第一课数学实验之Pi的近似计算
圆周率的实验报告
圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。
实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。
选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。
将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。
实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。
选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。
然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。
随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。
实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。
我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。
实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。
其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。
在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。
实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。
我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。
结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。
π的计算方法范文
π的计算方法范文π是一个无理数，它的计算一直是数学界的一个重要问题。
本文将探讨几种计算π的方法，并分析它们的优缺点。
一：基于几何形状的计算方法之圆面积法圆面积法是最早被人们提出的计算π的方法。
它的思想是通过比较圆的面积和正方形的面积来估算π的值，具体步骤如下：1.画一个半径为R的圆心O，以O为中心画一个边长为2R的正方形。
2.计算圆的面积：S1=πR^23.计算正方形的面积：S2=(2R)^2=4R^24.比较S1和S2，得到π的近似值：π≈S1/S2=π/4这种方法的优点是简单易懂，可以通过纸和铅笔进行实际操作。
缺点是精度较低，仅能计算到几位小数。
二：基于无穷级数的计算方法之莱布尼茨级数莱布尼茨级数是一种无穷级数，可以用来计算π的近似值。
它的形式如下：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...通过逐项相加，可以得到π的近似值。
这种方法的优点是可以通过计算机程序进行高效计算，精度较高。
缺点是收敛速度较慢，需要计算多项才能得到较精确的结果。
三：基于三角函数的计算方法之莫特隆公式莫特隆公式是一种基于三角函数的计算π的方法。
它的形式如下：π/4 = tan(1/2) + tan(1/2^2) + tan(1/2^3) + ...通过逐项相加，可以得到π的近似值。
这种方法的优点是计算精度较高，可以通过计算机程序进行高效计算。
缺点是收敛速度较慢，需要计算多项才能得到较精确的结果。
四：基于随机数的蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种随机抽样的统计方法，也可以用来计算π的近似值。
具体步骤如下：1.在一个正方形内部画一个半径为R的圆，圆心位于正方形中心。
2.随机在正方形内部生成N个点，统计落在圆内的点的数量M。
3.根据概率统计原理，有M/N≈π/4，可得π的近似值：π≈4M/N。
这种方法的优点是计算精度较高，可以通过计算机程序进行高效计算。
缺点是计算复杂度较高，需要生成大量的随机数来增加计算精度。
综上所述，计算π的方法多种多样，每种方法都有其优点和缺点。
pi的计算
5.圆周率的随机模拟计算方法 (蒙特卡罗法)
cs=0 n=500 %随机取点数 for i=1:n a=rand(1,2); if a(1)^2+a(2)^2<=1 cs=cs+1 end end 4*cs/n
１
０
１
依次取n 500,1000,3000,5000,50000取算得 圆周率的近似值分别为 3.18400000000000 3.10400000000000 3.13866666666667 3.12080000000000 3.14376000000000
1 ( 1)n (6n)! 13591409 545140134n 12 , 3 3 3 n n 0 ( 3n)!( n! ) 640320 2
并在1994年计算到了4044000000位．它的另一 种形式是
426880 10005 . (6n)!(545140134 n 13591409) 3 3n ( n ! ) ( 3 n )! ( 640320 ) n 0
例3 完成下面的实验任务
(1) 用MATLAB软件计算函数arctan x的Maclaurin 展开式，计算的近似值.
( 2)利用下面的等式计算 的值，并与（ 1）比较.
2 1 2 ( 1)n1 (a ) (b) , 2, 2 8 n1 ( 2n 1) 12 n1 n
分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 1593年，韦达给出
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
圆周率π的计算公式
圆周率π的计算公式圆周率π，这可是数学世界里的一位“大明星”呀！咱先来说说啥是圆周率π。
简单来讲，它就是圆的周长和直径的比值。
那怎么计算它呢？这可有着不少方法。
咱先从最常见的方法说起，就是通过圆的周长除以直径来计算。
比如说，咱画一个圆，然后用一根绳子沿着圆的边缘围一圈，再把这根绳子拉直，量一量它的长度，这就是圆的周长。
接着再量一量这个圆的直径，最后用周长除以直径，就能得到圆周率π的近似值啦。
我记得有一次，在课堂上，我让同学们自己动手去测量一个圆形纸片的周长和直径。
有个小家伙可认真了，他拿着尺子，眼睛瞪得大大的，小心翼翼地测量着。
结果算出来的圆周率π的值和标准值差了不少，他那一脸困惑的样子，别提多有趣了。
我就告诉他，测量会有误差，不过咱们不断提高测量的精度，就能越来越接近准确值。
还有一种方法是用数学公式来计算。
比如莱布尼茨公式：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 +... 。
这个公式看着有点复杂，但是只要咱们有耐心，一项一项地计算下去，就能得到越来越精确的π值。
另外，还有蒙特卡罗方法。
这个方法就像是在玩一个有趣的游戏。
咱们在一个正方形里面随机地撒很多很多的点，然后统计落在圆内的点的数量和总点数的比例，通过这个比例就能算出圆周率π的值。
说到这，我想起之前参加一个数学科普活动，现场就有老师用蒙特卡罗方法给大家演示计算圆周率π。
大家都围在一起，眼睛紧紧盯着屏幕，看着那些随机出现的点，心里都期待着能算出一个接近的π值。
总之，计算圆周率π的方法多种多样，每一种方法都有它的奇妙之处。
不管是通过测量，还是运用复杂的公式，或者是有趣的随机实验，都能让我们更加深入地了解圆周率π这个神奇的数字。
对于咱们学习数学的同学们来说，了解圆周率π的计算公式，不仅能帮助我们解决数学问题，更能让我们感受到数学的魅力和乐趣。
就像我们在探索圆周率π的计算过程中，每一次尝试都是一次小小的冒险，每一个新的发现都像是找到了宝藏。
π的计算
取 k 10
1 1 1 1 4 1 3.232316 3 5 19 21
取 k 20
1 1 1 1 4 1 3.189184 3 5 39 41
在中学数学中证明过下面的等式 1 1
2l N na
历史上有一些学者亲自做过这个试验，下表记
录了他们的结果（把a折算为单位长）：
试验者 Walf Smith 年份 1850 1855 投掷次数 相交次数 得的近似值 针 长 5000 2532 3.159 6 0.8 3204 1218 3.155 4 0.6
DeMorgan Fox
1 1 记 arctan ， 4 ，得tan 239 4 5
此式求得了π的第100位小数且全部正确
其它方法
除用古典方法与分析方法求π的近似值以 外，还有人用其他方法来求π的近似值。
这里我们将介绍两种方法：
概率方法 数值积分方法
概率方法1
取一个二维数组（x,y），取一个充分大的 正整 数n，重复n次，每次独立地从 （0，1） 中随机地取一对 数x和y ，分别检验 x2+y2≤1是否成立。 设n次试验中等式成立 的共有m次，令π≈4m/n。
但这种方法很难得到π的较好的近似值。
概率方法2——利用葡丰（Buffon）投针问题 葡丰（Buffon）投针问题：平面上画有等距离的 一族平行线，平行线间的距离为a（a＞0），向平 面任意投掷一枚长为l（l ＜a）的针，求针与平行 线相交的概率。
Georges Louis Leclerc Comte de Buffon
分公式来求，但用
此类方法效果也很
4
pi的计算 实验报告
Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法Gauss-Legendre公式：初值：重复计算：最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。
1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由Jonathan Borwein 和Peter Borwein 于1985年发表，它四次收敛于圆周率。
5、Bailey-Borwein-Plouffe 算法014211()1681848586n n n n n n π∞==---++++∑这个公式简称BBP 公式，由David Bailey, Peter Borwein 和Simon Plouffe 于1995年共同发表。
它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n-1位。
这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP 快40％的公式：第三部分：对于π的几种计算的研究和讨论： 1、数值积分法（I ）利用积分公式⎰-=10214dx x π计算πn=10 ans =; n=20 ans =; n=50 ans =; n=100 ans =; n=200 ans =; n=500 ans =; n=1000 ans =; n=2000 ans =;半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。
只要计算出单位圆的面积，就算出了π。
pi的计算
分析法时期
这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 1593年，韦达给出
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
接着有多种表达式出现。如沃利斯1650 年给出：
例3 完成下面的实验任务
(1) 用MATLAB软件计算函数arctan x的Maclaurin 展开式，计算的近似值.
( 2)利用下面的等式计算 的值，并与（ 1）比较.
2 1 2 ( 1)n1 (a ) (b) , 2, 2 8 n1 ( 2n 1) 12 n1 n
执行下面的命令：
例2 求函数y sin x的Maclaurin展开式, 画图观察 分别用不同次数的泰勒 多项式近似代替函数 y sin x 的近似程度，并计算 sin 的近似值. 5
实验过程 执行下面的命令： syms x taylor(sin(x),3) taylor(sin(x),5) taylor(sin(x),7) taylor(sin(x),9) 执行得 ans =x, ans =x-1/6*x^3, ans =x-1/6*x^3+1/120*x^5, ans =x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7.
编写下面的程序: n=10; %选择展开式的次数 s=0; digits(22); %定义计算过程中的精度 for k=1:n s=s+4*(-1)^(k+1)/(2*k-1); end vpa(s,20) %定义显示精度为20位
4.圆周率的数值积分计算方法
Pi的计算
计算的方法
谢谢各位！
数学实验
怎样计算 的值 ?
哪里有数,哪里就有美.
- Proclus
知其然,更知其所以然.
-中国先哲
圆周率是人类获得的最古老的数 学概念之一，早在大约3700年前（即 公元前1700年左右）的古埃及人就已 经在 用256/81（约3.1605）作为π 的近似值了。几千年来，人们一直没 有停止过求π的努力。
用Mathematica计算
In[1] k=1000; S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18]
[Out2] 3.14059265383979293 In[3] k=10000; [Out4] 3.14149265359004324 In[5] k=15000; [Out6] 3.14152598692320065 In[7] k=20000 [Out8] 3.14154265358982449
k 1
取 k 10
2k 2k 2k 1 2k 1
2 2 4 4 20 20 2 3.067702 1 3 3 5 19 21 取 k 20
2 2 4 4 40 40 2 3.103516 1 3 3 5 39 41
1630年,最后一位用古典方法求π的人
格林伯格也只求到了π的第39位小数
无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等 各种π值表达式纷纷出现，π值计算精度也迅 速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突 破100位小数大关。1873 年另一位英国数学 家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜 他的结果从528位起是错的。到1948年英国 的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位 小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。
估算环 pi -回复
估算环pi -回复估算π的方法有很多种，其中最经典和最简单的方法之一是使用几何法。
在本文中，我将详细介绍如何使用几何法来估算π的值。
π是一个无理数，约等于3.14159。
它是表示圆的周长与直径的比值。
对于任何一个圆，无论其大小如何，它的周长都是其直径的π倍。
估算π的几何法基于这一概念，通过比较圆的周长和直径来计算π的近似值。
我们可以通过在一个正方形内绘制一个圆来开始估算π的值。
首先，假设这个正方形的边长为1个单位长度（可以是任何单位，比如厘米、米等），那么它的周长就是4个单位长度。
然后，在这个正方形内绘制一个圆，使得圆的直径与正方形的边长相等。
由于直径等于边长，因此这个圆的周长也是4个单位长度。
接下来，我们将正方形分为n个小区域，每个小区域的边长是1/n个单位长度。
通过增加n的值，我们可以获得更精确的π的估计值。
当n趋向于无穷大时，我们可以使用以下公式计算π的近似值：π≈4 ×(1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... + 1/(2n-1))现在让我们通过实际计算来估算π的值。
假设我们选择将正方形分为4个小区域（n = 4）。
这样每个小区域的边长就是1/4个单位长度，正方形的周长为4个单位长度。
我们可以看到，绘制的圆与正方形相切，且圆的直径等于边长。
所以这个圆的周长也是4个单位长度。
在这种情况下，我们可以发现圆的周长非常接近正方形的周长。
实际上，这两个值之间的差比较小。
现在，让我们将正方形分为更多的小区域，比如n = 8。
这样，每个小区域的边长就是1/8个单位长度，正方形的周长仍然是4个单位长度。
当我们绘制一个新的圆，使得它与正方形相切，并且圆的直径等于边长，我们会发现圆的周长与正方形的周长之间的差距进一步减小。
通过继续增加n的值，我们可以得到更精确的π的估计值。
当n非常大时，我们会发现圆的周长和正方形的周长之间几乎没有区别。
因此，我们可以使用公式π≈4 ×(1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... +1/(2n-1))来计算π的近似值。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法班级学号姓名众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.141 592 6…。
古代人把3作为它的近似值。
π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:"历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志."古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出π ＝3.14，通常称为"徽率"，他指出这是不足近似值。
割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π ＝3927/1250 ＝3.1416。
而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。
后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 ＜π ＜ 3.1415927 ，得到π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。
他算出的π 的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。
以致于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
我们再回头看一下国外取得的成果。
1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出π= 3927/1250 = 3.1416。
1424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》，计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出π 值，他的结果是：π＝3.14159265358979325 有十七位准确数字。
这是国外第一次打破祖冲之的记录。
在日本，十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近似分数的方法。
他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率，加成一百十二次得到密率。
大学数学实验报告----怎样计算∏
验
过
程
及
结
果
1、数值积分法
n=1000
n=10000
n=1000
n=10000
2、泰勒级数法
练习1、
练习2、
3、蒙特卡罗法
n=1000
n=10000
n=50000
实验结果分析
1、数值积分法中s1使用梯形公式计算出的积分的近似值，s2使用辛普森公式计算出的积分的近似值，计算出的积分值与π的值十分接近；
（5）同时按Shift和Enter键运行。
（6）n=10000时，只需将上面两个程序中的第一行“n=1000”改为“n=10000”.即可。
2、泰勒积分法计算Π
练习1、将x=1代入反正切函数的泰勒级数得到 ，在此级数中取n=20000计算 的近似值。观察所得的结果和所花的时间。
(1)在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
取n=1000,10000,用梯形公式和辛普森公式计算 和 的近似值（取二十位有效数字）。将所得的结果与 的准确值相比较。
（1）在计算机程序中打开Mathematica4.0系统；
（2）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
（3）同时按Shift和Enter键运行。
（4）点击鼠标进入工作区后，输入以下语句：
2、泰勒级数法可以较为精确的计算出π的值；
3、蒙特卡罗法可以近似的计算出π的值，但是精度很低，随着n的增大精度有所提高，但是仍比数值积分法与泰勒级数法计算出的π的值精度低；
以上三种方法中将n的值取得更大，算出的积分的值将更加接近π的值。
（3）同时按Shift和Enter键运行。
3、蒙特卡罗法计算Π
取n=1000，10000，50000，用蒙特卡罗法计算 的近似值。
数学实验之Pi的近似计算51页PPT
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数学实验之Pi的近似计算
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
Pi值的计算(mathematica数学实验报告)
arctan x x x3 x5 (1)k1 x 2k1
35
2k 1
来计算 。 从反正切函数的泰勒级数，进行如下编程来计算 ，实验运行如下：
从实验过程可以看出，这种方法花费的时间很长。原因是当 x=1 时得到的 arctan1的
展开式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使 x 的绝对值小于 1，最好
实验基本理论和方法：
1、Mathematica中常用绘图函数Plot在绘制高次函数时的方法；
2、计算圆周率 的数值积分法、泰勒级数法、蒙特卡罗法，并且利用特定的公式来
计算圆周率 。
实验内容和步骤：
（1）数值积分法计算
半径为 1 的圆称为单位圆，它的面积等于 。只要计算出单位圆的面积，就算出了 。 在坐标轴上画出以圆点为圆心，以 1 为半径的单位圆（如下图），则这个单位圆在第一 象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的 1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积， 便可以计算出 。
0
4
利用 Mathematics 编程计算上式，过程如下：
从而得到 的近似值为 3.14159265358979323846264338328，可以看出，用这种方法 计算所得到的 值是相当精确的。n 越大，计算出来的扇形面积的近似值就越接近 的 准确值。
（2）泰勒级数法计算 利用反正切函数的泰勒级数
只要计算出单位圆的面积就算出了为半径的单位圆如下图则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形而且面积是单位圆的14于是我们只要算出此扇形的面积便可以计算出在计算扇形面积时很容易想到使用数学分析中积分的方法第一象限中的扇形由曲线及两条坐标轴围成实际操作中我们不能准确地计算它的面积于是就通过分割的方法将其划分为许多小的梯形通过利用梯形的面积近似于扇形面积来计算利用mathematics编程计算上式过程如下
圆周率的近似计算
实验二π 的近似计算一.实验目的1.了解π 的计算历程2.理解和掌握近似计算π的数值积分法、蒙特卡罗（Monte Carlo ）法、韦达公式、级数法、拉马努金公式、迭代法等方法的原理和过程。
3.学习、掌握Mathematica 和MATLAB 的应用环境及其基本功能，通过一些练习掌握其基本的操作及相关命令。
二.实验内容1.运用数值积分法来近似计算π的值。
2.利用蒙特卡罗（Monte Carlo ）法来近似计算π的值。
3.利用韦达（VieTa ）公式近似计算π4.利用级数来近似计算π：（1） 莱布尼茨级数 ∑∞=+-=1212)1(4n nn π （2） 欧拉级数∑∞==12216n n π 和∑∞=+=022)12(18n n π 5.利用拉玛努金（Ranmaunujan ）公式来近似逼近计算π值n n n n n 396263901103)!()!4(980122104+=∑∞=π 三.实验准备及过程π 是人们经常使用的数字常数，对π的研究已经持续了2500多年，同时今天人们还在不断的探索研究进行中。
一般有以下几种近似计算方法。
1.数值积分法 半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π，只要计算出它的面积，计算出了π。
以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分是一个扇形，由曲线y= (x ∈[0,1])及两条坐标轴围成，它的面积S=π/4。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
（1）梯形公式设分点x 1,…,x n-1将积分区间[a,b]分成n 等份，即x i =a+i(b-a)/n,0≤i ≤n 所有的曲边梯形的宽度都是h=(b-a)/n 。
记y i =f(x i )。
则第i 个曲边梯形的面积S i 近似地等于梯形面积(y i-1+y i )h/2，将所有这些梯形的面积加起来就得到S ≈(b-a)[y 1+y 2+…+y n-1+(y 0+y n )/2]/n这就是梯形公式。
pi 的计算公式
pi 的计算公式
π的计算公式有很多种，以下是一些例子：
1.π=sin(180°÷n)×n：通过角度和n的变换来计算π的值。
2.利用无穷级数求解π：利用无穷级数展开式，通过计算每一项的值来
逼近π的值。
3.利用连分数求解π：通过连分数的展开式来求解π的值。
4.利用数值积分求解π：通过数值积分的方法，将π定义为某个函数的
积分值，然后利用数值方法求解该积分值。
5.利用阿基米德方法求解π：通过阿基米德的方法，利用圆内接正多边
形的面积来逼近圆的面积，从而求出π的值。
需要注意的是，由于π是一个无理数，因此无法用有限的公式来精确计算它的值，只能通过近似计算来得到它的近似值。
数学建模π的计算
数学建模π的计算π是一个无理数，代表圆周与直径的比值。
π的计算一直是数学中一个重要且困难的问题。
在这篇文章中，我们将探讨π的计算方法，并介绍几种常见的数学建模方法。
一、历史背景π的计算可以追溯到古希腊时期。
据说，古希腊数学家阿基米德使用射线法计算了π的近似值，他通过在一圆内外分别画出正多边形，用边长近似圆的周长和直径的比，发现这个比值越来越接近π。
这种近似方法被称为阿基米德法。
然而，阿基米德的近似方法不够精确。
在随后的几个世纪中，数学家们不断发展新的方法来计算π。
其中最有名的是中国数学家祖冲之的圆周率算法。
祖冲之使用正多边形逐步逼近圆周的方法，成功地计算出了π的小数点后六位。
随着数学的发展，越来越多的π的计算方法被提出。
直到现在，科学家们仍在研究和探索不同的方法来计算π，并不断提高计算精度。
二、数值逼近方法1.随机法随机法是一种基于概率统计的π的计算方法。
它的基本原理是通过生成一系列随机数，然后统计落入单位圆内部的点的比例，以近似计算π的值。
随着计算点数的增加，所得到的计算结果越来越接近π。
2.蒙特卡罗法蒙特卡罗法是一种基于统计模拟的π的计算方法。
它的基本原理是通过在一个正方形区域内随机生成大量的点，然后统计落入单位圆内的点的比例，以近似计算π的值。
这种方法的优势在于可以通过增加模拟次数来提高计算精度。
3.数列法数列法是一种基于数列逼近的π的计算方法。
先从一个容易计算的公式或运算开始，然后通过递推或迭代方法，不断逼近π的值。
例如，可以通过计算级数或利用无穷乘积等方法来逼近π。
三、几何方法1.隐函数法隐函数法是一种基于几何图形的π的计算方法。
它的基本原理是通过构造具有特定性质的几何图形，利用几何性质和等式关系来计算π的值。
例如，可以通过构造与圆相关的三角形、四边形等几何图形，利用几何关系和三角函数等来计算π。
2.傅里叶级数法傅里叶级数法是一种基于傅里叶级数的π的计算方法。
它的基本原理是通过将π表示为正弦函数的级数展开式，并利用级数的性质来计算π的值。
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利用级数计算Pi
加速效果非常明显！
2019/12/4
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法， 即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近 似值。具体方法如下：
在平面直角坐标系中，以O(0,0)， A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正 方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位 圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角 的扇形，面积为S1＝Pi/4。
实验目的
在本次试验中，我们将追溯关
于圆周率 的计算历程。通过对割
圆术、韦达公式、级数加速法、迭 代法等计算方法的介绍和计算体验， 感受数学思想和数学方法的发展过 程，提高对极限和级数收敛性及收 敛速度的综合认识，同时使我们看 到数学家对科学真理的永无止境的 追求。
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主要内容
一、割圆术 二、韦达(VieTa)公式 三、数值积分方法 四、利用级数计算 五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法 六、拉马努金(Ramanujan)公式
令yi f (xi )
Si
1 n
( yi1
4
y i
1
2
yi )
S
1 6n
[(
y0
n1
yn ) 2
i 1
yi
n
4
i 1
y i
1
]
2
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利用级数计算Pi
1、莱布尼茨级数（1674年发现）
(1)k
4 k 0 2k 1
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迭代公式
迭代公式2：
1996年，Baiey发现了另一个收敛于1/pi的迭代公式：
y0 5(
5
2) , cn
(2
5 )2 yn1
dn
(
5 yn1
1) , en
dn (
(7
cn )2
3d
3 n
7
cn )
yn
yn1(1 dn 5
x tan α 1 , arctan1
5
5
tan 2
1
2
tan tan2
1
2
x x
2
5 12
tan 4
2 tan 2 1 tan2 2
120 119
1
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利用级数计算Pi
因此，β＝4α－pi/4非常接近0。
π值——算法美的追求
π作为圆周率的符号，是由著名数学家Euler 于公元1737年首先使用的。古代的希伯来人，在 描述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道：
“池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其
周长为三十腕尺。”可见，古希伯来人认为圆周 率等于3。不过，那时的建筑师们，似乎没有人不 明白，圆周长与直径的比要比3大一些。
b(i)=3*2^(i-2)*a(i);
c(i)=2*b(i)-b(i-1);
end
n=[3,6,12,24,48,96];
size(b)
result=[n;a;b;c] result’
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刘徽不等式
ans = 3.0000 1.7321 2.5981 0 6.0000 1.0000 3.0000 3.4019 12.0000 0.5176 3.1058 3.2117 24.0000 0.2611 3.1326 3.1594 48.0000 0.1308 3.1394 3.1461 96.0000 0.0654 3.1410 3.1427
cos 1
4 2
2 1 2
2 2
2
2
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韦达（VieTa）公式
3、使用VieTa公式计算Pi的近似值
思考：
如何利用韦达公式构造 出一种迭代算法？
2019/12/4
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数值积分法计算Pi
定积分
1
0
4 1 x2
dx
计算出这个积分的数值，也就得到了Pi 的值。
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蒙特卡罗（Monte Carlo）法
在这个正方形内随机地投入n个点，设 其中有m个点落在单位扇形内。则
m S1 , 4m
nS4
n
随机投点如何来实现？
2019/12/4
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蒲丰（Buffon）掷针实验
另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是 1777年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随 机掷针实验。其步骤如下：
2019/12/4
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拉马努金（Ramanujan)公式
1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这 个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数。 这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数 学家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).
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ห้องสมุดไป่ตู้
拉马努金（Ramanujan)公式
2019/12/4
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割圆术的意义
刘徽创立的割圆术，其意义不仅在 于计算出了Pi的近似值，而且还在于提 供了一种研究数学的方法。这种方法相 当于今天的“求积分”，后者经16世纪 英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总 结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以 不少书上把他称做“中国数学史上的牛 顿”，并把他所创造的割圆术称为“徽 术”。
实验指导
π是使人们最经常使用的 数学常数。人们对π的研究已经 持续了2500多年。在今天，这种 探索还在继续……
2019/12/4
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实验指导
世界上数学家们一致公认： “历史上一个国家计算圆周率的准 确度，可以作为衡量这个国家当时 数学水平的一个标志。”
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arctan x (1)k x2k1 k0 2k 1 取x＝1时，可得
＝ (1)k
4 k0 2k 1
即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速 度极慢，必须考虑加速算法。
2019/12/4
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利用级数计算Pi
观察级数可知，x的值越接近于0，级 数收敛越快。由此可以考虑令
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利用级数计算Pi
2、欧拉的两个级数（1748年发现）
2 1
6 k 1 k 2
2
8
1
k0 (2k 1)2
这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实 用价值不大。
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利用级数计算Pi
3、基于arctan x的级数 对泰勒级数
an
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结束语
随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破 与创新，计算Pi的世界纪录正在迅速地被刷新。目 前，Pi的数值已计算到小数点后2061.5843亿位。 这一记录是日本东京大学教授金田康正和他的助 手于1999年9月创造的。计算用了37h 21min，检验 用了46h 7min.虽然这样高的精确度已经没有太多 的实际意义。但这反映了现代数学科学的日新月 异，反映了人类智慧向极限的挑战。
圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系：
S2n S 2S2n Sn
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刘徽不等式
借助于计算机来完成刘徽的工作：
a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;
for i=2:6
a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2));
魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正 192边形，计算周长与直径之比，得
3.141024< π<3.142704 实际应用时取3.14，或分数值157/50。
2019/12/4
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“割圆术”中学问多
他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这 是比求π值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重 要的“刘徽不等式”。
公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了 223/71<π <22/7。
2019/12/4
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“割圆术”中学问多
我国2000多年前的《周髀算经》称“周三径 一”，这是π的第一个近似值，叫做“古率”。
据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆 周率一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意 思为π≈sqrt(10)。
另一个经过改进的计算公式为：
1
12 640320
3 2
(1)n (6n)! 13591409 545140134
n0 (n!)3 (3n)!
640320 3n
n
级数每增加一项，可提高14位小数的 精度。
2019/12/4
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迭代公式
迭代公式1： 1989年，BorWein发现了下列收敛于1/pi的 迭代公式：y0 2 1
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利用级数计算Pi
1844年，数学家达什在没有计算机 的情况下利用此式算出了Pi的前200位小 数。使用误差估计式
r(n) n (1)k 1
4 k0 2k 1 2n 1