大学数学(高数微积分)隐函数的导数(课堂讲解)
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
隐函数的求导公式PPT课件
偏导数的函数 zf(x,y) ,它满足条件
z0f(x0,y0),并有
z x
Fx Fz
z Fy y Fz
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9
推导求偏导公式：
设 z f ( x , y ) 是 方 程 F ( x , y , z ) 0 所 确 定
的隐函数,则 F (x ,y ,f(x ,y )) 0
x
两边对x求偏导
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
2021/6/20
1
x2y2 a2显化 y a2 x2或y a2x2
隐函数 F(x,y)0 F(x,y,z)0
显函数 y f(x)
zf(x,y)
问题：
1.满足什么条件，方程能够确定函数？ 2.对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导？
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1.
x0
y1
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7
例2 设方程 sinyexxy1
dy 确定一个隐函数 y f(x),求 .
dx 解 令 F (x ,y ) s in y e x x y 1 ,则
由隐函Fx数求e导x 公y式, F ,得y dcoysyFxx e x y .
d x F y cos y x
F(x, y,u,v)0 G(x, y,u,v)0
u u( x, y) v v( x, y)
隐函数存在定理3 设 F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)
在点 P (x0,y0,u 0,v0)的某一邻域内有对各个变量的
连续偏导数,且 F (x 0,y0,u 0,v0)0 ,G (x 0,y0,u 0,v0)0 , 偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
d y Fx dx Fy
隐函数求导的详细解析（实例分析）
第五节 隐函数的求导法则教学目的：使学生掌握隐函数存在定理，掌握隐函数的求导法则 教学重点：一个方程的隐函数的求导法则教学过程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(yy x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22xz∂∂. 解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂. 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22y x y u +=, 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:vG u Gv F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有vu v u v x vx G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u x u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则 偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, xv ∂∂, y u ∂∂和y v ∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ∂∂和xv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ∂∂和yv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu . 解之得 dy yx yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=, dy yx yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=. 于是 22yx yv xu x u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 例 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x . (1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xvv y x u u y x v v x x u u x 01. 由于J ≠0, 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1, uy J x v ∂∂-=∂∂1. 同理, 可得v x J y u ∂∂-=∂∂1, ux J y v ∂∂=∂∂1.。
《隐函数的偏导数》课件
03
在工程学中，偏导数可以用来 优化设计，例如机械设计、建 筑设计等。
未来研究方向
01
02
随着科学技术的不断发展，偏导数的研究也在不断深入。未来，偏导 数可能会在更广泛的领域得到应用，例如人工智能、机器学习等。
未来研究的方向可能包括如何更好地理解偏导数的性质和行为，如何 将偏导数的理论应用到实际问题中，以及如何将偏导数与其他数学工 具相结合，以更好地解决实际问题。
THANKS
隐函数的偏导数可以用来求解函数的 极值问题。
详细描述
通过求解偏导数等于0的点，可以找 到函数可能的极值点，再进一步分析 这些点的函数值来确定是否为极值点 。
04
实际应用举例
经济模型中的应用
隐函数的偏导数在经济模型中有着广泛的应用，例如在研究供需关系、价格形成机制、成本最小化等 问题时，需要用到隐函数的偏导数来求解最优化问题。
《隐函数的偏导数》ppt课件
目录
• 引言 • 隐函数的偏导数计算方法 • 隐函数的偏导数在几何上的意义 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
隐函数的概念
03
隐函数
如果一个函数$y$在某种条件下，只能通 过另一个函数$x$来表示，则称$y$为隐 函数。
举例
$z = f(x, y)$，当$z = 0$时，$y$就是关 于$x$的隐函数。
链式法则的应用
链式法则在计算复合函数的导数时非常有用，特别是当内层 函数和外层函数都比较复杂时。通过链式法则，我们可以将 复合函数的导数分解为两个步骤：先对内层函数求导，再对 外层函数求导，然后将两个导数相乘。
隐函数求导法则
隐函数求导法则
对于一个由$y=f(x)$定义的隐函数，其导数可以通过对等式两边同时对$x$求导得到。具体来说，如 果$y=f(x)$，则$frac{dy}{dx}=frac{d}{dx}f(x)$。
《隐函数的求导方法》课件
隐函数与显函数的关系
显函数：由自变量和因变量通过等号 连接的函数，如y=f(x)。
隐函数不一定能通过等号转化为显函 数，但两者都表示了因变量与自变量 之间的关系。
隐函数的几何意义
隐函数在坐标平面上的表现是一条曲线。
通过对方程F(x,y)=0进行求导，可以确定曲线上各点的切线斜率，从而了解曲线的形状和变化趋势。
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程 ，再利用普通方程求导法则进行求导。
详细描述
对于由参数方程 $x = varphi(t), y = psi(t)$ 确定的隐函数，可以通过消去参数 $t$，将 其转化为 $y = f(x)$ 的形式，然后利用复合
函数求导法则和链式法则进行求导。
由极坐标方程确定的隐函数求导
乘积法则
总结词
乘积法则用于求解两个函数的乘积的导数，通过乘积法则可以将两个函数的导 数相加。
详细描述
乘积法则是链式法则的一种特殊形式，如果两个函数y=f(x)和u=g(x)的导数存 在，那么它们的乘积的导数为y的导数乘以u加上u的导数乘以y，即 dy*du=(dy/dx)*u+(u/dx)*y。
商式法则
顺序确定
在求导过程中，运算的顺序需要 确定，根据求导法则和运算优先 级进行判断。
顺序处理
在求导过程中，需要注意运算的 顺序处理，确保运算的正确性和 一致性。
顺序变换
在求导过程中，运算的顺序可能 会发生变化，需要根据求导法则 和运算优先级进行判断。
求导过程中的公式选择问题
公式选择
在求导过程中，公式的选择是关键，需要根据函数的 类型和求导法则进行选择。
02 隐函数的求导法则
链式法则
总结词
《隐函数导数》课件
高阶隐函数导数的计算方法与一阶导数类似，需要使用复合函数的求导法则和链式法则。具体来说，对于形如 (y = f(x)) 的隐函数，其高阶导数 (y^{(n)}) 可通过逐阶求导得到。例如，二阶导数 (y'') 可通过对 (y') 求导得到。
应用
高阶隐函数导数在解决一些实际问题中非常有用，如物理学中的振动分析、经济学中的最优控制问题等 。通过对高阶导数的分析，可以深入了解函数的局部性质，从而更好地解决实际问题。
要点三
应用
隐函数组的导数在解决一些实际问题 中非常有用，如几何学中的曲线和曲 面分析、物理学中的场论等。通过对 隐函数组的导数进行分析，可以深入 了解多个函数之间的关系，从而更好 地解决实际问题。
隐函数与参数方程的导数
01
定义
参数方程是一种描述曲线或曲面形状的方式，其中参数的 变化决定了曲线或曲面的变化。而隐函数与参数方程的导 数则是研究参数变化对曲线或曲面形状的影响。
极值问题
隐函数导数在求解极值问题中具有重要应用。通过求导数并令其为零，可以找到函数极值点，进而确定函数的最 大值和最小值。
条件极值
在某些约束条件下求解极值问题，可以利用隐函数导数将约束条件转化为等式或不等式，简化问题求解过程。
曲线的切线与法线
切线斜率
隐函数导数表示函数在某点的切线斜 率，通过求导数可以得到切线的斜率 。
举例
$z = f(x, y)$，在一定条件下，$z$是 $x$和$y$的函数，即$z$的值由$x$ 和$y$唯一确定，则称$z = f(x, y)$是 $x$和$y$的隐函数。
隐函数导数的定义
定义
对于一个隐函数$z = f(x, y)$，如果它在某点处的偏导数$frac{partial f}{partial x}$和$frac{partial f}{partial y}$都存在且不等于0，则称该点为该隐函数的可导 点，并称这两个偏导数为该隐函数的偏导数。
《隐函数的求导法则》课件
对数求导法则
对数求导法则
对于形如 `y = f(g(x))` 的复合函数，其导数为 `dy/dx = (d(g)/dx) * (df/dg) * (dg/dx)`。
应用
对数求导法则在处理复杂函数的求导问题时非常有用，特别是当需要计算复合 函数的导数时。
04
隐函数在实际问题中的应用
经济模型中的应用
通过求导法则，可以分析工程系统中 的动态特性，例如稳定性、响应时间 等。
05
隐函数求导的注意事项
初始条件的确定
01 初始条件是隐函数存在的前提，必须先确定初始 条件才能进行求导。
02 初始条件通常由实际问题或实验数据给出，是隐 函数求导的基础。
03 在确定初始条件时，需要充分考虑隐函数的性质 和特点，确保初始条件的合理性和准确性。
参数的取值范围
01
在对隐函数进行求导时，需要考虑参数的取值范围。
02
参数的取值范围会影响到隐函数的形状和性质，进而影响到求
导的结果。
在确定参数的取值范围时，需要充分考虑隐函数的实际背景和
03
意义，确保取值范围的合理性和准确性。
多重解的情况
1
对于某些隐函数，可能存在多个解的情况。
2
在求导过程中，需要特别注意多重解的情况，并 采取适当的措施进行处理。
3
处理多重解的方法包括筛选、验证和比较等，需 要根据具体情况选择合适的方法进行处理。
06
总结与展望
隐函数求导的总结
隐函数求导的定义
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程决定，而非显 式地给出。求隐函数的导数需要使用特定的求导法则。
求导法则的应用
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数，如经济模型、物 理现象等。掌握隐函数求导法则对于解决这些问题至关重要。
《隐函数的求导》课件
案例二：物理学中的热传导问题
总结词
在解决物理学中的热传导问题时，隐函数求导可以用于 分析温度分布和热流密度。
详细描述
在研究热传导问题时，常常需要建立描述温度分布的隐 函数方程，如$T(x,y,z,t) = f(x,y,z,t)$，其中$T$表示温度 ，$(x,y,z)$表示空间坐标，$t$表示时间。通过对隐函数 $f(x,y,z,t)$求导，可以分析温度随时间和空间的变化情 况，以及热流密度的分布和变化。
02
隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个复合函数的内函数是隐函数时，其导数可以通过链式法则进行求解。链式法则是求导中的基本法则之一， 用于求解复合函数的导数。具体来说，如果一个复合函数 y = f(u) 的内函数 u 是隐函数 u = g(x)，则复合函数 的导数 dy/dx 可以表示为 f'(u) * du/dx。
多重隐函数求导问题
总结词
隐函数求导中，多重隐函数求导是一个复杂 的问题。
详细描述
当一个函数由多个隐函数组成时，每个隐函 数都需要单独求导。在求导过程中，需要特 别注意各个隐函数之间的相互依赖关系，以 及它们对导数的贡献。解决多重隐函数求导 问题通常需要使用复合函数的求导法则和链 式法则。
隐函数在约束优化问题中的应用
物理问题中的应用
力学系统分析
隐函数可以用于描述物理中的力学系统，如弹簧振荡、流体动力学等，通过求 导可以分析系统的动态特性。
热传导方程
隐函数可以用于表示热传导方程，通过求导可以求解温度分布和热传导过程。
工程问题中的应用
控制工程
隐函数可以用于描述控制系统中的传递函数，通过求导可以分析系统的稳定性、时域和 频域特性。
Байду номын сангаас
高等数学隐函数求导ppt课件
、
设
y
x
e
xy
+
=
,
则
dx
dy
=________.
*
二、
求下列方程所确定的隐函数
y
的二阶导数
2
2
dx
y
d
：
1
、
；
2
、
；
3
、
y
x
x
y
=
)
0
0
(
>
>
y
x
，
.
三、
用对数求导法则求下列函数的导数：
1
、
2
x
x
y
=
；
2
、
5
4
)
1
(
)
3
(
2
+
-
+
=
x
x
x
y
；
3
、
x
e
x
x
y
-
=
1
sin
.
*
四、
求下列参数方程所确定的函数的二阶导数
2
2
dx
y
d
：
1
、
î
í
ì
=
=
t
b
y
t
a
x
sin
cos
；
2
、
î
í
ì
-
¢
=
¢
=
)
(
)
(
)
(
t
f
t
f
t
y
t
f
x
《隐函数的导数》课件
求导过程，提高求解效率。
数的求导规律。
4 常见问题解答
回答一些关于隐函数求导常见问题，帮助大 家更好地理解相关概念。
5 拓展阅读建议
提供一些有趣的拓展阅读建议，让大家可以 继续深入学习隐函数的应用与相关领域。
参数方程
了解参数方程中的隐函数求导 方法，并研究其在曲线上的作 用。
常见问题解答
1 如何判断一个方程是
否为隐函数？
一个方程可以被视为隐函 数，如果它无法通过任何 一种简单的代数方法来直 接解出。
2 如何判断隐函数的导
函数是否存在？
可以通过连续性、准确性 和存在性等条件来判断隐 函数的导函数是否存在。
《隐函数的导数》PPT课 件
通过本课件，我们将深入探讨隐函数的导数，掌握隐函数求导的基本方法和 链式法则的应用，以及常见隐函数的求导规律。让我们一起开启这个有趣的 学习之旅吧！
什么是隐函数？
定义
隐函数是由一个方程表达的，其中变量与方程中 其他变量之间存在一定的关系，但并不直接解出 的函数。
示例
例如，方程x^2 + y^2 = 1是一个隐函数，其中x 和y之间满足关系x^2 + y^2 = 1。
3 如何证明隐函数的导
函数在某点连续？
可以使用极限定义和导数 的连续性来证明隐函数的 导函数在某点连续。
总结
1 隐函数求导的基本方
法
掌握隐函数求导的基本方 法以解决各种复杂的隐函 数导数问题。
2 链式法则在隐函数求
导中的应用
3 常见隐函数及其求导
了解常见隐函数如反三角
运用链式法则简化隐函数
函数、指数函数和对数函
2
例题
我们将通过具体的例题演示如何运用链式法则求解隐函数的导数。
《隐函数导数》课件
在进行隐函数求导时，需 要特别注意函数的定义域 和值域，以及函数的性质 和特点，以确保求导的准 确性和有效性。
2023
PART 03
隐函数导数的应用
REPORTING
导数与极值
导数与极值的关系
导数等于0的点可能是极值点，但也可能不是，需要 进一步判断。
判断极值点的方法
除了导数等于0外，还需要检查该点的左右两侧导数 的符号，以确定是否为极值点。
y=f(x)对x的导数为y'*u'。
应用场景
02
当一个复合函数的内层函数是可微的，外层函数也是可微的，
那么这个复合函数的导数可以通过链式法则来求解。
注意事项
03
链式法则的应用需要保证内外层函数都是可微的，否则无法使
用链式法则。
偏导数与全导数
偏导数
全导数
应用场景
注意事项
对于一个多元函数，如果一个 自变量变化，而其他自变量保 持不变，那么该函数对变化自 变量的导数称为偏导数。
二元函数的隐函数导数实例
总结词
通过具体的二元函数隐函数导数实例，展示 隐函数导数的计算方法和应用。
详细描述
介绍二元函数隐函数的概念，并给出几个典 型的二元函数隐函数的导数计算过程，如 $z = x^2 + y^2$，$z = sin(x) + sin(y)$ 等。通过这些实例，说明隐函数导数的计算 方法和应用，如求方向导数、求梯度等。
在等价变换过程中，需要掌握一些常 用的技巧，如变量代换、恒等变换、 因式分解等。这些技巧可以帮助我们 更好地处理复杂的导数表达式。
在进行等价变换时，需要注意变换的 等价性和合法性。等价变换不能改变 表达式的值，同时变换过程需要符合 数学的规则和定理。
隐函数和参数式函数的求导法课件
对x2 2 y2 8两边关于x求导得 :
2x 4 y y 0, y (2,
2)
1. 2
再对x2 2 2 y两边关于x求导得 :
2 x 2 2 y, y (2, 2) 2. 即证.
二、对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍
对数求导法,
它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
x
4
2 a, 2
y
4
2 a
2
四、相关变化率
x x(t ) , y y(t )为两可导函数
x , y 之间有联系
相关变化率解法三步骤
dx , d y 之间也有联系
dt dt 称为 相关变化率
(1) 找出相关变量的关系式
F(x, y) 0
对t 求导
(2) 相关变化率
dx 和d y 之间的关系式 dt dt
y 3 (x 3)
2
2
即 x y 3 0.
法线方程
y 3 x 3 即 y x, 通过原点.
2
2
利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.
如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,
称这两条曲线是
正交的.
如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族
中的所有与它相交的曲线均正交,
称这 两个曲线族
(1) tan h F ( , h) 0
(2)
500
两边对 t求导得 sec2
d
1
dh 500
(3)
dh 140米 / 秒, dt
dt 500 dt
当 h 500时, tan 1, sec2 2
d 1 1 140 0.14(弧度 / 分)
隐函数的求导方法课件
关系
隐函数和显函数可以相互转换，例如，将$x^2 + y^3 - 1 = 0$两边同时对$x$求导，就可以得到一个关于$y$和$x$的导数关系，这个导数关系可以看作是一个显函数。
在许多实际问题中，我们常常需要求隐函数的导数，例如在物理、工程、经济等领域中，常常需要用到隐函数的求导来解决问题。
隐函数的求导方法课件
隐函数求导概述隐函数求导方法隐函数求导的应用隐函数求导的注意事项隐函数求导的常见错误分析隐函数求导的习题与解析
目录
CONTENT
隐函数求导概述
01
如果对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应，那么我们说$y$是$x$的隐函数。
隐函数
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函数，因为对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应。
在求导之前，需要判断所给函数是否在定义域内可导。如果函数不可导，则无法进行求导。
03
考虑定义域的连续性和离散性
对于连续函数和离散函数的求导，需要考虑其定义域的特点。
01
确定函数的定义域
在求导之前，需要确定函数的定义域，以确保求导过程的有效性。
02
注意定义域的边界
在定义域的边界处，函数的导数可能不存在或表现出特殊性质，需要特别注意。
详细描述
总结词
对参数方程确定的曲线理解不准确也是求隐函数导数时常见的错误。
详细描述
参数方程确定的曲线在求导时需要特别注意。如果对参数方程的理解不准确，会导致求导结果错误。例如，在处理参数方程时，没有正确地将其转化为普通方程，或者在处理参数方程的变量替换时出现错误，都会导致求导结果不准确。
(微积分课件)3.4隐函数的导数
3
3
5
例3 设 e y ＝xy, 求隐函数 y(x) 的二阶导数
解 方程两端逐项对 x 求导, 得
解得
e y y y xy
y
ey
y
x
将方程(1)两端再对 x 求导得
e y ( y)2 e y y 2 y xy
解出 y, 并将 y 代入,可得
d2y dx2 .
(1)
d2y dx 2
2 y e y ( y)2 ey x
这时由方程 F(x, y) = 0确定了 y 是 x 的隐函数. 既然由方程 F(x, y) = 0确定了y 是 x 的(隐)函数, 因而有必
讨论直接由方程 F(x, y) = 0如何求它所确定的隐函数的导数.
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
3
一、隐函数的导数
用复合函数求导法则直接对方程两边同时对 x 求导.
y 4 4 x 2
即
y 4x 4
法线方程为 y 4 1 ( x 2) 4
即
y 1 x 9
42
13
难,或者消去参数 t 后函数表达式非常复杂，甚或无法表示成
y y( x) (或x x( y)) 的形式. 为此,我们来讨论直接从参数形
9
式本身出发去求其导数 yx (或xy ).
设(3.4.1)中的 , 关于 t 都可导，且(t) 0, 若函数 x (t) 存在可导的反函数 t 1( x),则
一般地, 方程 F(x, y) = 0 在一定条件下确定的隐函数有两种 情形:
2
(1) 由方程F(x, y) = 0反解出y , 确定 y 是 x 的函数 y = ƒ(x) , 我们称为将一个隐函数显化;
(2) 由方程F(x, y) = 0确定 y 是 x 的函数不能或不易显化. 如 y esin y x2 y2 0
隐函数的导数ppt课件
( x 1)( x 2) (3 x)(5 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
总结一下，什么时候适 合使用“对数求导法”？
1. 幂指函数求导数； 2. 函数为多个因子的乘积。
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求一般幂指函数 y u( x)v( x) (u( x) 0) 的导数时，同样可以用 上述 “对数求导法”．但注意到y e v( x)lnu( x) ，也可以利用复 合函数求导法则求导．如
y
sin y (1 cos y)3
.
下面又应 怎么办？
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您看求隐函数的二阶导 数的步骤可分几步？其 中需要特别注意什么？
1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式. 3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都 是x的函数).
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例7 求由参数方程
x 2(cos sin ),
y
3(sin
cos
),
所确定的函数 y y的( x微) 商 . dy
dx
解
(a 0,b 0)
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
(t
)
1 dx
(t) dt
d dt
(t)
(t
)
1 (t
)
(t
)
(t)
t
.
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由于
(
(t (t
) )
)
(
t
)
(t) (t [ (t)]2
)
(t
)
,
因此
d 2 y (t ) (t) (t) (t)
人大版微积分第三版课件隐函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx dt dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
位等于锥高的一半时水面上升的速度.
解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的
rh
x
体积为 V , 则
13
R2h
13
r2(h
x)
R2
3h2
[
隐函数的导数教学课件
考察由方程 x2 y2 1( y 0)所确定的隐函数 y y( x)的导数.
对x求导
y 是 x 的函数 y2是以 y 为中间变量、
x 为自变量的复合函数
2x 2 y y 0
整理得:
y x y
3
隐函数求导步骤
两边对x求导(复合函数求导)
d F(x, y) 0 dx
将 y解出
(含y的方程)
( x 1)( x 2)
2. 函数 y ( x 3)( x 4) 求导除了用复合函数求导法，
用对数求导法行吗？试比较两种方法的繁简程度.
7
练 习 由下列方程确定 y 是 x 的函数，求 y′.
1)xy ex y
2)x2 tan( x y) ln xy
3) y (sin x 4) y 5
5 x2 2
8
隐函数的概念 隐函数求导 对数求导法
隐函数的导数
9
y
( …含有x，y的表达式)
4
求曲线xy ln y 1在点(1,1)处的切线方程.
分析 关键是求曲线在点(1,1)处切线的斜率 .
4
方程两边同时对 x 求导
y x y 1 y 0 y y2
y
x y 1
2
k
y
y2 x 1 = x y 1 1,1
1 2
切线方程
y 1 1 ( x 1) 2
第
二
章
一
隐函数的导数
元
函
数
微
分
数学组
1. 理解隐函数的定义. 2. 掌握隐函数的求导法则. 3. 掌握对数求导法.
之前我们解决了初等函数的可导性，但是还有两类问
题没有解决.
一是前面我们涉及到的函数都可以用 x 的一个表达式 表示 y (称为显函数)，比如 ；但是有的函数我们 无法用
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则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
一般地，不必要求写出具体的复合关系，只 要记住哪些是中间变量，将中间变量的表达 式看成一个整体，由外向内，逐层求导即可。
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2
例3：求由下列方程所确定的函数的二阶导数 y 2 x ( x y) ln( x y)
1 y '' 3 ( x y )[2 ln( x y )]
求隐函数的二阶导数时，在得到的一阶导数的 表达式后，再进一步求二阶导数的表达式，此 时，要注意将一阶导数的表达式代入其中．
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
练习：设y arcsin( x ), 求y '
2
练习：设y arcsin( x e ), 求y '
2 x
练习：设y e
tan
31
x
, 求y '
2.5 隐函数的导数
一、隐函数的导数
定义:如果变量x,y之间的函数关系由一个方程
F ( x , y ) 0 确定，那么这种函数叫做隐函数． y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
1 y ' 解：关于自变量x求导 : y '- 2 (1 y ') ln( x y) ( x y) x y
1 解得 : y ' 1 2 ln( x y )
1 (2 ln( x y )) ' y '' (1 )' 2 ln( x y ) [2 ln( x y )]2 1 y ' 代入y ' 2 ( x y )[2 ln( x y )]
sin x
.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形.
( x 1)3 x 1 例3 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
设 (cos y) x (sin x) y , 其中sin x 0,cos y 0 求y '
解：两边分别求对数： ln(cos y) x ln(sin x) y x ln(cos y) y ln(sin x)
练习：求由下列方程所确定的函数的导数 y线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
解 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
求隐函数的导数时，只需将确定的隐函数的方 程两边对自变量x求导，凡遇到含有因变量y的 项时，把y看作x的函数，按复合函数的求导法 则求导，然后从所得的等式中解出dy/dx
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例4 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
sin y cos x 分别求导：x y ' ln(cos y ) y 'ln(sin x) y cos y sin x
ln cos y y cot x 得：y ' x tan y ln sin x
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
f ( x ) u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0 )
ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地