高考数学一轮(实用课件)章9-10解析几何统计等(14份) 北师大版3精品课件

热点三 圆锥曲线中的最 值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以 及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些 元素存在最值时求解与之有关的一些问题．
圆锥曲线中的最值、范围问题
【例 3】 (2016·山东卷)平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离 心率是 23，抛物线 E：x2＝2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的 两点 A，B，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. ①求证：点 M 在定直线上； ②直线 l 与 y 轴交于点 G，记△PFG 的面积为 S1，△PDM 的面积为 S2，求SS12的 最大值及取得最大值时点 P 的坐标．
解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤 第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探
求的定点、定值． 第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论．
圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)
【训练 2】 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F(1，0)，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点． (1)求抛物线 C 的方程； (2)若直线 OA，OB 的斜率之积为－12，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点．
则|AM|＋|AC|的最小值为________． (2)设点 B 为椭圆的左焦点，点 M(2，1)在椭圆内， 那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而 a＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，
所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－ 26.
将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1 得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.7 分 故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1.10 分 于是直线 OM 的斜率 kOM＝xyMM＝－21k， 即 kOM·k＝－21. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.12 分
答案 (3) 2－1
圆锥曲线的标准方程与几何性质
探究提 高
(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点 的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点 的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离．在抛 物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再 利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．
圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)
❶列出方程组，解出 a2，b2 得 4 分． ❷设出直线 l 的方程后与椭圆方程联立消去 y 得到关于 x 的方程准确
者得 4 分． ❸求出点 M 的坐标得 1 分，再得到直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的
乘积为定值得 2 分． ❹结论得 1 分．
圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)
答案 (2)8－ 26
热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性 质
【例 1】 (3)已知椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)与抛物线 y2＝2px(p＞0) 有相同的焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若直线 PQ 经过 焦点 F，则椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为________．
(1)解 因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，
所以p2＝1，所以 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)证明 ①当直线 AB 的斜率不存在时，设 At42，t，Bt42，－t.
因为直线 OA，OB 的斜率之积为－12， 所以tt2·－t2t＝－21，化简得 t2＝32. 44
圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)
所以 A(8，t)，B(8，－t)，此时直线 AB 的方程为 x＝8. ②当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立得yy2＝＝k4xx＋，b，化简得 ky2－4y＋4b＝0. 根据根与系数的关系得 yAyB＝4kb， 因为直线 OA，OB 的斜率之积为－12， 所以xyAA·xyBB＝－21， 即 xAxB＋2yAyB＝0. 即y42A·y42B＋2yAyB＝0， 解得 yAyB＝0(舍去)或 yAyB＝－32. 所以 yAyB＝4kb＝－32，即 b＝－8k，所以 y＝kx－8k， 即 y＝k(x－8)． 综上所述，直线 AB 过定点(8，0)．
③设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y＝x＋ 2， 由x42＋y22＝1，
得 3x2＋4
2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝－432， 所以|AB|＝ 1＋1·|x1－x2|＝83，故③正确．
故选 A. 答案 A
热点二 圆锥曲线中的定点、 定值问题(规范解答)
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问 题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
解析 ①由椭圆的定义， 得|AF1|＋|AF2|＝4，|BF1|＋|BF2|＝4， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|， 所以△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，故①正确；
②由条件，得 F1(－ 2，0)，因为过 F1 且倾斜角为 45°的直线 l 的斜率为 1，
所以直线 l 的方程为 y＝x＋ 2，
x2＋4y2＝1， 联立方程y＝mx－m22，
得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.
圆锥曲线中的最值、范围问题
由 Δ>0，得 0<m< 2＋ 5(或 0<m2<2＋ 5)．(*) 且 x1＋x2＝4m4m2＋3 1， 因此 x0＝4m2m2＋3 1， 将其代入 y＝mx－m22，得 y0＝2（4－mm2＋2 1），
(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各 个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的 几何性质通过代数方法进行计算得出结果．
圆锥曲线的标准方程与几何性质
【训练 1】 (2017·衡水金卷)已知椭圆x42＋y22＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 且倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A，B 两点距离为 1；③|AB|＝83.其中正确结论的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0
(1)解 由题意知 a2a－b2＝ 23，可得 a2＝4b2， 因为抛物线 E 的焦点 F0，12，所以 b＝21，a＝1，
圆锥曲线中的最值、范围问题
所以椭圆 C 的方程为 x2＋4y2＝1. (2)①证明 设 Pm，m22(m>0)，由 x2＝2y，可得 y′＝x， 所以直线 l 的斜率为 m，因此直线 l 的方程为 y－m22＝m(x－m)． 即 y＝mx－m22. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
所以SS12＝2（4m（2＋2m1）2＋（1）m22＋1）.
圆锥曲线中的最值、范围问题
设 t＝2m2＋1， 则SS12＝（2t－1）t2（t＋1）＝2t2＋t2t－1＝－t12＋1t ＋2，当1t ＝12， 即 t＝2 时，SS21取到最大值49， 此时 m＝ 22，满足(*)式，所以 P 点坐标为 22，14. 因此SS12的最大值为94，此时点 P 的坐标为 22，14.
则原点到 l 的距离 d＝| 22|＝1，故②正确；
圆锥曲线的标准方程与几何性质
【训练 1】 (2017·衡水金卷)已知椭圆x42＋y22＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 且倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，以下结论：①△ABF2 的周长为 8；②原点到 l 的距离为 1；③|AB|＝83.其中正确结论的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0
(3)因为抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 为p2，0， 设椭圆另一焦点为 E. 如图所示，将当 x＝p2代入抛物线方程得 y＝±p，又因为 PQ 经过焦点 F， 所以 Pp2，p且 PF⊥OF. 所以|PE|＝ p2＋p22＋p2＝ 2p，|PF|＝p，|EF|＝p. 故 2a＝ 2p＋p，2c＝p，e＝22ac＝ 2－1.
圆锥曲线中的最值、范围问题
【训练 3】 (2016·浙江卷)如图，设抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，抛物线上 的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|－1. (1)求 p 的值； (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直 的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围．
圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)
【例 2】 (满分 12 分)(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率 为 22，点(2， 2)在 C 上． (1)求 C 的方程； (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中 点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性 【例 1】 (1)(2015·天津卷)已知双曲质线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为 F(2，
0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3 相切，则双曲线的方程为( ) A.x92－1y32＝1 B.1x32－y92＝1 C.x32－y2＝1 D．x2－y32＝1
解析 (1)双曲线xa22－by22＝1 的一个焦点为 F(2，0)，则 a2＋b2＝4，① 双曲线的渐近线方程为 y＝±bax， 由题意得 a22＋b b2＝ 3，②
联立①②解得 b＝ 3，a＝1， 所求双曲线的方程为 x2－y32＝1，选 D. 答案 (1)D
热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性 【例 1】 (2)若点 M(2，1)，点 C 是椭质圆1x62＋y72＝1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，
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1.热点一 .圆锥曲线的标准方程
与几何性质
2.热点二 .圆锥曲线中的定点、定值问
题(规范解答)
3.热点三 .圆锥曲线中的最值、范围
问题
热点突破
热点一 圆锥曲线的标准 方程与几何性质
圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是 高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型．
圆锥曲线中的最值、范围问题
探究 提高
圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数 法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次 函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等 关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围； 二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几 何意义求最值．
【满分解答】 解 (1)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1，2 分 解得 a2＝8，b2＝4.4 分 所以 C 的方程为x82＋y42＝1.5 分
证明 (2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)
因为xy00＝－41m. 所以直线 OD 方程为 y＝－41mx，
联立方程y＝－41mx， x＝m，
得点 M 的纵坐标 yM＝－14，
所以点 M 在定直线 y＝－14上．
圆锥曲线中的最值、范围问题
②解 由①知直线 l 的方程为 y＝mx－m22， 令 x＝0，得 y＝－m22，所以 G0，－m22， 又 Pm，m22，F0，12，D4m2m2＋3 1，2（4－mm2＋2 1）， 所以 S1＝21·|GF|·m＝（m2＋4 1）m， S2＝12·|PM|·|m－x0|＝12×2m24＋1×24mm32＋＋m1 ＝m8（（24mm22＋＋11））2.