2020-2021学年四川省成都市锦江区九年级(上)期末数学试卷(一诊)

2020-2021学年四川省成都市锦江区九年级（上）期末数学试卷（一诊）一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．
1．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝3，则AC的长为（）
A．3B．4C．5D．6
3．（3分）为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2020年10月份该工厂的口罩产量为500万个，12月份产量为720万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（）
A．500（1+2x）＝720B．720（1﹣x）2＝500
C．500（1+x2）＝720D．500（1+x）2＝720
4．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝4．则四边形BDEC的面积为（）
A．4B．8C．12D．16
5．（3分）已知点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（）
A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y2
6．（3分）如图，在⊙O上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若∠ABC＝110°，则∠AOC的大小为（）
A．70°B．110°C．130°D．140°
7．（3分）已知，将△ABC沿AD折叠，点B的对应点B'落在边AC上（如图a），再将∠CAD对折，点A 的对应点为A'，折痕为EF（如图b），再沿A'E所在直线剪下，则阴影部分展开后的形状为（）
A．等腰三角形B．矩形C．菱形D．正方形
8．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（）
A．y＝x2﹣2x+3B．y＝x2﹣2x+4C．y＝x2+2x+3D．y＝x2+2x+4
9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD＝120°．过点A作AE⊥BD于点E，则BE：ED等于（）
A．1：3B．1：4C．2：3D．2：5
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③a＞；④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，则3＜|x1﹣x2|＜4，其中
正确的结论有（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan C＝．
12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．
13．（4分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为．
14．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝．
三、解答题（共6个小题，满分54）
15．（12分）（1）计算：﹣tan60°+（）﹣1﹣|1﹣2cos30°|．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
16．（6分）“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青年，深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神的青年学习行动．某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有800名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有3名同学（1名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这3名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
17．（8分）如图，在水平地面上，有一盏垂直于地面的路灯AB，在路灯前方竖立有一木杆CD．已知木杆长CD＝2.65米，木杆与路灯的距离BD＝5米，并且在C点测得灯源A的仰角为44°．（结果保留1位小数：参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）
（1）求路灯高AB大约是多少米？
（2）请在图中画出木杆CD在灯光下的影子（用线段表示），并求出影长．
18．（8分）如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．
19．（10分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过线段AB的中点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径作⊙O，交AC于点D，连接AO，交BD于点E，
交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：∠CAO＝∠CBD；
（2）求证：＝；
（3）当△DEF为等腰三角形时，若BC＝4，求△DEF的面积．
四、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．22．（4分）如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为．
23．（4分）如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的两点，过点A作AC⊥x轴于点C，交直线OB于点D，连接OA．若点A的坐标为（3，1），OB＝BD，则sin∠AOD＝．
24．（4分）黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，其比值等于．如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，△ADH的面积记为S1，四边形DHCG的面积记为S2．如果点C是线段BG的黄金分割点，
则的值为．
25．（4分）如图1，点E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．若△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为图象顶点），则等边△ABC的边长AB＝．
五、解答题（第26题满分30分，第27题满分30分，第28题满分30分）
26．（8分）近年来，西部某民族聚居区扶贫工作小组结合当地实际，大力开发乡村旅游扶贫项目，积极挖掘乡村生态休闲、旅游观光、文化教育价值，发展乡村民宿．某民宿建有40个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每天需对每个房间支出40元的各种费用，设每个房间的定价为x元，相应的住房数为y间．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求每个房间定价为多少元时，该民宿当天利润W最大？最大利润是多少？
27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．
（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．
28．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）抛物线上是否存在一点D（不与点A，B，C重合），使得直线DA将四边形DBAC的面积分为3：5两部分，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以点P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．
1．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上边看是两个有公共边的矩形，如图所示：
故选：A．
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝3，则AC的长为（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，
∴AB＝BC＝×3＝5，
∴AC＝＝＝4．
故选：B．
3．（3分）为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2020年10月份该工厂的口罩产量为500万个，12月份产量为720万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（）
A．500（1+2x）＝720B．720（1﹣x）2＝500
C．500（1+x2）＝720D．500（1+x）2＝720
【解答】解：设第11、12月份每月的平均增长率为x，
则根据题意可得出方程为：500（1+x）2＝720；
故选：D．
4．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝4．则四边形BDEC的面积为（）
A．4B．8C．12D．16
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝16，
∴四边形BDEC的面积＝16﹣4＝12，
故选：C．
5．（3分）已知点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系为（）
A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y2
【解答】解：∵反比例函数y＝中的k＝5＞0，
∴反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y的值随x的值增大而减小．
∵（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，即这两点都位于第三象限，
∴y1＞y2．
故选：A．
6．（3分）如图，在⊙O上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若∠ABC＝110°，则∠AOC的大小为（）
A．70°B．110°C．130°D．140°
【解答】解：在优弧AC上取一点D，连接AD，DC．
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
7．（3分）已知，将△ABC沿AD折叠，点B的对应点B'落在边AC上（如图a），再将∠CAD对折，点A 的对应点为A'，折痕为EF（如图b），再沿A'E所在直线剪下，则阴影部分展开后的形状为（）
A．等腰三角形B．矩形C．菱形D．正方形
【解答】解：阴影部分展开后如图所示，
由折叠可得，∠AFE＝∠A'FE＝90°，AF＝A'F，EF＝E'F，
∴AA'与EE'互相平分，AA'⊥EE'，
∴四边形AEA'E'是菱形，
故选：C．
8．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（）
A．y＝x2﹣2x+3B．y＝x2﹣2x+4C．y＝x2+2x+3D．y＝x2+2x+4
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，0），
∴将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到抛物线的顶点坐标是（﹣1，3），
∴平移后的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x+1）2+3，即y＝x2+2x+4．
故选：D．
9．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD＝120°．过点A作AE⊥BD于点E，则BE：ED等于（）
A．1：3B．1：4C．2：3D．2：5
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵AE⊥BD，
∴BE＝OE＝OB，
∴ED＝3BE，
∴＝，
故选：A．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③a＞；④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，则3＜|x1﹣x2|＜4，其中
正确的结论有（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：①抛物线对称轴在y轴右侧，则ab异号，而c＞0，则abc＜0，故结论正确；
②由图象可知x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故结论正确；
③∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴﹣3a+c＜0，
∴a＞，故结论正确；
④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，由图象可知，0＜x1＜1，3＜x2＜4，
∴则2＜|x1﹣x2|＜4，故结论错误；
故选：A．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan C＝．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于E．
Rt△AEC中，tan C＝＝＝，
故答案为：．
12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1．
【解答】解：根据题意得△＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，
解得k＜1．
故答案为k＜1．
13．（4分）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个，
∴配成紫色的概率为，
故答案为：．
14．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝150°．
【解答】解：根据作图过程可知：
AD＝AP＝PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB＝AP，DP＝DC，
∴∠ABP＝∠APB＝∠DPC＝∠DCP＝75°，
∴∠BPC＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°．
故答案为：150°．
三、解答题（共6个小题，满分54）
15．（12分）（1）计算：﹣tan60°+（）﹣1﹣|1﹣2cos30°|．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【解答】解：（1）﹣tan60°+（）﹣1﹣|1﹣2cos30°|
＝2﹣+2﹣|1﹣2×|
＝2﹣+2+（1﹣）
＝3；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
移项，得x2﹣4x＝1，
配方，得x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
解得x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
16．（6分）“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青年，深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神的青年学习行动．某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有800名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有3名同学（1名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这3名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【解答】解：（1）抽取的学生数为：24÷30%＝80（人）；
抽取的学生中良好的人数为：80﹣24﹣16﹣8＝32（人），
将条形统计图补充完整如图：
（2）800×＝560（名），
即估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有560名；
（3）画树状图如图：
共有6个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的有4个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为＝．
17．（8分）如图，在水平地面上，有一盏垂直于地面的路灯AB，在路灯前方竖立有一木杆CD．已知木杆长CD＝2.65米，木杆与路灯的距离BD＝5米，并且在C点测得灯源A的仰角为44°．（结果保留1位小数：参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）
（1）求路灯高AB大约是多少米？
（2）请在图中画出木杆CD在灯光下的影子（用线段表示），并求出影长．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于E．
在Rt△ACE中，∠ACE＝44°，CE＝BD＝5米，
∴＝tan44°，
∴AE＝EC•tan44°≈5×0.97≈4.85（米），
∵EB＝CD＝2.65米，
∴AB＝AE+EB＝4.85+2.65≈7.5（米）．
（2）如图，延长AC交BD的延长线于F．则线段DF就是木杆CD在灯光下的影子，
∵CE∥BF，
∴∠CFD＝∠ACE＝44°，
在Rt△CFD中，tan∠CFD＝，
∴DF＝≈≈2.7（米）．
即木杆CD在灯光下的影子为2.7米．
18．（8分）如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠ADE＝∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）△ABF是等腰直角三角形，
证明：∵CF⊥DE，
∴∠CFE＝90°，
又∵∠CEF＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，
∴EF＝CF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（SAS），
∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，
∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，
即∠AFB＝∠EFC＝90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．
19．（10分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过线段AB的中点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（6，0），B（0，4），
∵线段AB的中点是C，
∴C（3，2）．
将C（3，2）代入y1＝（x＞0），得k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y1＝；
（2）∵将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，
∴a＝﹣，D（10，0）．
把D（10，0）代入y＝﹣x+b，解得b＝，
∴直线EF的解析式为y2＝﹣x+．
由，解得或，
∴E（1，6），F（9，）．
如图，过点C作CP∥y轴交EF于P，则P点的横坐标为3．
将x＝3代入y2＝﹣x+，得y＝，
∴CP＝，
∴S△ECF＝S△ECP+S△PCF
＝××（3﹣1）+××（9﹣3）
＝+8
＝；
（3）由图象可得，不等式y1＜y2的解集为1＜x＜9．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径作⊙O，交AC于点D，连接AO，交BD于点E，交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：∠CAO＝∠CBD；
（2）求证：＝；
（3）当△DEF为等腰三角形时，若BC＝4，求△DEF的面积．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，OB＝OC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠CAO+∠ACO＝90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠CAO＝∠CBD；
（2）证明：∵AB＝AC，OB＝CO，
∴∠BAO＝∠CAO，
又∵∠CAO＝∠CBD，
∵∠BAO＝∠EBO，
又∵∠AOB＝∠BOE，
∴△AOB∽△BOE，
∴，
又∵OB＝OF，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵∠BDF＝∠BOF，∠BOF＝90°，∴∠BDF＝45°，
∴∠ADF＝45°，
又∵∠DFE＝∠ADF+∠F AD，
∴∠DFE＞45°，
连接BF，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB＝45°，
又∵∠BEO＝∠OFB+∠FBE，
∴∠BEO＞45°，
∴∠DEF＝∠BEO＞45°，
在△DEF中，∠EDF＝45°，∠DFE＞45°，∠DEF＞45°，∴DE≠EF，DF≠EF，
∴若△DEF是等腰三角形，则只有一种情况：DE＝DF．
∴∠DFE＝∠DEF，
连接EC，FC，
∵∠DEC+2∠BOE＝180°，
∴∠DEC+2∠DEF＝180°，
又∵∠EDF+2∠DEF＝180°，
∴∠DEC＝∠EDF＝45°，
又∵∠EDC＝90°，
∴∠DCE＝45°，
∴DE＝DC，
又∵∠ADE＝∠BDC＝90°，∠EAD＝∠CBD，
∴△ADE≌△BDC（ASA），
∴AE＝BC＝4，
又∵OF＝BC＝2，，
∴，
∴EF＝4﹣2或EF＝4+2（大于2，舍去），
∴EO＝2﹣2，
过点D作DG⊥EF于点G，
∴EG＝EF＝2﹣，DG∥BC，
∴△DGE∽△BOE，
∴，
∴，
∴DG＝，
∴＝＝2﹣2
四、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7．【解答】解：由题意，得：x1+x2＝3，x1x2＝﹣2；
原式＝（x1+x2）2+x1x2＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
22．（4分）如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为4．
【解答】解：如图，连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝＝，
在Rt△ABO中，AO＝＝＝1，
又∵BE＝，
∴EO＝﹣＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝，
同理可得，CE＝CF＝AF＝，
∴四边形AECF的周长4．
故答案为：4．
23．（4分）如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的两点，过点A作AC⊥x轴于点C，交直线OB于点D，连接OA．若点A的坐标为（3，1），OB＝BD，则sin∠AOD＝．
【解答】解：∵AD⊥x轴，A（3，1），
∴OC＝3，点D的横坐标为3，
将点A（3，1）代入反比例函数y＝中得，k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵AD⊥x轴，
∴BH∥OC，
∵OB＝BD，
∴CH＝DH，
∴BH是△OCD的中位线，
∴BH＝OC＝，
当x＝时，y＝＝2，
∴点H（3，2），点B的坐标为（，2），
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴D（3，4），
∴OD＝5，AD＝3，
过点A作AG⊥OD于G，
∴S△AOD＝AD•OC＝OD•AG，
∴AG＝＝＝，
∵OA＝＝，
在Rt△AGO中，sin∠AOD＝＝＝，
故答案为：．
24．（4分）黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，其比值等于．如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，△ADH的面积记为S1，四边形DHCG的面积记为S2．如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为或．
【解答】解：设△ADH的AD边上的高为h，△GBH的边BG上的高为h'，分两种情况：
①点C是线段BG的黄金分割点，BC＞CG，
则BC＝BG，
∴BG＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴＝＝，
∴h＝h'，
∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH的面积＝BG •CD﹣BC•h'，
∴＝＝＝＝；
②点C是线段BG的黄金分割点，BC＜CG，
则BC＝BG，
∴BG＝BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∴△ADH∽△GBH，
∴＝＝，∴h＝h'，
∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH的面积＝BG •CD﹣BC•h'，
∴＝＝＝＝；
综上所述，如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为或；
故答案为：或．
25．（4分）如图1，点E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作
等边△AEF，连接CF．若△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为图象顶点），则等边△ABC的边长AB＝4．
【解答】解：过点F作FM⊥BC，交BC延长线于M，设BE＝x，AB＝a．
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF＝x，∠ACF＝∠B＝60°，
∴FM＝CF•sin60°＝x，
∴S＝•（a﹣x）•x＝﹣x2+ax，
∵﹣＜0，
∴当x＝a时，S的值最大，
∴E为BC中点，AE⊥BC，
∴∠AEF＝60°，
∴∠FEM＝90°﹣60°＝30°，
∴FM＝EF＝AE，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴FM＝AE＝AB，
∵EC＝BC＝AB，
∴，
∴AB＝，
故答案为：4．
五、解答题（第26题满分30分，第27题满分30分，第28题满分30分）
26．（8分）近年来，西部某民族聚居区扶贫工作小组结合当地实际，大力开发乡村旅游扶贫项目，积极挖掘乡村生态休闲、旅游观光、文化教育价值，发展乡村民宿．某民宿建有40个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每天需对每个房间支出40元的各种费用，设每个房间的定价为x元，相应的住房数为y间．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求每个房间定价为多少元时，该民宿当天利润W最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意得：
y＝40﹣＝﹣0.1x+58，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣0.1x+58；
（2）由题意得：
W＝（x﹣40）（﹣0.1x+58）
＝﹣0.1（x﹣310）2+7290，
∵a＝﹣0.1＜0，
∴当x＝310时，W最大＝7290元．
∴每个房间定价为310元时，该民宿当天利润W最大，最大利润是7290元．
27．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．
（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝45°，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴∠EFD＝∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣∠CAD﹣∠AFE＝45°，
∴∠EAF＝∠AEF，
∴AF＝EF；
（2）解：当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论AF＝EF仍然成立，理由如下：如图2，取AC的中点G，连接DG，FG，
在Rt△ADC中，∴DG＝CG＝AG，
∴∠GDC＝∠C＝45°，
∴∠DGC＝90°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∵△DFE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵∠FDG＝∠FDE+∠EDG＝45°+∠EDG，
∠EDC＝∠GDC+∠EDG＝45°+∠EDG，
∴∠FDG＝∠EDC，
∴△FDG∽△EDC，
∴∠FGD＝∠ECD＝45°，
∴∠FGA＝45°，
在△FGA和△FGD中，
，
∴△FGA≌△FGD（SAS），
∴AF＝DF，
∵DF＝EF，
∴AF＝EF；
（3）在Rt△ABC中，BC＝14，D是BC中点，
∴AD＝7，
取AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，由（2）可知∠FGD＝45°＝∠GDC，
∴FG∥DC，
∴GP⊥AD且AP＝DP＝PG＝AD＝，
在Rt△APF中，AP＝，AF＝，
∴PF＝＝＝，
①如图2，当点F落在线段AD左侧时，FG＝4，
∵△FDG∽△EDC，
∴＝，
∴EC＝4；
②如图3，当点F落在线段AD的右侧时，
∴FG＝PG﹣PF＝DP﹣PF＝3.5﹣0.5＝3，
同理得△FDG∽△EDC，
∴＝，
∴EC＝3．
综上，EC的长是4或3．
28．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）抛物线上是否存在一点D（不与点A，B，C重合），使得直线DA将四边形DBAC的面积分为3：5两部分，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以点P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于点B（﹣3，0），C（1，0），
∴，解得：，
∴该二次函数的解析式是y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）如图1，将x＝0代入y＝x2+2x﹣3中得：y＝﹣3，
∴A（0，﹣3），
设D（m，m2+2m﹣3），
设直线AD的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线AD的解析式为：y＝（m+2）x﹣3，
∴直线AD与x轴的交点E的坐标为（，0），
∴＝＝＝＝＝，①当＝时，，
解得：m＝﹣4，m2+2m﹣3＝5，
∴D（﹣4，5）；
②当＝时，＝，
解得：m＝﹣8，m2+2m﹣3＝45，
∴D（﹣8，45）；
综上，点D的坐标是（﹣4，5）或（﹣8，45）；
（3）分三种情况：
①如图2，以AB为边时，四边形ABPQ是平行四边形，
∵抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
∴P的横坐标为﹣1，
∵A（0，﹣3），B（﹣3，0），
∴Q的横坐标为2，
当x＝2时，y＝22+2×2﹣3＝5，
∴Q（2，5）；
②如图3，以AB为边时，四边形ABQP是平行四边形，
同理得Q（﹣4，5）；
③如图4，以AB为对角线时，四边形AQBP是平行四边形，
同理得Q（﹣2，﹣3）；
综上，点Q的坐标为（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）．。