湖南省永州市2019-2020学年中考数学检测试题

2019-2020学年中考数学模拟试卷 一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列运算正确的是（ ）
A ．624a a a -=
B ．()222a b a b +=+
C ．()232622ab a b =
D ．2326a a a =
3．小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A ．()5,2
B ．()3,4-
C ．()6,3-
D ．()4,6--
4．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠B=75°，则∠AOC 的度数是（ ）
A ．150°
B ．140°
C ．130°
D ．120°
5．如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（
）
A ．8
B ．4
C ．12
D ．16
6．一次函数满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 7．已知方程组2728x y x y +=⎧⎨
+=⎩，那么x+y 的值（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．5
8．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD=4，则线段DF 的长度为( )
A ．22
B ．4
C ．32
D ．42
9．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B ﹣E ﹣D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（ ）
A ．监测点A
B ．监测点B
C ．监测点C
D ．监测点D
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD ⊥AB 于点D ，点P 在线段DB 上，若AP 2-PB 2=48，则△PCD 的面积为____.
12．计算：12466⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪⎭______． 13．有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为_____．
14．如图，AB=AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
15．如图，矩形ABCD ，AB=2，BC=1，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°得矩形AEFG ，连接CG 、EG ，则∠CGE=________．
16．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为___
17．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是______元.
18．如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，将△ACB 绕点C 按顺时针方向旋转，当CB 经过点D 时得到△A 1CB 1．若AC ＝6，BC ＝8，则DB 1的长为________．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（6分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式；若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
20．（6分）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）． 若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店每天的利润．若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y 与x 的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？若不能，请说明理由．
21．（6分）如图所示，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，用尺规在边BC 上求作一点P ，使PA PB =；(不写作法，保留作图痕迹）连接AP 当B 为多少度时，AP 平分CAB ∠．
22．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：两次取出的小球标号相同；两次取出的小球标号的和等于4.
23．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝10°，△CDE 是等边三角形，点D 在边AB 上．
如图1，当点E 在边BC 上时，
求证DE ＝EB ；如图2，当点E 在△ABC 内部时，猜想ED 和EB 数量关系，并加以证明；如图1，当点E 在△ABC 外部时，EH ⊥AB 于点H ，过点E 作GE ∥AB ，交线段AC 的延长线于点G ，AG ＝5CG ，BH ＝1．求CG
的长．
24．（10分）雾霾天气严重影响市民的生活质量。

在今年寒假期间，某校九年级一班的综合实践小组学生对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民，并对调查结果进行了整理，绘制了下图所示的不完整的统计图表：
组别
雾霾天气的主要成因 百分比 A
工业污染 45% B
汽车尾气排放 m C
炉烟气排放 15% D 其他（滥砍滥伐等） n
请根据统计图表回答下列问题：本次被调查的市民共有多少人？并求m 和n 的值；请补全条形统计图，并计算扇形统计图中扇形区域D 所对应的圆心角的度数；若该市有100万人口，请估计市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数.
25．（10分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
26．（12分）已知：如图，AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠.求证：BC DE =.
参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．B
【解析】
【分析】
观察图形，利用中心对称图形的性质解答即可．
【详解】
选项A ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
选项B ，新图形是中心对称图形，故此选项正确；
选项C ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
选项D ，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
故选B ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，熟知中心对称图形的概念是解决问题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式的乘法法则进行计算即可.
【详解】
A 、a 6和a 2不是同类项，无法合并，故本项错误；
B 、()2222a b a ab b +=++，故本项错误；
C 、()232624ab a b =，故本项错误；
D 、23?26a a a =，故本项正确；
故本题答案应为：D.
【点睛】
合并同类项、完全平方公式、积的乘方、单项式的乘法是本题的考点，熟练掌握运算法则是解题的关键. 3．B
【解析】
【分析】
根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．
【详解】
根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；
分析选项可得只有B符合．
故选：B．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．
4．A
【解析】
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，
∴∠AOC=2∠B=150°．
故选A．
5．A
【解析】
【详解】
∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA=DB，EA=EC，
则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，
故选A．
6．A
【解析】
试题分析：根据y随x的增大而减小得：k＜0，又kb＞0，则b＜0，故此函数的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选A．
考点：一次函数图象与系数的关系．
7．D
【解析】
【详解】
解：
27
28
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，
①+②得：3(x+y)=15，则x+y=5，
故选D
8．B
【解析】
【分析】
求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABC，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDF中
CAD DBF AD BD
FDB ADC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．
9．B
【解析】
【分析】
仔细观察图象，①k的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a，b看y2=x+a，y1=kx+b与y轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．
【详解】
①∵y1=kx+b的图象从左向右呈下降趋势，
∴k＜0正确；
②∵y2=x+a，与y轴的交点在负半轴上，
∴a<0，故②错误；
③当x<3时，y1>y2错误；
故正确的判断是①．
故选B．
【点睛】
本题考查一次函数性质的应用.正确理解一次函数的解析式：y=kx+b （k≠0）y随x的变化趋势：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.
10．C
【解析】
试题解析：A、由监测点A监测P时，函数值y随t的增大先减少再增大．故选项A错误；
B、由监测点B监测P时，函数值y随t的增大而增大，故选项B错误；
C、由监测点C监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大，然后再减小，选项C正确；
D、由监测点D监测P时，函数值y随t的增大而减小，选项D错误．
故选C．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．6
【解析】
【分析】
根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=1
2
AB，利用直角三角形斜边的中
线等于斜边的一半，可得CD=1
2
AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得
CD·PD=12,利用△PCD的面积=1
2
CD·PD可得.
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，
∴AC=BC，
∵CD⊥AB ，
∴AD=BD=CD=1
2
AB，
∵AP2-PB2=48 ，
∴(AP+PB)(AP-PB)=48，
∴AB(AD+PD-BD+DP)=48,
∴AB·2PD=48，
∴2CD·2PD=48，
∴CD·PD=12，
∴△PCD的面积=1
2
CD·PD=6.
故答案为6.
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一12．13
【解析】
分析：先把括号内的二次根式进行化简，然后再利用乘法分配律进行计算即可得解.
详解：原式=
6
26+6
（）
=12+1
=13.
点睛：考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
13．3 5
【解析】
【分析】
判断出即是中心对称，又是轴对称图形的个数，然后结合概率计算公式，计算，即可．
【详解】
解：等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形是：正方形、矩形、正六边形共3种，
故从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为：．
故答案为．
【点睛】
考查中心对称图形和轴对称图形的判定，考查概率计算公式，难度中等．
14．AE=AD（答案不唯一）．
【解析】
要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．等（答案不唯一）．
15．45°
【解析】
试题解析：
如图，连接CE ，
∵AB=2，BC=1，
∴DE=EF=1，CD=GF=2，
在△CDE 和△GFE 中
,CD GF CDE GFE DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CDE ≌△GFE(SAS)，
∴CE=GE ，∠CED=∠GEF ，
90AEG GEF ∠+∠=，
90CEG AEG CED ∴∠=∠+∠=，
45.CGE ∴∠= 故答案为45.
16．3
【解析】
试题解析：：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a ＞1．
-2
4b a
=-3，即b 2=12a ， ∵一元二次方程ax 2+bx+m=1有实数根，
∴△=b 2-4am≥1，即12a-4am≥1，即12-4m≥1，解得m≤3，
∴m 的最大值为3，
17．300
【解析】
【分析】
设成本为x 元，标价为y 元，根据已知条件可列二元一次方程组即可解出定价.
【详解】
设成本为x 元，标价为y 元，依题意得0.75250.920y x y x +=⎧⎨
-=⎩，解得250300
x y =⎧⎨=⎩ 故定价为300元.
【点睛】 此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程再求解.
18．2
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以得出AB 的长度，从而得知CD 的长度，再根据旋转的性质可知BC=B 1C ，从而可以得出答案.
【详解】
∵在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴
10AB =，
∵点D 为AB 的中点，
∴152
CD AB ＝＝，
∵将△ACB 绕点C 按顺时针方向旋转，当CB 经过点D 时得到△A 1CB 1．
∴CB 1＝BC ＝8，
∴DB 1＝CB 1-CD=8﹣5＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边中点的性质和旋转的性质，能够根据勾股定理求出AB 的长是解题的关键.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（1）201800y x =-+；（2）2203000108000w x x =-+-；（3）最多获利4480元.
【解析】
【分析】
（1）销售量y 为200件加增加的件数（80﹣x ）×20；
（2）利润w 等于单件利润×销售量y 件，即W=（x ﹣60）（﹣20x+1800），整理即可；
（3）先利用二次函数的性质得到w=﹣20x 2+3000x ﹣108000的对称轴为x=75，而﹣20x+1800≥240，x≤78，得76≤x≤78，根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时，W 随x 的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．
【详解】
（1）根据题意得，y=200+（80﹣x）×20=﹣20x+1800，
所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=﹣20x+1800（60≤x≤80）；（2）W=（x﹣60）y=（x﹣60）（﹣20x+1800）=﹣20x2+3000x﹣108000，
所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：
W=﹣20x2+3000x﹣108000；
（3）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，
w=﹣20x2+3000x﹣108000，对称轴为x=﹣
3000
2(20)
⨯-
=75，
∵a=﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，
∴x=76时，W有最大值，最大值=（76﹣60）（﹣20×76+1800）=4480（元）．
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
【点睛】
二次函数的应用．
20．（1）①y=400x﹣1．（5＜x≤10）；②9元或10元；（2）能，11元.
【解析】
【分析】
(1)、根据利润=(售价－进价)×数量－固定支出列出函数表达式；(2)、根据题意得出不等式，从而得出答案；
(2)、根据题意得出函数关系式，然后将y=1560代入函数解析式，从而求出x的值得出答案．
【详解】
解：（1）①y=400（x﹣5）﹣2．（5＜x≤10），
②依题意得：400（x﹣5）﹣2≥800，解得：x≥8.5，
∵5＜x≤10，且每份套餐的售价x（元）取整数，∴每份套餐的售价应不低于9元．
（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y=（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2，
当y=1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣2=1560，
解得：x1=11，x2=14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1=11，即x2=14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数和二次函数的实际应用问题，属于中等难度的题型．理解题意，列出关系式是解决这个问题的关键．
21．（1）详见解析；（2）30°．
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的作法作出AB 的垂直平分线即可；
（2）连接PA ，根据等腰三角形的性质可得PAB B ∠=∠，由角平分线的定义可得PAB PAC ∠=∠，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得∠B 的度数，可得答案．
【详解】
（1）如图所示：分别以A 、B 为圆心，大于
12
AB 长为半径画弧，两弧相交于点E 、F ，作直线EF ，交BC 于点P ，
∵EF 为AB 的垂直平分线，
∴PA=PB ，
∴点P 即为所求．
（2）如图，连接AP ，
∵PA PB =，
∴PAB B ∠=∠，
∵AP 是角平分线，
∴PAB PAC ∠=∠，
∴PAB PAC B ∠=∠=∠，
∵90ACB ∠=︒，
∴∠PAC+∠PAB+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
解得：∠B=30°，
∴当30B ∠=︒时，AP 平分CAB ∠．
【点睛】
本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．
22．（1）1
4
（2）
3
16
【解析】
【详解】
试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率．试题解析：
（1）P（两次取得小球的标号相同）=
41 164
；
（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=
3 16
．
考点：概率的计算．
23．（1）证明见解析；（2）ED=EB，证明见解析；（1）CG=2．
【解析】
【分析】
(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°，从而得出∠EDB=10°，从而得出DE=BE；
(2)、取AB的中点O，连接CO、EO，根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE全等，然后得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；
(1)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO
全等，设CG=a，则AG=5a，OD=a，根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案．
【详解】
(1)∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED=60°，
∴∠EDB=60°﹣∠B=10°，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=EB；
(2) ED=EB，理由如下：
取AB的中点O，连接CO、EO，
∵∠ACB=90°，∠ABC=10°，
∴∠A=60°，OC=OA，
∴△ACO 为等边三角形，
∴CA=CO ，
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠ACD=∠OCE ，
∴△ACD ≌△OCE ，
∴∠COE=∠A=60°，
∴∠BOE=60°，
∴△COE ≌△BOE ，
∴EC=EB ，
∴ED=EB ；
(1)、取AB 的中点O ，连接CO 、EO 、EB ， 由（2）得△ACD ≌△OCE ，
∴∠COE=∠A=60°，
∴∠BOE=60°，△COE ≌△BOE ，
∴EC=EB ，
∴ED=EB ，
∵EH ⊥AB ，
∴DH=BH=1，
∵GE ∥AB ，
∴∠G=180°﹣∠A=120°，
∴△CEG ≌△DCO ，
∴CG=OD ，
设CG=a ，则AG=5a ，OD=a ，
∴AC=OC=4a ，
∵OC=OB ，
∴4a=a+1+1，
解得，a=2，
即CG=2．
24．（1）200人，30%,10%m n ==；（2）见解析，036；（3）75万人.
【解析】
【分析】 (1)用A 类的人数除以所占的百分比求出被调查的市民数，再用B 类的人数除以总人数得出B 类所占的百分比m ，继而求出n 的值即可；
(2)求出C 、D 两组人数，从而可补全条形统计图，用360度乘以n 即可得扇形区域D 所对应的圆心角的度数；
(3)用该市的总人数乘以持有A 、B 两类所占的百分比的和即可．
【详解】
(1)本次被调查的市民共有：9045%200÷=(人)，
∴60100%30%200
m =⨯=，145%15%30%10%n =---=； (2)C 组的人数是20015%30⨯=(人)、D 组的人数是20090603020---=(人)， ∴6020100%30%,100%10%200200m n =
⨯==⨯=； 补全的条形统计图如下图所示：
扇形区域D 所对应的圆心角的度数为：
0036010%36⨯=；
(3)()10045%30%75⨯+=(万)，
∴若该市有100万人口，市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数约为75万人.
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、统计表，读懂图形，找出必要的信息是解题的关键.
25．30元
【解析】
试题分析：设第一批盒装花的进价是x 元/盒，则第一批进的数量是：
，第二批进的数量是：，
再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．
解：设第一批盒装花的进价是x 元/盒，则
2×=， 解得 x=30
经检验，x=30是原方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
考点：分式方程的应用．
26．见解析
【解析】
【分析】
先通过∠BAD=∠CAE 得出∠BAC=∠DAE ，从而证明△ABC ≌△ADE ，得到BC=DE ．
【详解】
证明：∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．
即∠BAC=∠DAE ，
在△ABC 和△ADE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．
∴BC=DE ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：
AAS 、SSS 、SAS 、SSA 、HL ．
2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）米
A．5B．3C．5+1 D．3
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为（）
A．13 B．17 C．18 D．25
3．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）
A．参加本次植树活动共有30人B．每人植树量的众数是4棵
C．每人植树量的中位数是5棵D．每人植树量的平均数是5棵
4．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）
A ．（32，0）
B ．（2，0）
C ．（52，0）
D ．（3，0）
5．如图，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE=
13
CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F ，若AB=6，则BF 的长为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
6．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x 名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ） A ．x （x+1）＝210
B ．x （x ﹣1）＝210
C ．2x （x ﹣1）＝210
D ．12
x （x ﹣1）＝210 7．抛物线223y x ＝（﹣）的顶点坐标是（ ）
A ．（2，3）
B ．（-2，3）
C ．（2，-3）
D ．（-2，-3）
8．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间x （min ）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）
A ．27分钟
B ．20分钟
C ．13分钟
D ．7分钟
9．下列函数中，y随着x的增大而减小的是（）
A．y=3x B．y=﹣3x C．
3
y
x
=D．
3
y
x
=-
10．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC
＝3，DE＝2，则EF的长为()
A．4 B．.5 C．6 D．8
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为_____米．
12．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=__________°．
13．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．
14．某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为_____人．
15．把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____
16．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
17．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为9m，那么这栋建筑物的高度为_____m．
18．一元二次方程x2=3x的解是：________．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．求证：EF＝ED；若AB＝22，CD＝1，求FE的长．
20．（6分）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1(a≠0)把二次函数C1的表达式化成y＝a(x﹣h)2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；已知二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
21．（6分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．求证：∠ACF=∠ABD；连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．
22．（8分）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）
23．（8分）某小学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：
补全条形统计图；求扇形统
计图扇形D的圆心角的度数；若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？
24．（10分）据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．
25．（10分）计算
53
2
224
m
m
m m
-
⎛⎫
+-÷
⎪
--
⎝⎭
.
26．（12分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是．如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．C
【解析】
由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°
据勾股定理则2222
125
AC AB
+=+=；
∴AC+BC=（5m.
答：树高为（5
故选C.
2．C
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF为线段AB的垂
直平分线，在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=1
2
AB，所以△ACD的
周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.
3．D
【解析】
试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），
∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；
B、∵10＞8＞6＞4＞2，
∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；
C、∵共有30个数，第15、16个数为5，
∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；
D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），
∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．
故选D．
考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．
4．C
【解析】
【分析】
过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．
【详解】
解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，
∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
OAC BCD
AOC BDC AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y＝k
x
，
将B（3，1）代入y＝k
x
，
∴k＝3，
∴y＝3
x
，
∴把y＝2代入y＝3
x
，
∴x＝3
2
，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了3
2
个单位长度，
∴C也移动了3
2
个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（5
2
，0）
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
5．C
【解析】
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=1
2
AB=1．
又CE=1
3 CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=2．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=3．
故选C．
6．B
【解析】
【详解】
设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；
则总共送出的图书为x(x−1)；
又知实际互赠了210本图书，
则x(x−1)=210.
故选：B.
7．A
【解析】
【分析】
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】
解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．8．C
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．
【详解】
解：设反比例函数关系式为：
k
y
x
=，将（7，100）代入，得k=700，
∴700
y
x
=，
将y=35代入
700
y
x =，
解得20
x；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，故选C．
【点睛】
本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．9．B
【解析】
试题分析：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；
C、
3
y
x
=，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；
D、
3
y
x
=-，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
故选B．
考点：反比例函数的性质；正比例函数的性质．10．C
【解析】
【详解】
解:∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得AB DE
BC EF
=,
即12
3EF =，
解得EF=6，
故选C.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．6.4
【解析】
【分析】
根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题. 【详解】
解：由题可知：1.6
28
=
树高
,
解得：树高=6.4米.
【点睛】
本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键. 12．1
【解析】
试题分析：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=1°，故答案为1．
考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．。