第一课数学实验之Pi的近似计算

合集下载

相关主题

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（1）取一张白纸，在上面画出许多间距为d的等距平行线。
（2）取一根长度为 l(l d )的均匀直针，随机地向画有平行线的纸上掷去，一共掷n次。观察针和直线相交的次数m。
2019/12/4
上一页下一页主页
蒲丰（Buffon）掷针实验
（3）由几何概率知道针和直线相交的
概率为 p 2l
另一个经过改进的计算公式为：
1

12 640320
3 2
(1)n (6n)! 13591409 545140134
n0 (n!)3 (3n)!
640320 3n
n
级数每增加一项，可提高14位小数的精度。
2019/12/4
上一页下一页主页
迭代公式
迭代公式1： 1989年，BorWein发现了下列收敛于1/pi的迭代公式：y0 2 1
2019/12/4
上一页下一页主页
割圆术的意义
刘徽创立的割圆术，其意义不仅在于计算出了Pi的近似值，而且还在于提供了一种研究数学的方法。这种方法相当于今天的“求积分”，后者经16世纪英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总结而得名。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称做“中国数学史上的牛顿”，并把他所创造的割圆术称为“徽术”。
2019/12/4
上一页下一页主页
数值积分法计算Pi
1、梯形公式
将积分区间n 等分
xi i/ n,i 0,1, , n
将所有梯形面积加起来得到
S 1 n1 f(xi ) f(xi1)
n i0
2
2019/12/4
上一页下一页主页
数值积分法计算Pi
2、辛普森（Simpson）公式
利用级数计算Pi
加速效果非常明显！
2019/12/4
上一页下一页主页
蒙特卡罗（Monte Carlo）法
单位圆的面积等于Pi，使用蒙特卡罗法，即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近似值。具体方法如下：
在平面直角坐标系中，以O(0,0)， A(1,0)，C(1,1)，B(0,1)为四个顶点作一个正方形，其面积S＝1。以原点O为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形，面积为S1＝Pi/4。
2019/12/4
上一页下一页主页
迭代公式
迭代公式2：
1996年，Baiey发现了另一个收敛于1/pi的迭代公式：
y0 5(
5

2) , cn

(2
5 )2 yn1
dn

(
5 yn1
1) , en

dn (
(7

cn )2

3d
3 n

7

cn )
yn

yn1(1 dn 5
π值——算法美的追求
π作为圆周率的符号，是由著名数学家Euler 于公元1737年首先使用的。古代的希伯来人，在描述所罗门庙宇中的“熔池”时曾经这样写道：
“池为圆形，对径为十腕尺，池高为五腕尺，其
周长为三十腕尺。”可见，古希伯来人认为圆周率等于3。不过，那时的建筑师们，似乎没有人不明白，圆周长与直径的比要比3大一些。
2019/12/4
上一页下一页主页
拉马努金（Ramanujan)公式
1985年，数学家比尔.高斯帕依使用这个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数。这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学家拉马努金(Ramanujan,1887-1929).
2019/12/4
上一页下一页主页
拉马努金（Ramanujan)公式
公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了 223/71<π <22/7。
2019/12/4
上一页下一页主页
“割圆术”中学问多
我国2000多年前的《周髀算经》称“周三径一”，这是π的第一个近似值，叫做“古率”。
据说，汉代大科学家、文学家张衡，有“圆周率一十之面”的推算。清代李潢考证这句话意思为π≈sqrt(10)。
魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正 192边形，计算周长与直径之比，得
3.141024< π<3.142704 实际应用时取3.14，或分数值157/50。
2019/12/4
上一页下一页主页
“割圆术”中学问多
他的割圆术已含有无限逼近的极限思想，这是比求π值更可宝贵的。从方法上说，他得到了重要的“刘徽不等式”。
x tan α 1 , arctan1
5
5
tan 2

1
2
tan tan2

1
2
x x
2
5 12
tan 4
2 tan 2 1 tan2 2
120 119
1
2019/12/4
上一页下一页主页
利用级数计算Pi
因此，β＝4α－pi/4非常接近0。
b(i)=3*2^(i-2)*a(i);
c(i)=2*b(i)-b(i-1);
end
n=[3,6,12,24,48,96];
size(b)
result=[n;a;b;c] result’
2019/12/4
上一页下一页主页
刘徽不等式
ans = 3.0000 1.7321 2.5981 0 6.0000 1.0000 3.0000 3.4019 12.0000 0.5176 3.1058 3.2117 24.0000 0.2611 3.1326 3.1594 48.0000 0.1308 3.1394 3.1461 96.0000 0.0654 3.1410 3.1427
2019/12/4
上一页下一页主页
韦达（VieTa）公式
1593年，韦达首次给出了计算Pi的精确表达式：
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
韦达公式看起来有些神秘，其实它
的导出过程所用的都是朴实简洁的数学
方法。
2019/12/4
上一页下一页主页
韦达（VieTa）公式
1、从sint开始
实验指导
π是使人们最经常使用的数学常数。人们对π的研究已经持续了2500多年。在今天，这种探索还在继续……
2019/12/4
上一页下一页主页
实验指导
世界上数学家们一致公认： “历史上一个国家计算圆周率的准确度，可以作为衡量这个国家当时数学水平的一个标志。”
2019/12/4
上一页下一页主页
设单位圆内接正n边形的边长为an，圆内接正 n边形的面积为Sn。根据勾股定理，边长有如下递推公式：
a 2n1 2 4 a2n 2
2019/12/4
上一页下一页主页
“割之弥细，失之弥少，割之又割，则与圆合体而无所失矣。”
面积与边长有如下关系：
S6(n1) 2 4 a6n2
zn

4
1
y4 n1
yn

1 1
zn zn
a0 6 4 2 an (1 yn )4 an1 22n1 yn (1 yn yn2 )
2019/12/4
上一页下一页主页
迭代公式
迭代误差可以由下式估计
1 164n e2 4n
an
迭代4次可精确到693位小数！8次后可以保证精确到小数点178814位！！！
令yi f (xi )
Si

1 n
( yi1

4
y i
1
2

yi )
S

1 6n
[(
y0

n1
yn ) 2
i 1
yi
n
4
i 1
y i

1
]
2
2019/12/4
上一页下一页主页
利用级数计算Pi
1、莱布尼茨级数（1674年发现）
(1)k
4 k 0 2k 1
25 2 / en
5
2 / en )2
, a0
1/ 2
an

yn21an1
5n1
yn21 2
5

yn 1 (
yn21

2
yn1

5)

2019/12/4
上一页下一页主页
迭代公式
迭代误差可以由下式估计
1 165n e 5n
arctan x (1)k x2k1 k0 2k 1 取x＝1时，可得
＝ (1)k
4 k0 2k 1
即为莱布尼茨级数，直接使用时收敛速度极慢，必须考虑加速算法。
2019/12/4
上一页下一页主页
利用级数计算Pi
观察级数可知，x的值越接近于0，级数收敛越快。由此可以考虑令
cos 1
4 2
2 1 2
2 2
2
2
2019/12/4
上一页下一页主页
韦达（VieTa）公式
3、使用VieTa公式计算Pi的近似值
思考：
如何利用韦达公式构造出一种迭代算法？
20源自文库9/12/4
上一页下一页主页
数值积分法计算Pi
定积分
1
0
4 1 x2
dx

计算出这个积分的数值，也就得到了Pi 的值。
tN
t
t

t
sin(
2
N
)

n1
c os (2 n
)
令N

,
有
s
in t
t

＝ n1
c
os
(2tn
）
取t

2
,
得到
2

＝ n1
c
os
(2n1）
2019/12/4
上一页下一页主页
韦达（VieTa）公式
2、从cos(pi/4)开始
cos( ) 2
42
cos( )
8
2019/12/4
上一页下一页主页
利用级数计算Pi
1844年，数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了Pi的前200位小数。使用误差估计式
r(n) n (1)k 1
4 k0 2k 1 2n 1
计算一下要精确到Pi的200位小数需要取级数的多少项？
2019/12/4
实验目的
在本次试验中，我们将追溯关
于圆周率的计算历程。通过对割
圆术、韦达公式、级数加速法、迭代法等计算方法的介绍和计算体验，感受数学思想和数学方法的发展过程，提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识，同时使我们看到数学家对科学真理的永无止境的追求。
上一页下一页主页
主要内容
一、割圆术二、韦达(VieTa)公式三、数值积分方法四、利用级数计算五、蒙特卡罗(Monte Carlo)法六、拉马努金(Ramanujan)公式
an
2019/12/4
上一页下一页主页
结束语
随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新，计算Pi的世界纪录正在迅速地被刷新。目前，Pi的数值已计算到小数点后2061.5843亿位。这一记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于1999年9月创造的。计算用了37h 21min，检验用了46h 7min.虽然这样高的精确度已经没有太多的实际意义。但这反映了现代数学科学的日新月异，反映了人类智慧向极限的挑战。
sin t 2 cos(t ) sin( t ) 22
4 cos(t ) cos(t ) sin( t ) 2 44
8cos(t ) cos(t ) cos(t ) sin( t ) 2 4 88

2019/12/4
上一页下一页主页
韦达（VieTa）公式
所以，对任意N，总有
sin t 2N
tan tan 4 1 1 1 tan 4 239
16 4 16arctan1 4 arctan 1
5
239
(1)k 1
(1)k 1
16
k 0
2k
1
52k 1

4
k 0
2k
1
2392k 1
2019/12/4
上一页下一页主页
圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系：
S2n S 2S2n Sn
2019/12/4
上一页下一页主页
刘徽不等式
借助于计算机来完成刘徽的工作：
a(1)=sqrt(3);b(1)=3*sqrt(3)/2;
for i=2:6
a(i)=sqrt(2-sqrt(4-a(i-1)^2));
则
d
，取m/n为p的近似值，
2nl
md
特别取针的长度 l

d 2
时，π=n/m。
2019/12/4
上一页下一页主页
拉马努金（Ramanujan)公式
目前，计算pi的一个极其有效的公式为
1

22 9801 n0
(4n)!1103 26390n
(n!)4
3964n
这个级数收敛得非常快，级数每增加一项，可提高大约8位小数的精度。
上一页下一页主页
利用级数计算Pi
2、欧拉的两个级数（1748年发现）
2 1
6 k 1 k 2
2
8

1
k0 (2k 1)2
这两个级数收敛也非常缓慢，计算时实用价值不大。
2019/12/4
上一页下一页主页
利用级数计算Pi
3、基于arctan x的级数对泰勒级数
2019/12/4
上一页下一页主页
蒙特卡罗（Monte Carlo）法
在这个正方形内随机地投入n个点，设其中有m个点落在单位扇形内。则

m S1 , 4m
nS4
n
随机投点如何来实现？
2019/12/4
上一页下一页主页
蒲丰（Buffon）掷针实验
另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是 1777年法国数学家蒲丰（Buffon）提出的随机掷针实验。其步骤如下：