10.12.20高三理科数学练习题2

湖南省长沙市一中高三第六次月考
1．已知集合A = {x |–1≤x ≤1，x ∈N}，B = {–1，0，1}，集合C 满足A ∪C = B ，则集合C
的个数是（ ） A ．1
B ．4
C ．7
D ．8
2.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A.3
B.25
C.2
D. 2
3
3．已知等比数列中{a n }中，a 1 + a 3 = 101，前4项和为1111，令b n = lg a n ，则b 2009 = （ ） A ．2008
B ．2009
C ．2010
D ．2222
4．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，
其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．2575C A
B ．2272
C A
C ．2275C A
D ．2375C A
5.直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，∠BCA =90°，D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，
则BD 1与AF 1所成角θ的余弦值是（ ） A.1030 B.2
1
C. 1530
D. 1015
6．①点P 在△ABC 所在的平面内，且(),()AP AB AC BP BA BC λμ=+=+；②点P 为△ABC
内的一点，且使得2
2
2
AP BP CP ++取得最小值；③点P 是△ABC 所在平面内一点，且0PA PB PC ++=，上述三个点P 中，是△ABC 的重心的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．设函数y = f (x )是定义域为R 的奇函数，且满足f (x – 2) = – f (x )对一切x ∈R 恒成立，当–1
≤x ≤1时，f (x ) = x 3，则下列四个命题：①f (x )是以4为周期的周期函数；②f (x )在[1，3]上的解析式为f (x ) = (2 – x )3；③f (x )在3
3(,())2
2
f 处的切线方程为3x + 4y – 5 = 0； ④f (x )的图象的对称轴中，有x = ±1，其中正确的命题是（ ） A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③④
8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离
是 ．
9．若关于x ，y 的不等式组1212x y x y ax y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 ．
10．若不等式x 2 + |2x – 6|≥a 对于一切实数x 均成立，则实数a 的最大值是 ． 11
．在11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为1
0,x αα⎰则dx = ．
12．已知m 、n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个互不重合的平面，给出下列命题
①若m ∥β，n ∥β，m ，n ⊂α，则α∥β ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β= m ，n ⊂γ，则m ⊥n ③若m ⊥α,α⊥β，m ∥n ，则n ∥β ④若n ∥α，n ∥β，α∩β= m ，那么m ∥n 其中正确命题的序号是 ．
13．6个大小相同的小球分别标有数字1,1,1,2,2,2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出
两个小球，它们所标有的数字分别为x ，y ，记x y ξ=+． （1）求随机变量ξ分布列及数学期望；
（2）设“函数f (x )=x 2–ξx –1在区间(2, 3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．
14．已知函数f (x ) = 2cos 2x
+x cos x ．
（1）求函数f (x )定义在[,]63
ππ
-上的值域；
（2）在△ABC 中，若f (C ) = 2, 2sin B = cos(A – C ) – cos(A + C )，求tan A 的值．
15．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A =1，PD =2，E 为PD 上一点，PE =2ED ． （1）求证：P A ⊥平面ABCD ； （2）求二面角D —AC —E 的正切值；
（3）在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ，若存在，指出F 点位置，并证明，若不存在，说明理由．
16.已知函数f (x )=ln x ,g (x )=2x – 2．
（1）试判断函数F （x ）=(x 2+1) f (x ) – g (x )在[1，+∞)上的单调性； （2）当0＜a ＜b 时，求证：函数f (x ) 定义在区间[a,b ]上的值域的长度大于22
2()
a b a a b -+（闭区
间[m ，n ]的长度定义为n –m ）． （3）方程f (x )=12
x ex
e -是否存在实数根？说明理由。

P
E
D
C
B
A
参考答案
8 9． (–1，2) 10． 5 11．67
12． ②④ 13．（12分）【解析】（1）由题知随机变量ξ的可能取值为2,3,4．……1分
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为26C 15=．
当ξ=2时，摸出的小球所标的数字为1,1，共有23C 种．
∴P (ξ=2) =1
5
．……3分
当ξ=3时，摸出的小球所标的数字为1,2，共有11
33C C ⋅种．
∴P (ξ=3) =3
5
．……4分
当ξ=4时，摸出的小球所标的数字为2,2，共有2
3C 种．
∴P (ξ=4) =1
5
．……5分
∴ξ的分布列为
E ξ= 2×15+3×35+4×1
5
=3．……7分
（2）∵函数f (x ) = x 2 –ξx –1在（2，3）上有且只有一个零点． f (2)·f (3) <0即(3 – 2ξ)(8–3ξ)<0……9分 ∴38
23
ξ<<且ξ=2,3,4……11分 ∴ξ=2．∴P (A ) = P (ξ=2) =3
5
．……12分
14．（12分）【解析】（1）f (x ) = 1 + cos2x sin2x = 2sin(2x +6
π
) +1……3分 ∵6
3
x ππ-
≤≤
∴526
66
x π
π
π-
≤+
≤
∴1sin(2)126
x π
-≤+≤ ∴f (x )∈[0，3]．即f (x )的值域为[0,3]……6分
（2）由f (C ) = 2得2sin(2C +
6π) +1 = 2，∴sin(2C +6π
)=12
．
∵0<C <π ∴
1326
6
6
C π
π
π<+
<
∴526
6C π
π+
=
∴C =3π ∴A + B =23
π．……8分 又∵2sin cos()cos()B A C A C =--+ ∴2sin B = 2sin A sin C ……9分
∴22sin(
)3
A A π
-=
sin A A A + ……11分
∴1)sin A A
∴tan A =
=
． ……12分 15．（13分）（1）证明：∵P A =AD =1，PD =2 ∴P A 2+AD 2=PD 2 即P A ⊥AD
又∵P A ⊥CD ．AD ∩CD =D
∴P A ⊥平面ABCD ……3分
（2）过E 作EG ∥P A 交AD 于G ，从而EG ⊥平面ABCD
` `且AG =2GD ．EG =13P A =1
3．连结BD 交AC 于O ，过G 作GH ∥OD 交AC 于H ．
连结EH ．∵GH ⊥AC ∴EH ⊥AC
∴∠EHG 为二面角D —AC —E 的平面角． ∵HG =2
3
OD
． ……7分
∴tan EG EHG GH ∠=
=
（3）因为P A ，AB ，AD 两两垂直，所以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴, y 轴，Z 轴建立空间直角坐标系．
则A （0，0，0） B （1，0，0）C （1，1，0）P （0，0，1）E （0，21
,33
）
21
(1,1,0)(0,
)33
AC AE == 设平面AEC 的法向量(,,),n x y z =则0
n AC n n AE ⎧⋅=⎪=⎨⋅=⎪⎩即020x y y z +=⎧⎨
+=⎩ 令y =1，则(1,1,2)n =-- 假设PC 存在一点F 且(01)CF CP λλ=≤≤，使得BF ∥平面AEC 则0BF n ⋅=．
P
E
D
C
B
A
H
G
O
又∵(0,1,0)BF BC CF =+=+（,,λλλ--）=（,1,λλλ--） ∴120BF n λλλ⋅=+--=∴12
λ=
∴存在P 的中点F ，使得BF ∥平面AEC ．……12分 16题（13分）解（1）∵F （x ）=(x 2+1)ln x –2x +2． ∴F ′（x ）= 2x ln x +22
1(1)22ln x x x x x x
+--=+
． ∴当x ≥1时，F ′（x ）≥0且仅当x = 1时F ′（x ）= 0 ∴F （x ）在（1，+∞）上单调递增 ……4分 （2）∵0＜a ＜b ,f (x )在[a ,b ]上的值域为[ln a ,ln b ]
∴要证值域的长度大于222()a b a a b -+， 即证ln b – ln a ＞222()
a b a a b
-+ 只要证ln 22(1)1()b
b a b a a
->+
∵0＜a ＜b ,∴
1,b
a >令
b x a = 则只要证ln x ＞
2
2(1)
1x x -+ （x >1） 即证（x 2+1）ln x –(2x –2)>0 (※)
由（1）可知F (x )在（1，+∞）上单调递增 ∴F （x ）＞F （1）= 0 所以（※）式成立．
∴f (x )在[a , b ]上的值域的长度大于22
2()
a b a a b -+．……9分
（3）∵f (x ) =
12x ex e - ⇔x ln x =2
(0)x x x e
e ->
令h (x ) = x ln x (x >0)．则h ′（x ）=ln x +1
当x ∈（0，1
e
）时h ′（x ）< 0, h (x )单调递减；
当x ∈（1,e +∞）时，h ′（x ）>0，h (x )单调递增．所以h (x )min = h (1e )= –1
e
．
令∅(x )=
2(0),x x x e e ->则1(),x
x
x e
-'∅= 当x ∈（0，1），()0x '∅>，()x ∅单调递增； 当x ∈（1，+∞）时，()0x '∅<，()x ∅单调递减． ∴()x ∅max =1
(1)e
∅=-
所以方程f (x )=12
x
ex
e - 没有实根……13分。