陕西省西安中学高二数学(文)下学期期中试题(Word版含答案)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．已知a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．a 2＜b 2
B ．
11a b <C ．1b a
< D ．a 2＜ab
2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（）
A ．2i -
B ．2i +
C ．12i +
D ．12i -
3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）
A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B ．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 4．已知x 与y 之间的一组数据：
x 1 2 3 4 y
m
3.2
4.8
7.5
若y 关于x 的线性回归方程为y ＝2.1x ﹣0.25，则m 的值为（ ） A ．4.5
B ．3.5
C ．2.5
D ．1.5
5.直线cos 20
3sin 20x t y t ⎧=-⎨=+⎩
（t 为参数）的倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图是相关变量x ，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，分析一：由图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为r 1．分析二：剔除点P ，由剩下数据得到线性回归直线方程22y b x a =+，相关系数为r 2．那么（ ） A ．0＜r 1＜r 2＜1
B ．0＜r 2＜r 1＜1
C ．1-＜r 1＜r 2＜0
D ．1-＜r 2＜r 1＜0
西安中学第二学期期中考试 高二数学（文科）试题
（时间：120分钟满分：150分）
7．一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多．则可以完全确定的是（ ） A ．甲同学三个科目都达到优秀B ．乙同学只有一个科目达到优秀 C ．丙同学只有一个科目达到优秀
D ．三位同学都达到优秀的科目是数学
8．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿
墙术”：====，则按照以上规
律，若=n =（） A ．35
B ．48
C ．63
D ．80
9．小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个红枣馅三个豆沙馅，小明随机取出
两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是豆沙馅”，
则()P B A =（）
A ．1
4
B ．
34
C ．
110
D ．
310
10．在极坐标系中，O 为极点，曲线C ：=2cos ρθ上两点A 、B 对应的极角分别为
6
π
、
3
π
，则△AOB 的面积为（ ）
A B ．
34
C D ．
32
11．若关于x 的不等式2
124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．13a a <>或
B ．3a >
C ．1a <
D ．13a <<
12．在二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；
在三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）
34
3
V r π=.应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W =（ ） A ．44r π B ．43r πC ．42r π D ．4r π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足()2x i i y i +=-，则x yi -=_______． 14．若0n >，则232
n n
+
的最小值为______． 15．凸函数的性质定理为：若函数()f x 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意12,,,n x x x ⋅⋅⋅，有
()()()
12n f x f x f x n
++⋅⋅⋅+≤12(
)n
x x x f n
++⋅⋅⋅+．已知函数
sin y x =在区间(0，π)上是凸函数，则在ABC ∆中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值
为________．
16．已知两个变量y x ,的关系可以近似地用函数b y ax =来表示，通过两边取自然
对数变换后得到一个线性函数，并利用最小二乘法得到的线性回归方程为
20.5u v =+，则,x y 的近似函数关系式为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案写在答题纸相应位置．）
17．（10分）为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy
bx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）
附参考公式：1
2
1
()()()
ˆn i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑1
22
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
x
nx ==-=
-∑∑，a y bx =-．
18．（12分）已知函数()2
f x x px q =++．
（1）求()()()1322f f f +-的值；
（2）求证：()1f 、()2f 、()3f 中至少有一个不小于
1
2
． 19．（12分）随着电子商务的发展，人们的购物习惯正在改变，基本上所有的需求都可以通过网络购物解决．小王是位网购达人，每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价．现对其近年的200次成功交易进行评价统计，统计结果如下表所示．
（2）现从这200次交易中，按照“对商品好评”和“对商品不满意”采用分层抽样取出5次交易，然后从这5次交易中任选两次进行观察，求这两次交易中恰有一次“对商品好评”的概率．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++(其中n a b c d =+++）
20．（12分）设函数()|1|f x x mx =-+． （1）当2m =时，解不等式()0f x <；
（2）当0m <时，不等式()f x 0m -≥的解集为R ，求实数m 的取值范围． 21．（12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2()1x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=-⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）若点P 的极坐标为（1，π），过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11+PA PB
的最大值． 22．（12分）
已知0a >，0b >，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1． （1）求2a b +的值；
（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的取值范围．
一、选择题：（5分×12=60分） 二、填空题：（5分×4=20分）
13.
14. 6
15. 16. 1
22y e x =
三、解答题：（共6小题，共70分）
17．（10分）解：（1）3x =，5y =，5
1
62.7i i i x y ==∑，5
21
55i x ==∑，
2
62.7535
1.235553
b -⨯⨯=
=--⨯，5 1.2338.69a =+⨯=， 所以线性回归方程为：8.69 1.ˆ23y
x =-. （2）年利润()2
8.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+
所以，预计当年产量 2.72x =吨时，年利润z 最大.
18．（12分）解：（1）∵()2
f x x px q =++
∴(1)1f p q =++，(2)42f p q =++，(3)93f p q =++
∴()()()(1)(93)2(42)21322f p q f f p q p q =++++++-++=-. （2）假设()1f 、()2f 、()3f 都小于
1
2，即()()(),123111,222
f f f <<<，
即有()()()111111
,,222223212f f f --<-<<<<<，
∴()()()213222f f f -<+-<，
西安中学第二学期期中考试 高二数学（文科）试题答案
1B
由（1）可知()()()13222f f f +-=，矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．
19．解：(1) ()2
22008010407011.11110.8281505012080
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯,
所以有99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关.
(2) 由表格可知“对商品的好评”的频率为3
5
,采用分层抽样的方式从这200
次交易中取出5次交易, 则好评的交易次数为3次, 不满意的次数为2次.
设好评的交易为,,A B C , 不满意的交易,a b , 从5次交易中任意取出2次的所有取法为()()()(),,,,,,,A B A C A a A b ,()()(),,,,,,B C B a B b (),C a , (),C b , (),a b , 共计
10
种情况,
其中只有一次好评的情况是
(),A a ,(),A b ,(),B a ,(),B b ,(),C a ,(),C b , 共计
6种情况. 因此, 恰有一次好评的
概率为
63105
=. 20．（12分）解：（1）当2m =时，()|1|2f x x x =-+
1()0310x f x x ≥⎧<⇔⎨-<⎩或110x x <⎧⎨+<⎩，解得∅或1x <-，
所以不等式()0f x <的解集是(,1)-∞-.
（2）不等式()0f x m -≥即|1|0x mx m -+-≥，即|1|(1)x m x -≥-. 当1x ≤时，因为0m <，所以(1)0m x -≤，又10x -≥，则|1|(1)x m x -≥-恒成立；
当1x >时，|1|(1)x m x -≥-可化为1(1)x m x -≥-，即(1)(1)0x m -+≥，
由题意得10m +≥，解得1m ≥-. 又0m <，所以实数m 的取值范围是[)1,0-. 21．（12分）解：
（1）将曲线C 的参数方程转化为直角坐标方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝5，
再转化为极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ﹣2ρsin θ．
（2）点P 的极坐标为（1，π），转换为直角坐标方程为（﹣1，0），
所以经过点P 的直线的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），
代入圆的直角坐标方程（x ﹣2）2+（y +1）2＝5， 得t 2+（2sin α﹣6cos α）t +5＝0，
所以t 1+t 2＝﹣2sin α+6cos α，t 1t 2＝5（t 1，t 2同号） 所
以
1212121211
+(tan 3A t t t t P PB t t t t θ++===≤=其中）, 所以
11+A P PB
. 22．（12分）解：（1）令0x a +=得x a =-，令20x b -=得2
b
x =， ∵0a >，0b >，∴2
b
a -<
， 则3,(),23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧
⎪--+≤-⎪
⎪
=-++-<<⎨⎪
⎪
+-≥⎪⎩
，
∴()f x 在,2b ⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
∴min ()122b b f x f a ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭，所以22a b +=；
（2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b
t ab
+≤
恒成立， ∵22a b +=，∴1
12
a b +=，
∴2121215259
2222
a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当a b =
时取等号）
∴
2
a b
ab
+
的最小值为
9
2
，∴
9
2
t≤.。