2020届江苏高考数学(文)总复习讲义：直线、平面垂直的判定及其性质

••＞必过教材美
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线l 与平面a 内的任意一条直线都垂直，就说直线
I 与平面a 互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:
文字语言
图形语言
付号语言 判定定理
如果一条直线和一个 平
面内的两条相交直 线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面
7
a ,
b ? a 、 a d b = O
卜? I 丄
I
丄a
1
_
I 丄b
」
a
性质定理
如果两条直线垂直于
同一个平面，那么这 两条直线平行
£
a 丄a
r? a// b b ± a —
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
如果两个平面互相垂 直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直 线垂直于
另一个平面
［小题体验］
1 .已知平面a 丄平面3,直线I 丄平面3,则直线I 与平面a 的位置关系为 ___________________ . 答案：平行或直线I 在平面a 内
2. PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB , PC , PA , AC , BD ，则一定互相垂
第四节 直线、平面垂直的判定及其性质
判定定理
文字语言 如果一
个平面经过另 一个平面的一条垂线， 那么这两个平
面互相 垂直
图形语言
符号语言
性质定理
a 丄3
I ? 3
卜？ I 丄
a ad 3= a
I 丄a
直的平面有_________ 对.
解析：由于PD丄平面ABCD，故平面PAD丄平面ABCD，平面PDB
丄平面ABCD，平面PDC丄平面ABCD，平面PDA丄平面PDC，平面PAC
丄平面PDB，平面PAB丄平面PAD,平面PBC丄平面PDC，共7对.
答案：7
••＞必过易措美
1 •证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.
2 .面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.
3 .面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误. ［小题纠偏］
1 ."直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是"直线a与平面M垂直”的________________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”）.
解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推
出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件.
答案：必要不充分
2. （2018南京三模）已知a, B是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线，I丄a, m?
3给出下列命题：
①a// 3? I丄m；②a丄价I // m；
③m // a I 丄3 ④I 丄3? m / a.
其中正确的命题是 _________ （填写所有正确命题的序号）.
解析：①由I丄a, all 3得I丄3又因为m? 3所以I丄m,故①正确；
②由I丄a , a丄3得I// 3或I? 3又因为m? 3所以I与m或异面或平行或相交，故
②不正确；
③由I丄a , m // a,得I丄m.因为I只垂直于3内的一条直线m,所以不能确定I是否垂直于3故③不正确；
④由I丄a, I丄3得all 3因为m? 3所以m // a,故④正确. 答案：①④
考点一直线与平面垂直的判定与性质题点多变型考点一一多角探明
［锁定考向］
直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题.
常见的命题角度有：
(1) 证明直线与平面垂直；
(2) 利用线面垂直的性质证明线线平行.
［题点全练］
角度一：证明直线与平面垂直
1 .如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD, AC 丄CD，/ ABC = 60° PA= AB = BC, E 是PC 的中点.求证：
(1) CD 丄AE ;
(2) PD丄平面ABE.
证明：⑴在四棱锥P -ABCD中，
•/ PA丄底面ABCD , CD?平面ABCD ,
••• PA 丄CD.v AC 丄CD, PA A AC = A,
••• CD丄平面PAC.
而AE?平面PAC,「. CD丄AE.
(2)由PA= AB= BC,/ ABC = 60° 可得AC= PA.
••• E是PC的中点，
• AE 丄PC.
由(1)知AE 丄CD，且PC A CD = C,
•AE丄平面PCD.
而PD?平面PCD , • AE 丄PD.
•/ PA丄底面ABCD , AB?平面ABCD , • PA丄AB.
又••• AB丄AD，且PA A AD = A,
•AB丄平面PAD,
而PD ?平面PAD,：AB 丄PD.
又••• AB A AE = A,：PD 丄平面ABE.
角度二：利用线面垂直的性质证明线线平行
2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，EF与异面直线AC,
A1D都垂直相交.求证：
(1) EF 丄平面AB1C;
(2) EF // BD1.
证明：(1)在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，A1B1// AB / CD，且A1B1 =AB = CD,
所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D // B1C.
因为EF丄A1D，所以EF丄B1C.
又因为EF 丄AC, AC A B1C = C, AC?平面AB1C, B1C?平面AB1C,
所以EF丄平面AB i C.
⑵连结BD，则BD丄AC.
因为DD i丄平面ABCD , AC?平面ABCD，所以DD i丄AC.
因为DD i A BD = D, DD i?平面BDD1B1, BD?平面BDD i B i,
所以AC丄平面BDD i B i.
片--------------- l i 又BD i?平面BDD i B i，所以AC丄BD i.
同理可证BD i丄B i C.
又AC A B i C= C, AC?平面AB i C, B i C?平面AB i C, 所以BD i丄平面AB i C.
又EF丄平面AB i C,
所以EF // BD i.
［通法在握］
判定直线和平面垂直的4种方法
（i）利用判定定理；
⑵利用判定定理的推论（a // b, a丄a? b± a；
⑶利用面面平行的性质（a丄a, a/ 3? a丄3）；
（4）利用面面垂直的性质.
当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
［演练冲关］
1. （20i8辅仁高级中学测试）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB= 2, BC =
a，又侧棱PA丄底面ABCD，当a = __________ 时，BD丄平面PAC.
解析：因为PA丄底面ABCD ,所以PA丄BD,为了使BD丄平面PAC,只要使BD丄AC, 因为底面ABCD是矩形，所以底面ABCD是正方形，即a = 2.
答案：2
2. （20i5 •苏高考）如图，在直三棱柱ABC-A i B i C i中，已知AC丄BC ,
BC = CC i.设AB i 的中点为D, B i C A BC i= E.
求证：（i）DE //平面AA i C i C;
（2）BC i 丄AB i.
证明：（i）由题意知，E为B i C的中点，
又D为AB i的中点，因此DE // AC.
又因为DE ?平面AA i C i C, AC?平面AA i C i C,
所以DE //平面AA i C i C.
（2）因为棱柱ABC-A i B i C i是直三棱柱，
所以CC i±平面ABC.
因为AC?平面ABC，所以AC丄CC i.
又因为AC丄BC, CC i?平面BCC I B I,
BC?平面BCC i B i,
BC A CC i= C,
所以AC丄平面BCC i B i.
又因为BC i?平面BCC i B i，所以BC i丄AC.
因为BC= CC i，所以矩形BCC i B i是正方形，
因此BC i丄B i C.
因为AC?平面B i AC , B i C?平面B i AC, AC A B i C = C,
所以BC i丄平面B i AC.
又因为AB i?平面B i AC，所以BC i丄AB i.
考点二面面垂直的判定与性质重点保分型考点一一师生共研
［典例引领］
(20i9南京调研)如图，在直三棱柱ABC-A i B i C i中，AB = AC, E是BC的中点，求证:
(i)平面AB i E丄平面B i BCC仁
⑵A i C// 平面AB i E.
证明：⑴在直三棱柱ABC-A i B i C i中，CC i±平面ABC.
因为AE?平面ABC,
所以CC i丄AE.
因为AB= AC, E为BC的中点，所以AE丄BC.
因为BC?平面B i BCC i, CC i?平面B i BCC i,
且BC A CC i=C,
所以AE丄平面B i BCC i.
因为AE?平面AB i E,
所以平面AB i E丄平面B i BCC i.
⑵连结A i B，设A i B A AB i= F，连结EF .
在直三棱柱ABC-A i B i C i中，四边形AA i B i B为平行四边形,
所以F为A I B的中点.
又因为E是BC的中点，所以EF // AQ
因为EF ?平面AB I E , A i C?平面AB i E , 所以A i C //平面AB i E.
［由题悟法］
1. 证明面面垂直的2种方法
(1) 定义法：利用面面垂直的定义，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.
(2) 定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决.
2. 三种垂直关系的转化
线线垂直性质线面垂直判定
性质
面面垂直
［即时应用］
(2018淮安高三期中)如图，在直三棱柱ABC-A i B i C i中，AC = BC,点
M为棱A i B i的中点.
求证：(i)AB //平面A i B i C;
(2)平面C i CM丄平面A i B i C.
证明：⑴在三棱柱ABC-A i B i C i中，AB// A i B i,
又AB?平面A i B i C, A i B i?平面A i B i C, 所以AB//平面A i B i C.
⑵在直三棱柱ABC-A i B i C i中，CC i丄平面A i B i C i, 又A i B i?平面A i B i C i,所以CC i丄A i B i.
因为AC= BC,所以A i C i= B i C i.
又因为点M为棱A i B i的中点，所以C i M丄A i B i.
又CC i A C i M = C i, CC i?平面C i CM , C i M?平面C i CM ,
所以A i B i丄平面C i CM.
又A i B i?平面A i B i C,
所以平面C i CM丄平面A i B i C.
考点三平面图形翻折成空间图形重点保分型考点一一师生共研
［典例引领］
(20i9昆山期中)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB丄AD, BC // AD , AD = 6, BC =4, AB= 2 ,2,点E , F分别在BC, AD上，EF // AB,并且E为BC中点.现将四边形
ABEF 沿EF 折起，使平面 ABEF 丄平面 EFDC .
⑴求证：AC 丄DE ;
(2)在AD 上确定一点N ，使得过C , E , N 的平面将三棱锥 A -FCD 分成体积相等的两 部分. 解：⑴证明：在梯形 ABCD 中，
•/ AB // EF , BC = 4, AD = 6, E 为 BC 中点， ••• CE = 2, DF = 4,
又••• EF = AB = 2 2 ,•牡=2=空,
耳’ EF 2 DF ' 又/ CEF =Z EFD
CEF EFD ,
•••/ ECF =Z FED .
•••/ ECF + EFC = 90° ° FED +Z EFC = 90° °
• CF 丄DE.
•/ AB 丄 AD , EF // AB , • AF 丄 EF ,
又平面 ABEF 丄平面 EFDC , AF ?平面 ABEF ,平面 ABEF n 平面EFDC = EF , • AF 丄平面EFDC ,
•/ DE ?平面 EFDC , • AF 丄 DE.
•/ AF n CF = F , AF ?平面 ACF , CF ?平面 ACF , • DE 丄平面ACF ,
•/ AC ?平面 ACF , • AC 丄 DE.
则三棱锥 A -FCD 被平面a 分成三棱锥 C -ANP 和四棱锥C -NPFD 两部分. 若两部分体积相等，则三角形
ANP 和四边形NPFD 的面积相等,
•/ EC // DF , EC ?平面 AFD , DF ?平面 AFD , • EC // 平面 AFD ,
又EC ?平面a , an 平面AFD = NP , • EC // NP , • NP // DF ,
(2)设过点C , E , N 的平面为
a, an 平面 AFD = NP , P € AF ,
则 S A ANP =
詁AFD
ft
-2，即当AN = _2?时，过C , E , N 的平面将三棱锥 A -FCD 分成体积相等的两
部分.
［由题悟法］
对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质 可能会发生变化.解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量 的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.
［即时应用］
（2018连云港模拟）在平面四边形 ABCD （图①）中，△ ABC 与厶ABD 均为直角三角形且有 公共斜边 AB ，设 AB = 2,Z BAD = 30° / BAC = 45°将厶ABC 沿 AB 折起，构成如图② 所示的三
棱锥C -ABD.
（1）当C ' D = 2时，求证：平面 C ' AB 丄平面 DAB ; （2）当AC '丄BD 时，求三棱锥 C ' -ABD 的高. 解：（1）证明：当C ' D = ."2时，
取AB 的中点O ,连结C ' O , DO ,
在 Rt △ AC ' B , Rt △ ADB 中，AB = 2,贝U C O = DO = 1, 因为C ' D = 2,
所以 C ' O 2+ DO 2= C ' D 2, 即卩 C ' O 丄 OD ,
又 C ' O 丄 AB, AB A OD = O , AB ?平面 ABD , OD ?平面 ABD ，所以 C O 丄平面 ABD , 因为C ' O ?平面C ' AB ，所以平面 C AB 丄平面 DAB. (2)当AC '丄BD 时，由已知 AC '丄BC ', 因为BC ' A BD = B ,所以 AC '丄平面 BDC ',
因为C ' D ?平面BDC '，所以AC '丄C ' D , △ AC ' D 为直角三角形, 由勾股定理得，C ' D = ■, AD 2— AC ' 2= 3-2 = 1,
.AN _ AD _
B
而在△ BDC '中，BD = 1, BC ' = 2,
1 1
所以△ BDC '为直角三角形，S A BDC Z = 2 X 1X 1 =-.
三棱锥 C ' -ABD 的体积V = g x S A BDC X AC = 2 = -2.
3 3 2 ^6
S A ABD=1X 1 X 冷3=令,
设三棱锥C' -ABD的高为h, 则由1X h x£= ¥，解得h=严.
3 2 63
故三棱锥C' -ABD的高为£.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1 .设a, B为两个不同的平面，直线l? a,则“ I丄8'是"a丄g'成立的___________________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”）.
解析：依题意，由I丄g I ? a可以推出a丄g反过来，由a丄g I? a不能推出I丄g 因此“I丄g'是“ a丄g成立的充分不必要条件.
答案：充分不必要
2 .在空间四边形ABCD中，平面ABD丄平面BCD，且DA丄平面ABC，则△ ABC的形状是 ____________ .
解析：过A作AH丄BD于H，由平面ABD丄平面BCD，得AH丄平面BCD，贝U AH丄BC,又DA丄平面ABC，所以BC丄DA，所以BC丄平面ABD，所以BC丄AB,即△ ABC为直角三角形.
答案：直角三角形
3. ______ 已知平面a, g和直线m,给出条件：① m// a;②m丄a③m? a④a// g当满足条件
____________ 时，有m丄g（填所选条件的序号）
解析：若m丄a a// g则m± g故填②④. 答案：②④
4 .一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是________ .
解析：由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行.再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面"得出两个平面垂直.
答案：垂直
5. （2018常州期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E是棱BC的中
点，P是侧面BCC I B I内一点，若平面A I B I CD丄平面AEP，则线段AP长度的取值范围是
解析：连结BC I，易得BC i丄平面A I B I CD，要满足题意，只需EP // BC I即可.取CC I的中点为F，则EF // BC i,故P在线段EF上（不含端点）. ••• AE = ■ 22+ 12= 5, AF = 22+ 22+ 12= 3,.••线段AP 长度的取值范围
是（.5, 3）.
答案：（.5, 3）
6 .如图，PA丄O O所在平面，AB是O O的直径，C是O O上一点，
AE丄PC, AF丄PB，给出下列结论：① AE丄BC ;②EF丄PB;③AF丄
BC;④AE丄平面PBC，其中真命题的序号是____________ .
解析：①AE?平面PAC, BC丄AC, BC丄PA? AE丄BC ,故①正
确，② AE 丄PC, AE 丄BC , PB?平面PBC? AE 丄PB,又AF 丄PB, EF?平面AEF ? EF 丄
PB,故②正确，③若AF丄BC? AF丄平面PBC，则AF // AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确.
答案：①②④
—保咼考，全练题型做到咼考达标
1. （2019盐城中学测试）已知a 3, 丫是三个不同的平面，命题“ a// 且a丄Y 肚Y 是真
命题，如果把a, 3 丫中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数为___________________ .
解析：若a, 3换为直线a, b,则命题化为“a// b,且a丄Y b丄Y，此命题为真命题；若a, 丫换为直线a, b,则命题化为“a// 3且a丄b? b丄3，此命题为假命题；若3 丫换为直线a, b,则命题化为“a // a,且b丄a? a丄b”，此命题为真命题.
答案：2
2. （2018徐州期中）如图，在四边形ABCD中，AD // BC , AD =
AB , / BCD = 45° / BAD = 90° 将厶ABD沿BD折起，使平面ABD丄
平面BCD，构成四面体ABCD，在四面体ABCD的其他面中，与平面
_______ （写出满足条件的所有平面）.
解析：在四边形ABCD 中，AD / BC, AD= AB, / BCD = 45° / BAD =90° 可得/ BDC = 90° 即BD 丄CD.
•••平面ABD丄平面BCD，且平面ABD门平面BCD = BD ,
••• CD丄平面ABD，又CD ?平面ADC,「.平面ADC丄平面ABD ;
假设平面ADC丄平面BCD ,
•/ BD丄CD，且平面ADC门平面BCD = CD ,
• BD丄平面ADC，贝U BD丄AD，与/ ADB = 45°矛盾；
•/ CD 丄平面ABD , AB?平面ABD , • CD 丄AB,
又AD 丄AB, 且AD A CD = D , • AB 丄平面ADC , 又AB?平面ABC,：平面ABC丄平面ADC.
.•.在四面体ABCD的其他面中，与平面ADC垂直的平面为平面ABD，平面ABC. 答案：平面ABD，平面ABC.
3.已知正厶ABC的边长为2 cm, PA丄平面ABC, A为垂足，且PA= 2 cm,那么点P 到BC 的距离为______________ cm.
解析：如图，取BC的中点D，连结AD , PD，贝U BC丄AD，又因为
PA丄平面ABC，所以PA丄BC,所以BC丄平面PAD，所以PD丄BC , 则
PD的长度即为点P至U BC的距离.在Rt △ PAD中，PA= 2 ,AD = ■ 3,
可得PD= 22+ 3 2= 7.
答案：7
4. （2018连云港期末）已知四边形ABCD为平行四边形，PA丄平面
ABCD ,当平行四边形ABCD满足条件_______________ 时，有PC丄BD（填
上你认为正确的一个条件即可）.
解析：•••四边形ABCD为平行四边形，PA丄平面ABCD , BD?平
面ABCD , • BD 丄PA,
当四边形ABCD是菱形时，BD丄AC.
又PA A AC = A,. BD 丄平面PAC, 又PC ?平面PAC,. PC 丄BD.
答案：四边形ABCD是菱形
5.已知直线a和两个不同的平面a, 3且a丄a, a// 3,贝U a, B的位置关系是_______________
解析：记b? 3且a / b,因为a // b , a丄a ,所以b丄a,因为b? 3所以a丄3 答案：垂直
6 .如图，已知/ BAC= 90 ° , PC丄平面ABC ,则在△ ABC , △ PAC
的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_______________ ;与AP垂直的直
线有________
解因为PC丄平面
所以PC垂直于直线AB , BC , AC. 因为AB 丄AC , AB 丄PC , AC A PC = C ,
所以AB 丄平面PAC , 又因为 AP ?平面PAC ,
所以AB 丄AP ,与AP 垂直的直线是 AB. 答案：AB , BC , AC AB
7.如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把厶ABD 和厶ACD 折
成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:
面 ABC.
i
即线段B i F 的长为？. ①BD 丄人心：②厶BAC 是等边三角形；③三棱锥 D-ABC 是正三
其中正确的是
BC 上的高，平面 ABD 丄平面 ACD ，所以AB = AC = BC ,A BAC 是等边三角形，②正确; 易知DA = DB = DC ,又由②知③正确；由①知④错误.
答案：①②③
8.如图，直三棱柱ABC -A i B i C i 中，侧棱长为2, AC = BC = i ，/ ACB =90° D 是A i B i 的中点，F 是BB i 上的动点，AB i , DF 交于点E.要使 丄平面C I DF ，则线段B i F 的长为
解析：设B i F = x ，因为 AB i 丄平面C i DF , DF ?平面C i DF ，所以
AB i
丄DF .
由已知可以得A |B i = 2,
i
设Rt △ AA i B i 斜边AB i 上的高为h ，贝U DE = ?h. 又 2X 2 = h X 22 + 2 2 ,
所以 h = 233, DE =于.
（填序
解析：由题意知,
AB 1
在 Rt △ DB i E 中，B i E =
由面积相等得严
jx ,得 x = 2
i
答案：寸
9. （20i8海安中学测试）如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD
是菱形，/ ABC= 60° PA= AC, PB = PD= ^AC, E 是PD 的中点，求证:
(1)PB// 平面ACE;
（2）平面PAC丄平面ABCD.
证明：（1）连结BD交AC于点0,连结0E ,
•••底面ABCD为菱形，
••• 0是BD的中点，
又E是PD的中点，• OE/ PB,
•/ 0E ?平面ACE , PB?平面ACE ,
• PB //平面ACE.
⑵•••底面ABCD为菱形，/ ABC = 60°
•△ ABC为正三角形，从而AB= AC ,
又PB = 2AC , PA= AC ,
•PB = 2AB= 2PA,可得PA丄AB. 同理可证PA丄AD.
又••• AB n AD = A, AB?平面ABCD , AD?平面ABCD ,
• PA丄平面ABCD ,
•/ PA?平面PAC,「.平面PAC丄平面ABCD.
10. （2019徐州高三检测）如图，在三棱锥S-ABC中，SA= SC, AB
丄AC, D为BC的中点，E为AC上一点，且DE //平面SAB.
求证：（1）AB //平面SDE ;
（2）平面ABC丄平面SDE.
证明：（1）因为DE //平面SAB, DE?平面ABC，平面SAB n 平
面ABC= AB，所以DE // AB.
因为DE ?平面SDE , AB?平面SDE ,
所以AB/平面SDE.
（2）因为D为BC的中点，DE // AB，所以E为AC的中点. 又因为SA= SC,所以SE X AC, 又AB丄AC , DE // AB,所以DE 丄AC.
因为DE n SE= E, DE ?平面SDE, SE?平面SDE , 所以AC丄平面SDE.
因为AC?平面ABC,
所以平面ABC丄平面SDE.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
V
H
C
C L
c
B
①MB 是定值; ②点M 在圆上运动;
③一定存在某个位置，使 DE 丄A i C ； ④一定存在某个位置，使 MB //平面A i DE.
解析：取 DC 中点 N ,连结 MN , NB ,贝U MN // A i D , NB // DE , ••• MN n NB = N , A i D n DE = E ,「.平面 MNB //平面 A i DE , v MB ④正确；/ A i DE = Z MNB
, ?平面 MNB ,••• MB //平面 A i DE , MN = 2A I D =定值，NB = DE =定值，根据余弦定理得， MB 2= MN 2+ NB 2-2MN NB •
答案：①②④
④平面 PDB i 丄平面 ACD i . 解析：由题意可得BC i // AD i,又AD i ?平面AD i C,BC i ?平面AD i C , 所以BC i //
平面AD i C.所以点P 到平面AD i C 的距离不变，V A -D 1PC =
V P -AD i C ，所以体积不变，故①正确；连结
A i C i , A i
B ，可得平面 ACD i
L
//平面A i C i B.又因为A i P ?平面A i C i B ,所以A i P //平面ACD i ,故②正确；当点P 运动到B 点时，△ DBC i 是等边三角形，所以DP 不垂直于BC i ,故③不正确；因为AC 丄平面DD i B i B , DB i ?平面DD i B i B ，所以AC 丄DB i .同理可得 AD i 丄DB i .所以DB i 丄平面ACD i .又因为DB i 答案：①②④
cos / MNB ,• MB 是定值，①正确;
MB 为半径的圆上, ②正确；当矩形 ABCD 满足AC 丄DE 时存在，其他情况不存在，③不正确.
•①②④正
确.
2.如图，点P 在正方体 ABCD-A i B i C i D i 的面对角线 BC i 上运动, 其中正确的命题序号是
?平面PDB i .所以平面PDB i 丄平面ACD i .故④正确.综上，正确的序号为①②④
1 .如图，矩形 ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ ADE 沿 直线DE 翻
B 是定点,
M 是在以B 为圆心,
则下列四个命题:
①三棱锥 A-D i PC 的体积不变; ② A i P //平面 ACD i ；③ DP 丄 BC i ； =2a.
(1)求证：B F
转过程中，正确的命题是
(填序号)
3. （2019 泰州调研）在直三棱柱 ABC-A i B i C i 中, AB = AC = AA i = 3a ,
A”
BC = 2a , D 是BC 的中点，E , F 分别是AA i , CC i 上一点，且AE = CF
⑵求三棱锥B i-ADF的体积；
⑶求证：BE //平面ADF .
解：（1）证明：因为AB = AC, D为BC的中点,
所以AD丄BC.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为B I B丄底面ABC , AD?底面ABC,
所以AD丄B I B.因为BC A B i B = B,所以AD丄平面B i BCC i, 因为B i F ?平面B i BCC i，所以AD 丄B i F.
在矩形B i BCC i 中，因为C i F = CD = a, B i C i = CF = 2a,
所以Rt △ DCF 也Rt△ FC i B i,所以/ CFD = Z C i B i F , 所以/ B i FD = 90°所以B i F丄FD.
因为AD A FD = D，所以B i F丄平面AFD .
⑵因为B i F丄平面AFD ,
所以VB i-ADF = 3 S A ADF B i F =舟X* AD X DF X B i F = ^^.
⑶证明：连结EF , EC,设EC A AF = M，连结DM ,
因为AE = CF = 2a,
所以四边形AEFC为矩形，
所以M为EC中点，
因为D为BC中点，所以MD // BE.
因为MD ?平面ADF , BE ?平面ADF ,
所以BE //平面ADF .
板块命题点专练（十）立体几何髙考真理集申研究一命題规律，验自身能力学习至此、阶J赠也能力如啊,贞題评估.
解析：设新的底面半径为r，由题意得
1X nX 52X 4+ nX 22X 8= 1X nX r2X 4+ nX r2X 8,
3 3
解得r2= 7,所以r = ＜』7.
答案：.7
3. （2014江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S i, S2,体积分别为V i, V2，若
它们的侧面积相等，且学=養则屮的值是______________ •
S2 4 V2
解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r i, r2，母线长分别是l i, I2.则由学=弓可得口
S2 4 r2
=3.又两个圆柱的侧面积相等，即 2 Ttr i l i = 2 n r2l2,则半=亠2，所以Vl=譽=9X2=弓.
2 l2 r i
3 V2 S2I2
4 3 2
答案：3
4. （20i8天津高考）已知正方体ABCD -A i B i C i D i的棱长为i,除面ABCD夕卜，该正方体
其余各面的中心分别为点E, F , G , H , M （如图），则四棱锥M -EFGH的体积为 ________ .
4 G
解析：连接AD i, CD i, B i A, B i C, AC,因为E, H分别为AD i,
1
CD i的中点，所以EH // AC , EH = ?AC,因为F , G分别为B i A, B i C
i
的中点，所以FG // AC, FG = ^AC，所以EH // FG , EH = FG ,所以
四边形EHGF为平行四边形，又EG = HF , EH = HG ,所以四边形
i
EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为？，所以四棱锥M -EFGH的体积为
i X " i=丄
3 2 2 i2.
i
答案：i
5. （20i7全国卷n ）长方体的长，宽，高分别为3,2,i,其顶点都在球0的球面上，则球
0的表面积为_________ .
解析：由题意知，长方体的体对角线长为，32+ 22+ i2= i4,
记长方体的外接球的半径为R，则有2R= i4,
i4 2
R= '2，因此球0的表面积为S= 4 uR = i4 n.答案：i4n
6. (2018全国卷I )如图，在平行四边形ABCM 中，AB = AC= 3，/ ACM = 90°.以AC
为折痕将厶ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB丄DA.
(1) 证明：平面ACD丄平面ABC;
2
(2) Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP= D Q= 3DA，求三棱锥Q -ABP的体积.
解：⑴证明：由已知可得，/ BAC= 90°,即AB丄AC.
又因为AB 丄DA, AC A DA = A,
所以AB丄平面ACD.
因为AB?平面ABC,
所以平面ACD丄平面ABC.
(2)由已知可得，DC = CM = AB = 3, DA = 3 2.
2
又BP = D Q= 3DA，所以BP= 2 2.
所以Q E丄平面ABC, Q E = 1.
1 11 J-
因此，三棱锥Q-ABP 的体积为V Q.ABP= 3X S A ABP X Q E= - X ~x 3X 2.2sin 45°X 1 = 1.
3 3 2
7. (2017北京高考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄AB , PA
丄BC , AB丄BC, PA= AB= BC = 2, D为线段AC的中点，E为线
段PC上一点.
(1) 求证：PA丄BD ;
(2) 求证：平面BDE丄平面PAC;
(3) 当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.
解：(1)证明：因为PA丄AB, PA丄BC, AB A BC = B,
所以PA丄平面ABC.
又因为BD?平面ABC ,
所以PA丄BD.
(2)证明：因为AB= BC, D为AC的中点,
所以BD丄AC.
由(1)知，PA丄BD，又AC A PA= A,
所以BD丄平面PAC.
因为BD ?平面BDE ,
所以平面BDE丄平面PAC.
(3)因为PA//平面BDE，平面PAC A平面BDE = DE , 所以PA / DE.
因为D为AC的中点，
1
所以DE = ?PA= 1, BD = DC = 2.
由(1)知，PA丄平面ABC ,
所以DE丄平面ABC.
1 1
所以三棱锥E-BCD的体积V=和DC DE = 1.
8. (2017全国卷I )如图，在四棱锥P-ABCD中，AB // CD , 且/ BAP
= Z CDP = 90°
(1) 证明：平面PAB丄平面PAD;
(2) 若PA= PD = AB = DC，/ APD = 90 ° 且四棱锥P-ABCD
的体积为3,求该四棱锥的侧面积.
解：(1)证明：由/ BAP=Z CDP = 90° 得AB丄AP , CD 丄PD.
又AB?平面PAB,所以平面PAB丄平面PAD.
因为AB / CD，所以AB丄PD. 又AP A PD = P, 所以AB丄平面PAD.
⑵如图所示，在平面PAD内作PE丄AD，垂足为E.
由(1)知，AB丄平面PAD ,
A
故AB 丄PE ,
可得PE 丄平面 ABCD.
设AB = x ，则由已知可得 AD = 2x , PE =舟
i i 故四棱锥 P-ABCD 的体积 V P .ABCD = iAB AD PE = ix 3. 3 3 由题设得ix 3= f ,故x = 2. 从而 PA = PD = AB = DC = 2, AD = BC = 2 2, PB = PC = 2 2. 可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为 2PA PD + 2PA AB + *PD DC + i BC 2sin 60° 6 + 2 3. 命题点二直线、平面平行与垂直的判定与性质 1. （2018江苏高考）在平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中，AA i = AB , AB 」B i C i . 求证：（i ）AB //平面 A i B i C ;
AB // A i B i .
因为AB ?平面A i B i C , A i B i ?平面 A i B i C ,
所以AB /平面 A i B i C. ⑵在平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中, 四边形ABB i A i 为平行四边形. 又因为AA i = AB ，所以四边形 ABB i A i 为菱形,
AB i 丄 B i C i , BC // B i C i ，所以 AB i 丄 BC. A i B n BC = B , A i B ?平面 A i BC , BC ?平面 A i BC , 所以平面 ABB i A i 丄平面 A i BC. （2）平面 ABB i A i 丄平面 （A i BC. ABCD -A i B i C i D i 中, X
・
因此
AB 」A i B. 因为
因为
所以 AB i 丄平面 A i BC. 因为
AB i ?平面 ABB i A i ,
2. （20i8全国卷川）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所
在平面垂直，M是CD上异于C, D的点.
（i）证明：平面AMD丄平面BMC.
（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC //平面PBD ?说明理由.
解：⑴证明：由题设知，平面CMD丄平面ABCD，交线为CD.因为BC丄CD , BC?平
面ABCD,
所以BC丄平面CMD ,
又DM ?平面CMD，所以BC丄DM .
因为M为CD上异于C, D的点，且CD为直径,
所以DM丄MC.
又BC n MC = C,所以DM丄平面BMC.
因为DM ?平面AMD ,
所以平面AMD丄平面BMC.
（2）当P为AM的中点时，MC //平面PBD.
证明如下：
连接AC交BD于O.
因为四边形ABCD为矩形，
所以0为AC的中点.连接0P ,
因为P为AM中点，所以MC // 0P.
又MC ?平面PBD , 0P?平面PBD , 所以MC //平面PBD .
3. （2017江苏高考）如图，在三棱锥A-BCD中，AB丄AD , BC
4
丄BD，平面ABD丄平面BCD，点E, F（E与A, D 不重合）分别在
棱AD , BD上，且EF丄AD.
求证：（1）EF //平面ABC ;
(2)AD 丄AC.
证明：⑴在平面ABD内，因为AB丄AD , EF丄AD,
所以EF // AB.
又因为EF ?平面ABC, AB?平面ABC ,
所以EF //平面ABC.
(2)因为平面ABD丄平面BCD ,
平面ABD n平面BCD = BD ,
BC ?平面BCD , BC 丄BD ,
所以BC丄平面ABD.
因为AD ?平面ABD ,
所以BC丄AD.
又AB 丄AD , BC n AB= B , AB ?平面ABC , BC ?平面ABC , 所以AD丄平面ABC.
又因为AC?平面ABC ,
所以 DE // AC ,于是 DE // A 1C 1.
又因为DE ?平面A 1C 1F , A 1C 1?平面A 1C 1F ,
所以直线DE //平面A 1C 1F.
(2)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1A 丄平面A 1B 1C 1.
因为A 1C 1?平面A 1B 1C 1，所以A J A 丄A 1C 1.
又因为 A i C i 丄 A 1B 1, A i A ?平面 ABB 1A 1, dB i ?平面 ABB i A i , dAQ A i B i = A i ,
所以A 1C 1丄平面ABB 1A 1.
因为B 1D ?平面ABB 1A 1,所以A 1C 1丄B 1D.
又因为 B 1D 丄 A 1F ,
A 1C 1?平面 A 1C 1F , A 1F ?平面 A 1C 1F ,
A 1C 1Q A 1F = A 1,所以
B Q 丄平面A 1
C 1F.
因为直线 B 1D ?平面B 1DE ，所以平面 B 1DE 丄平面A 1C 1F.
命题点一空间几何体的表面积与体积
i • （20i8江苏高考）如图所示，正方体的棱长为 2,以其所有面的中
心为顶点的多面体的体积为 __________ •
解析：由题意知所给的几何体是棱长均为 2的八面体，它是由两个
有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为
i ,所以这个八面体 的体积为2V 正四棱锥=2X 3X （ 2）2X * i =3.
答案：3
2• （20i5 •苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为 2，高 为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆 锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ___________ • 所以AD 丄4. (2016 •苏高考)如图，在直三棱柱
ABC-A 1B 1C 1 中，D , E 分别为 AB , BC 的中点，点F 在侧棱B i B 上，且 B i D 丄 A 1F , A 1C 1 丄 A 1B 1.
求证：(1)直线DE //平面 A i C i F ; (2)平面B 1DE 丄平面A 1C 1F. 证明：⑴在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中,
A 1C 1 // AC. 在厶ABC 中，因为 D , E 分别为 A
B ,
BC 的中点,。