2011届普陀区一模数学文

普陀区高三年级质量调研数学试卷 （文科）
一、填空题（本大题满分56分）
1. 设平面向量()1,1a =r
，()0,4b =-r ，则b a ⋅= .
2. 已知函数()2log a f x x =+,(01)a a >≠且,若()f x 的反函数1
()f
x -的图像经过点()3,4，则
a = .
3. 已知集合{}|lg 0A x x =≤，{}
|21x B x =≤，则A
B = .
4. 若数列{}n a 对任意的*
N n Î都有11n n a a a +=+，且12a =，则20a =________.
5. 若直线l 的一个法向量为(
)
3,1n =
，则直线l 的倾斜角为 .
6. 已知sin a θ=，其中θ是第四象限角，则sin2θ= .
7. 已知一个球的半径为R ，一个平面截该球所得小圆的半径为r ，该小圆圆心到球心的距离为d ，则d 关于r 的函数解析式为 .
8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆2
2
2416x y +=的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为 . 9. 若arcsin 23
x π
=
，则x = .
10. 某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数X 之后，输出的变量S 表示的实际意义是 ；若一次采购85台该电子产品，则S = 元.
11. 方程为2
2
41x y x x y ++=-+的曲线上任意两点之间距离的最大值为 .
12. 高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即()sin αβ+=
sin cos cos sin αβαβ=+. （填入推导的步骤）
13. 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =-+（R k ∈，*N n ∈），则lim
n
n n
na S →∞= .
14. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正
确的结论是 （写出所有正确结论的编号）
① 能构成每个面都是等边三角形的四面体； ② 能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.
第10题图
二、选择题（本大题满分20分）
15. “0x ≠”是“0x <”的 （ ）
A. 充分非必要条件；
B. 必要非充分条件；
C. 充要条件；
D. 既非充分又非必要条件. 16. 如图，直角三角形OAB 的直角顶点O 是空间坐标系O xyz -的原点，点A 在Ox 轴正半轴上，1OA =；点B 在Oz 轴正半轴上，2OB =.我们称OAB △绕Oz 轴逆时针旋转
2
π
后得到的旋转体为四分之一圆锥体. 以下关于此四分之一圆锥体的三视图的表述错误．．
的是 （ ） A. 该四分之一圆锥体主视图和左视图的图形是全等的直角三角形； B. 该四分之一圆锥体俯视图的图形是一个圆心角为
2
π
的扇形； C. 该四分之一圆锥体主视图、左视图和俯视图的图形都是扇形； D. 该四分之一圆锥体主视图的图形面积大于俯视图的图形面积.
17. 双曲线2
21
169
y x -=上到定点()5,0的距离是6的点的个数是 （ ）
A. 0个；
B. 2个；
C. 3个；
D. 4个. 18. 若对于任意角θ，都有sin cos 1a b θθ-=（0ab ≠），则下列不等式中恒成立的是 （ ） A.
22111a b +≤； B. 221a b +≤； C. 22
111a b
+≥； D. 22
1a b +≥. 三、解答题（本大题满分74分） 19. （本题满分10分）
如图，⊥PD 平面ABCD ，ABCD 是边长为2的正方形，1PD =. 求异面直线PA 与BD 所成角的大小.
20. （本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为例，该节
能型冰箱使用一天（24小时）耗电仅0.81度，比普通冰箱约节省电能50%，达到国家一级标准.经测算，每消耗100度电相当于向大气层排放78.5千克二氧化碳，而一棵大树在60年的生命周期内共可以吸收1吨二氧化碳.
（1）一台节能型冰箱在一个月（按30天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到0.1千克）？
（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱. 在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有150户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按30天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过150棵大树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？
A
B
C
D
P 第19题图
21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）.
已知ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . （1）若当A θ∠=时，cos 2cos 2B C A +⎛⎫
+
⎪⎝⎭
取到最大值，求θ的值；
（2）设A ∠的对边长1a =，当cos 2cos 2B C A +⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
取到最大值时，求ABC △面积的最大值.
22.（本题满分16分，其中第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）
设a 为非零实数，偶函数1)(2
+-+=m x a x x f ，R x ∈. （1） 求实数m 的值；
（2） 试确定函数()f x 的单调区间（不需证明）；
（3） 若函数)(x f 在区间)2,3(--上存在零点，试求实数a 的取值范围.
23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）
已知()()()111222,,,,
,,n n n A x y A x y A x y 是直线:l y kx b =+上的n 个不同的点（*N n ∈，
k 、b 均为非零常数），其中数列{}n x 为等差数列. （1）求证：数列
{}n y 是等差数列；
（2）若点P 是直线l 上一点，且1122OP a OA a OA =+，求证: 1
21a a +=； （3） 设121n a a a ++
+=，且当1i j n +=+时，恒有i j a a =（i 和j 都是不大于n 的正整数, 且
i j ≠）.试探索：在直线l 上是否存在这样的点P ，使得1122n n OP a OA a OA a OA =++
+成立？
请说明你的理由.
高三调研数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题（每小题4分，满分56分）：
1. 4-；
2. 4；
3. (],1-∞；
4. （文，理）40；
5. 23
p
；
6. 2
-；
7. d =
()0,r R ∈；
8. 4； 9.
1
； 10.表示一次采购共需花费的金额; 15300；
11.
； 12. ()cos cos cos sin sin 222πππαβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭
；
13. 理：(][),45,-∞-+∞；文：2； 14. 理：①②③④；文：①②③.
二、选择题（每题4分，满分16分）：
题号
15 16 17
18 答案
B C B
D
三、解答题：
19.（本题满分10分）
（理科）解：由结论：“当1q <时，lim 0n
n q →∞
=”且根据本题条件0a b >>，故本题需根据变量a 和常数1的大小比较进行分类讨论：
（1）当10a b >>>时，11
lim 22
n n n
n n a b a b →∞++=++； （2）当10a b =>>时，122
lim lim 233
n n n n
n n n n a b b a b b →∞→∞+++==+++； （3）当10a b >>>或10a b >≥>时，有111lim lim 1221n
n n
n n n n n n n
b a b a a a b b a a
→∞→∞
⎛⎫
++ ⎪++⎝⎭==++⎛⎫
++ ⎪⎝⎭. 故集合{}
lim n n M m m a →∞
==含有以上三个元素，用列举法表示集合12,1,23M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
.
…3 …6 …9 …10 （文科）解：如图，延长DA 至E ，CB 至F ，使得DA=AE ，CB=BF. 联结AF ，PF ，EF ，DF. 因为ABCD 是正方形，所以AD//BF ，且
AD=BF ，所以AF//BD. 故PAF ∠（或其补角）的大
小即为异面直线PA 与BD 所成角的大小.
又正方形边长为2，PD=1
，故PA =
AF =
DF == (3)
A
B
C
D
P E
F
所以，PF==
于是，
222
cos
2
PA AF PF
PAF
PA AF
+-
∠===
⋅
，
所以异面直线PA与BD
所成角的大小为.
…7
…9
(10)
20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能50%，故一台节能型冰箱一天（24小时）
消耗的0.81度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个月中比普通冰
箱要少消耗电：0.813024.3
⨯=（度）；
设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放x千克的二氧化碳，则
78.5
24.3100
x
=⇒
24.378.5
19.075519.1
100
x
⨯
==≈（千克）.
故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约19.1千克的二氧化碳.
（2）设n个月后(*
N
n∈)，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在60年
生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有
(1)
19.07551501501000
2
n n+
⋅⋅>⋅
()1104.8
n n
⇒+>，因为*N
n∈，故可解得10
n≥.
所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树在60
年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.
…3
…6
(10)
…14 21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）
解：（1）因为cos2cos cos2sin
22
B C A
A A
+
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
2
2
13
12sin2sin2sin
22222
A A A
⎛⎫
=-+=--+
⎪
⎝⎭
故当
1
sin
22
A
=时，原式取到最大值，即三角形的内角
3
A
π
θ
∠==时，最大值为
3
2
.
（2）由（1）结论可得
3
A
π
∠=，此时
2221
cos
22
b c a
A
bc
+-
==221
b c bc
⇒+-=.
又222
b c bc
+≥，因此22
11
b c bc bc bc
=+-≥⇔≤，当且仅当b c
=时等号成立.
所以
11
sin1
22
ABC
S bc A
∆
=≤⨯=故ABC
△面积的最大为
4
3
.
…2
…5
…7
…9
(12)
(14)
22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）
（理科）解：（1）设BC 的中点为D ，连结AD 、DM ，则有
11 ABC AD BC D BC BB ABC AD BB ⎫∆⎫
⇒⊥⎬⎪
⎬⎭
⎪
⊥⇒⊥⎭
为正三角形为中点平面11AD BB CC ⇒⊥平面 于是，可知AMD ∠即为AM 与侧面BCC 1所成角θ.
因为，点M 到平面ABC 的距离为BM ，不妨设BM x =，()0,x h ∈. 在Rt △ADM 中，tan AD
AMD MD
∠=.
由AD =
,DM ==,
故tan AD MD θ==
. 而当,64ππθ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，tan ,13θ⎤∈⎥⎣⎦
，
即
13≤≤
2
21
314922
x x ⇔≤+≤⇔≤≤，
所以，点M 到平面ABC 的距离BM
的取值范围是
⎣. （2）解法一：当6
πθ=时，由（1
）可知BM =
故可得3
2
DM =
,AM == 设向量AM 与BC 的夹角为α，因为
()AM BC AB BM BC AB BC BM BC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 111cos12002
=⨯⨯+=-
.
所以1
cos ||||3AM BC AM BC α-
⋅===，
...3 (6)
…9
(11)
...13 (15)
故向量AM 与BC 夹角的大小为π-.
解法二：如图，以11AC 中点O 为原点，1OB 所在的直线为x 轴，1OC 所在的直线为y
轴，OE 所在直线为z 轴（其中点E 为AC 中点），建立空间直角坐标系.
π
...16 (10)
D A
B
C A 1
B 1
C 1
M
A
23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分） 解：（1）证：设等差数列{}n x 的公差为d ,
因为()()()111n n n n n n y y kx b kx b k x x kd +++-=+-+=-=， 所以1n n y y +-为定值，即数列
{}n y 也成等差数列.
（2）证：因为点P 、1A 和2A 都是直线l 上一点，故有12A P PA λ=(1λ≠-)
于是，()
111212OP OA A P OA PA OA OA OP λλ=+=+=+-
()121OP OA OA λλ⇔+=+ 12111OP OA OA λ
λλ
⇔=
+++ 令111a λ=+，21a λ
λ
=+，则有121a a +=.
（3）（文科）假设存在点(),P x y 满足要求1122n n OP a OA a OA a OA =+++,
则有112233n n x a x a x a x a x =+++
+，
又当1i j n +=+时，恒有i j a a =，则又有
1-122-11n n n n x a x a x a x a x =++++，
所以()()()()1122-133-312n n n n n x a x x a x x a x x a x x =++++++++
又因为数列
{}n x 成等差数列，
于是12-13-31n n n n x x x x x x x x +=+=+==+，
所以，()()123112n n n x a a a a x x x x =+++++=+
故12n x x x +=
，同理12n y y y +=，且点11,2
2n n x x y y P ++⎛⎫
⎪⎝⎭在直线上（是1A 、n A 的中点），即存在点11,22n n x x y y P ++⎛⎫
⎪⎝⎭
满足要求. ...4 ...6 ...9 (10)
(12)
(15)
(18)
(20)
（3）（理科）
提出命题：（在本题大前提下）若点P 满足1122n n OP a OA a OA a OA =+++，则系数数
列的和121n a a a +++=是点P 在直线l 上的充要条件.
证明：设00(,)OP x y =，由条件1122n n OP a OA a OA a OA =+++，
先证充分性：“当121n a a a ++
+=时，点P 在直线l 上”.
因为1122n n OP a OA a OA a OA =+++，
故0112201122,n n n n
x a x a x a x y a y a y a y =++
+⎧⎨
=++
+⎩
而i i y kx b =+（1,2,
,i n =）
，所以 ()()()01122n n y a kx b a kx b a kx b =++++
++
()()112212n n n k a x a x a x a a a b =+++++++
()012n kx a a a b =++++
当121n a a a ++
+=时，即有00y kx b =+，即点P 在直线l 上.
再证必要性：“若点P 在直线l 上，则121n a a a ++
+=.”
因为1122n n OP a OA a OA a OA =++
+，
故0112201122,n n n n
x a x a x a x y a y a y a y =++
+⎧⎨
=++
+⎩
而因为i i y kx b =+（1,2,
,i n =）
，所以 ()()()01122n n y a kx b a kx b a kx b =++++
++
()()112212n n n k a x a x a x a a a b =+++++++
()012n kx a a a b =+++
+
又因为点P 在直线l 上，所以满足00y kx b =+，故121n a a a +++=.
补充：由以上证明进一步可知，对于直线l 上任一点P ，若满足
1122n n OP a OA a OA a OA =++
+，则都有121n a a a +++=.
【评分建议】
1. 若能提出一个由题中三条线索出发的相关猜想或命题，但没有任何研究过程，则无论对
错都给2分；
2. 若能提出上述的充要条件命题，且证明过程准确、完备，则最高得10分；（不说明“补充”的内容不扣分）
3. 若能提出一个满足充分性或满足必要性的相关命题（或猜想），且证明过程正确，则最高得7分；
4. 若能根据三条线索，提出其他条件约束更多的相关命题（或猜想），且有正确的研究过程，则最高得5分.
5. 若还有其他答题情况，则根据具体内容酌情给出评分参考.。