2020版高考数学大二轮复习第二部分专题1三角函数与解三角形增分强化练(九)文

增分强化练(九)
考点一 三角恒等变换及其应用
1．(2019·宁德质检)cos 31°cos 1°＋sin 149°sin 1°＝( )
A ．－32 B.32
C ．－12 D.12
解析：cos 31°cos 1°＋sin 149°sin 1°＝cos 31°cos 1°＋sin 31°sin 1°＝cos(31°－1°) ＝cos 30°＝
32
，故选B. 答案：B
2．(2019·蚌埠模拟)函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1的图象的对称轴可能为
( )
A ．x ＝π8
B ．x ＝π4
C ．x ＝π2
D ．x ＝－π4 解析：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π8，(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝π8
，故选A. 答案：A
3．(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝________.
解析：因为(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 25°＋tan 20°＋tan 20°tan 25°，
又tan 45°＝tan 25°＋tan 20°1－tan 20°tan 25°
＝1，所以tan 25°＋tan 20°＝1－tan 20°tan 25°，所以(1＋tan 20°)·(1＋tan 25°)＝1＋tan 25°＋tan 20°＋tan 20°tan 25°＝2. 答案：2
4．(2019·北京西城区模拟)函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期T ＝________；如果对于任意的x ∈R 都有f (x )≤a ，那么实数a 的取值范围是________．
解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期T ＝π，依题意，知a ≥f (x )恒成立，所以，a ≥f (x )max ＝2，即a ≥ 2.
答案：π [2，＋∞)
考点二 正弦定理与余弦定理
1．(2019·湛江模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝(4c －b )cos A ，则cos 2A ＝( )
A ．－78
B ．－18 C.78
D.18 解析：∵a cos B ＝(4c －b )cos A .
∴sin A cos B ＝4sin C cos A －sin B cos A ，
即sin A cos B ＋sin B cos A ＝4cos A sin C ，
∴sin C ＝4cos A sin C ，
∵0＜C ＜π，sin C ≠0.
∴1＝4cos A ，即cos A ＝14
， 则cos 2A ＝2cos 2A －1＝－78
. 故选A.
答案：A
2．(2019·蚌埠模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin 2A ＋c (sin C
－sin A )＝2sin 2B ，且△ABC 的面积S ＝14
abc ，则角B ＝________. 解析：S ＝14abc ⇒14abc ＝12
ab sin C ⇒c ＝2sin C ， 代入2sin 2A ＋c (sin C －sin A )＝2sin 2B 中，得sin 2A ＋sin 2C －sin A sin C ＝sin 2B ，
由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可将上式化简为a 2＋c 2－ac ＝b 2，由余弦定理可知b 2＝a 2
＋c 2－2ac ·cos B ，所以有cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以角B ＝π3
. 答案：π3
3．(2019·晋城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin 2
(B ＋C )－3cos A ＝0.
(1)求角A 的大小；
(2)若B ＝π4
，a ＝23，求边长c . 解析：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，2sin 2
(B ＋C )－3cos A ＝0，
所以2sin 2A －3cos A ＝0,2(1－cos 2A )－3cos A ＝0，
所以2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.
因为cos A ∈(－1,1)，所以cos A ＝12
， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3
. (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×22＋12×22＝6＋24. 在△ABC 中，由正弦定理得
c sin C ＝a sin A ， 所以c
6＋24＝2332，解得c ＝6＋ 2. 考点三 解三角形与三角函数的交汇问题
1．(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现
象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，
我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝
洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，
D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，
∠ACB ＝120°，则A ，B 两点的距离为________．
解析：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，
∠ADC ＝150°，
∴∠DAC ＝15°.由正弦定理得AC ＝
80sin 150°sin 15°＝406－2
4＝40(6＋2)， △BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，
∴∠DBC ＝30°， 由正弦定理，CD sin ∠CBD ＝BC sin ∠BDC ， 所以BC ＝CD ·sin∠BDC sin ∠CBD ＝80×sin 15°1
2
＝160sin 15°＝40(6－2)； △ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)
＋2×1 600(6＋2)×(
6－2)×12
＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，
解得AB ＝805，
则两目标A ，B 间的距离为80 5.
答案：80 5
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且cos C ＝13.
(1)求b a 的值；
(2)若c ＝11，求△ABC 的面积．
解析：(1)因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ， 由正弦定理得2b ＝a ＋c ，即c ＝2b －a .
又因为cos C ＝13，根据余弦定理有：
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(2b
－a )2
2ab ＝2－3b 2a ＝13，
所以b a ＝109.
(2)因为c ＝11，cos C ＝13，根据余弦定理有a 2＋b 2－2ab ·13＝121，
由(1)知b ＝109a ，所以a 2＋10081a 2－2a ·109a ·13＝121，
解得a 2＝81.
由cos C ＝13得sin C ＝22
3，
所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝59a 2sin C ＝5
9×81×22
3＝30 2.。