
f f
⎛⎫
==+=
⎡⎤
⎛⎫
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
⎪
⎝⎭
.
故答案为3 2 .
【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，属于基础题. 14.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M'称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体中，AB=5，AD=4，AE=3．则△EBD在平面EBC上的射影的面积
是___________．
【答案】234
【解析】
【分析】
连接CH，作DO HC
⊥，可证得EBD
△在平面EBC上的射影为OEB
V，即可求出结论．【详解】如图所示，
连接CH ，作DO HC ⊥，
由长方体的性质可得BC ⊥面CDHG ，所以BC OD ⊥， 又由于BC HC C ⋂=，所以DO ⊥面EBCH ， 即EBD △在平面EBC 上的射影为OEB V ， 面积为
2592
231
44+⨯=， 故答案为：234.
【点睛】本题考查射影的概念，考查面积的计算，确定EBD △在平面EBC 上的射影为
OEB V 是关键，属于中档题.
15.过圆锥的轴的截面是顶角为120°的等腰三角形，若圆锥的体积为π，则圆锥的母线长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】
根据题意，求出圆锥的底面半径和高，代入公式即可．
【详解】由题意可知，如图圆锥的轴截面的顶角120ASB ∠=︒，
所以
直角三角形中，1
602
OSB ASB ∠=
∠=︒， 圆锥的底面半径为33sin 6022
r SB SB SB =⨯︒=⨯=， 高1
cos 602
h SB SB =⨯︒=
， 所以该圆锥的体积为：2
2
311132
3V r h SB πππ⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯=⎪⎪⎝⎭， 解得2SB =，∴圆锥的母线长为2． 故答案为：2．
【点睛】本题考查圆锥的体积，求出圆锥的底面半径和高是解决问题的关键，考查空间中线
线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
16.已知函数()2200
x x x f x x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，，，且12x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，不等式f （ax ）>f （x –1）恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】()()11-∞-⋃+∞，
， 【解析】 【分析】
由题可判断出()f x 为偶函数，且在
()
0,∞+上单调递增，所以
()()11f ax f x ax x >-⇔->，进一步可求a 的取值范围．
【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()2
2f x x x x x f x -=---=+=， 当0x <时，0x ->，
则()()()()2
2f x x x x x f x -=-+-=-=， 所以()
f x 偶函数．
又因为0x >时，()2
f x x x =+，
所以()f x 在1
2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
上单调递增， 则12x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
，时不等式()()1f ax f x >-恒成立1ax x ⇔>-， 即111a x x x ->
=-，因为11x -在12⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
，
的最大值为1，所以1a >， 则有()()11a ∈-∞-⋃+∞，
，， 故答案为：()()11-∞-⋃+∞，
，． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性、单调性以及函数恒成立等问题，综合能力较强，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知()
f x =+的定义域为集合A ，集合B={|26}x a x a -<<-. （1）求集合A ；
（2）若A ⊆B,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|23}A x x =-<≤;（2）9,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）求定义域注意：根号下被开方数大于等于0，分式的分母不为0；
（2）由A B ⊆，分别考虑a -与A 区间左端点的大小关系、26a -与A 区间右端点的大小关系，不熟练的情况下，可画数轴去比较大小. 【详解】（1）由已知得30
20x x -≥⎧⎨
+>⎩
即23x -<≤
∴{|23}A x x =-<≤ （2）∵A B ⊆ ∴2263
a a -≤⎧⎨
->⎩ 解得9
2a >
∴a 的取值范围9,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
. 【点睛】（1）子集关系中包含了相等关系，这一点考虑问题的时候需要注意；
（2）两个集合满足某种关系，当需要考虑到端点处取等号的情况，若不确定，可利用数轴直观进行分析（数形结合）. 18.计算
（1）1
3
2
03
4127
()161)5
---++ （2）
5
7log 4
3
log
lg 255
lg 4-+
【答案】（1）47
3
-（2）1 【解析】 【分析】
（1）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算的性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）由
1
133
20324
3
344114727
()161)(3)(5)(2)12581533
-
---++-++=-++=-=.
（2）由5
57
7log log 4
43
31log lg 255
lg 4log 27(lg 25lg 4)5437
2144
-+++--===+.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.在四棱锥P –ABCD 中，ABCD 是矩形，P A =AB ，E 为PB 的中点． （1）若过C ，D ，E 的平面交P A 于点F ，求证：F 为P A 的中点； （2）若平面P AB ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥P A ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）推导出CD AB P ，从而CD ∥平面P AB ，进而CD ∥EF ，AB ∥EF ，再由E 为PB 的中点，能证明F 为P A 的中点；（2）推导出AE ⊥PB ，从而AE ⊥平面PBC ，AE ⊥BC ，由ABCD 是矩形，得AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面P AB ，由此能证明BC ⊥P A ． 【详解】（1）因为ABCD 是矩形，
所以，CD ∥AB ，又AB ⊂平面P AB ，CD ⊄平面P AB ， 所以CD ∥平面P AB ，
又CD ⊂平面CDEF ，平面CDEF ∩平面P AB =EF ， 所以CD ∥EF ，
所以AB ∥EF ，又在△P AB 中，E 为PB 的中点， 所以F 为P A 的中点．
（2）因为P A =AB ，E 为PB 的中点，所以AE ⊥PB ，
AE ⊂平面P AB 又平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB ∩平面PBC =PB ， 所以AE ⊥平面PBC ，
BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC ，又ABCD 是矩形， 所以AB ⊥BC ，AE ∩AB =A ，AB ，AE ⊂平面P AB ， 所以，BC ⊥平面P AB ， P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A ．
【点睛】本题考查线段中点的证明，考查线线的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
20.已知函数2()2x x f x a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象经过点()1,6A . （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的值域.
【答案】（1）()424x
x
f x =-+或2()224x
x
f x =-+（2）15,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）将点()1,6A 代入函数计算得到答案.
（2）2
115()224x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，当122x
=，即1x =-时，()f x 取得最小值154，得到答案.
【详解】解：（1）因为2()2x
x f x a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象经过点()1,6A ，
所以2
(1)6f a a =+=.
因为0a >且1a ≠，所以2a =，
所以()f x 的解析式为()424x x f x =-+或2()224x x
f x =-+
（2）2
115()224x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 当122
x
=
，即1x =-时，()f x 取得最小值15
4
因为20x > 所以()f x 的值域为15,4⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
【点睛】本题考查了函数的表达式和值域，属于常考题型.
21.已知在几何体ABCDE 中，AB ⊥平面BCE ，且△BCE 是正三角形，四边形ABCD 为正方形，F 是线段CD 上的中点，G 是线段BE 的中点，且AB =2．
（1）求证：GF ∥平面ADE ； （2）求三棱锥F –BGC 的表面积． 【答案】（1）证明见解析（2）23+ 【解析】 【分析】
（1）取AB 中点H ，连结HF ，GH ，推导出平面HGF ∥平面ADE ，由此能证明GF ∥平面ADE ；（2）推导出CF ⊥BC ，CF ⊥CG ，CG ⊥BG ，CF =1，BC =2，BG =1，3CG =，三棱
锥F BGC -的表面积：FBC FGC FBG CBG S S S S S =+++V V V V ． 【详解】（1）取AB 中点H ，连结HF ，GH ， ∵F 是线段CD 上的中点，G 是线段BE 的中点， ∴HF ∥AD ，GH ∥AE ，
∵HF ∩HG =H ，AD ∩AE =A ，HF 、HG ⊂平面HGF ，AD 、AE ⊂平面ADE ， ∴平面HGF ∥平面ADE ， ∵GF ⊂平面HGF ， ∴GF ∥平面ADE ．
（2）∵在几何体ABCDE 中，AB ⊥平面BCE ， 且△BCE 是正三角形，四边形ABCD 为正方形， F 是线段CD 上的中点，G 是线段BE 的中点，且AB =2． ∴CF ⊥BC ，CF ⊥CG ，CG ⊥BG ，CF =1，BC =2，BG =1，413CG =-=，
∴三棱锥F –BGC 的表面积：FBC FGC FBG CBG S S S S S =+++V V V V
1111
12131213232222
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，是中档题．
22.已知（双勾函数）()()(0),0a
f x x a x R x x
=+
>∈≠，．
（1）利用函数的单调性证明()f x 在(()
0a a +∞，，，
上的单调性； （2）证明f （x ）的奇偶性；
（3）画出()()4
0g x x x x x
=+
∈≠R ，的简图，并直接写出它单调区间． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）图像见解析，()g x 的单调递增区间为()2+∞，
，()––2∞，
，单调递减区间为()–20，，()02， 【解析】 【分析】
（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）结合三角函数的奇偶性进行判断即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性，作出函数的图象进行判断即可. 【详解】（1）设120x x <<， 则()()1211–a f x f x x x =+-22a x x -=()()211212
–a x x x x x x -+=()121212–x x a x x x x -⋅，
则12–0x x <，
当120x x <<12<x x a ，则12–0x x a <，则()()12–0f x f x >， 即()()12f x f x >， 此时函数()f x 为减函数，
12<<x x 时，12x x a >，则12–0x x a >，则()()12–0f x f x <， 即()()12f x f x <， 此时函数()f x 为增函数． （2）()()––a a f x x x f x x x ⎛
⎫=+
=-+=- ⎪-⎝
⎭， 则函数()f x 为奇函数．
（3）由（1）知结合函数奇偶性和单调性作出函数的图象如图：
由图象和性质知()g x 的单调递增区间为()2+∞，，()––2∞，， 单调递减区间为()–20，
，()02，． 【点睛】本题主要考查对勾函数的图象和性质，结合函数单调性和奇偶性的定义以及利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题.。