等腰三角形的判定 知识讲解 (基础)

等腰三角形的判定 (基础)知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解等腰三角形的判定定理及其证明过程.
2. 掌握等边三角形的判定定理及其证明过程．
3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理证明和计算．
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
要点二、等边三角形的判定
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
要点诠释：等边三角形是中考常考的知识点，需要记住以下数据：边长为a
的等边三角形它的高是
2a . 【典型例题】
类型一、等腰三角形的判定
1、如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．
【思路点拨】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和∠FCA 的关系．因为∠BAD=∠BCE ，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．根据题中的条件：BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，△BDA 和△BEC 又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC ，于是∠BAC=∠BCA ，由此便可推导出∠FAC=∠FCA ，那么三角形AFC 应该是个等腰三角形．
【答案与解析】 解：△AFC 是等腰三角形．理由如下：
在△BAD 与△BCE 中，
B B BAD BCE
BD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
（公共角） ∴△BAD ≌△BCE （AAS ），
∴BA=BC ，∠BAC=∠BCA ，
∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE ，即∠FAC=∠FCA ．
∴AF=CF，
∴△AFC是等腰三角形．
【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．
举一反三:
【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：
①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；
证明：∵在△EBO和△DCO中，
∵，
∴△EBO≌△DCO（AAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
2、（2016•常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
【思路点拨】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
【答案与解析】
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠AEC+∠A +∠ADB+∠EOD=360°
即90°+80°+90°+∠EOD=360°
∴∠EOD=100°
∴∠BOC=∠EOD=100°
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．举一反三:
【变式】已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD
于E，交AC于F．
求证：CE＝CF．
【答案】
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°．
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠DBE．
∴∠CFB＝∠DEB．
∵∠FEC＝∠DEB（对顶角相等），
∴∠CFB＝∠FEC．
∴CE＝CF．
类型二、等边三角形的判定
3、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：AD=AE．
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【思路点拨】（1）由边角关系求证△ADB≌△AEB即可；（2）由题中条件可得∠BAC=60°，进而可得△ABC 为等边三角形．
【答案与解析】
证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠E=90°=∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
在△ADB和△AEB中，，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE；
（2）△ABC是等边三角形．理由：
∵BE∥AC，
∴∠EAC=90°，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠BAC=∠1+∠3=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【总结升华】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，要熟练掌握．
举一反三：
【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.
【答案】
解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，BE＝1
2
BP＝
1
3
BC＝PC，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，
∴PE＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
4、（1）如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形
OAB 和等边三角形OCD ，连接AC 和BD ，相交于点E ，连接BC ，求∠AEB 的大小；
（2）如图，△OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将△OCD 绕着点O 旋转（△OAB 和△OCD 不能重叠），求∠AEB 的大小．
【答案与解析】
证明：（1）∵O 是AD 的中点，
∴AO ＝DO
又∵等边△AOB 和等边△COD
∴AO ＝DO ＝CO ＝BO ，∠DOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°
∴∠CAO ＝∠ACO ＝∠BDO ＝∠DBO ＝30°
∴∠AEB ＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°
（2）∵∠BOD ＝∠DOC ＋∠BOC ，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC
∴∠BOD ＝∠AOC
在△BOD 与△AOC 中，
BO AO BOD AOC DO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BOD ≌△AOC （SAS ）
∴∠ACO ＝∠BDO
∵∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB
＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝60°＋60°＝120°
∴∠AEB ＝180°－∠AED ＝60°.
【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.
举一反三：
【变式】如图，已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 交于点F ，求∠AFB 的度数
.
【答案】
解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
又∵∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB＝∠ACB＝60°．。