北京课改版九年级数学上册第18章 相似形 综合测试卷 (含答案)

北京课改版九年级数学上册
第18章相似形
综合测试卷
（时间90分钟，满分120分）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知a b ＝c d
，则下列式子中正确的是( ) A ．a ∶b ＝c 2∶d 2
B ．a ∶d ＝c ∶b
C ．a ∶b ＝(a ＋c)∶(b ＋d)
D ．a ∶b ＝(a －d)∶(b －d)
2．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于( ) A.4011 B.407
C.704
D.7011
3．已知△ABC ∽△DEF ，S △ABC ∶S △DEF ＝1∶4.若BC ＝1，则EF 的长为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )
A ．(6，0)
B ．(6，3)
C ．(6，5)
D ．(4，2)
5．如图，身高1.6米的学生想测量学校旗杆的高度，当他站在点C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆的影子重合在点A 处，测量得到AC ＝2米，BC ＝20米，则旗杆的高度是( )
A ．15米
B ．16米
C ．17.6米
D ．18米
6．如图，给出下列条件，其中能单独判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )
①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC
；④AC 2＝AD·AB. A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．△ABC 三个顶点的坐标分别为A(2,2)、B(4,2)、C(6,6)，在此直角坐标系中作△DEF ，使得△DEF 与△ABC 位似，且以原点O 为位似中心，位似比为1∶2，则△DEF 的面积为( )
A ．12
B ．1
C ．2
D ．4
8．如果线段AB ＝15，点C 是AB 上靠近点B 的黄金分割点，那么AC 的值约为( )
A ．0.618
B ．9.27
C ．9.27或5.73
D ．5.73
9．如图，在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，延长AE 交BC 于点F ，则BF ∶FC ＝( )
A ．1∶5
B ．1∶4
C ．1∶3
D ．1∶2
10．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，则下列结论中错误的有( )
A ．∠ADE ＝∠CDE
B ．DE ⊥EC
C ．AD·BC ＝BE·DE
D ．CD ＝AD ＋BC
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．已知线段a ＝3 cm ，b ＝6 cm ，若线段b 是线段a 与c 的比例中项，则c ＝__ __cm.
12．若a ＝5，b ＝10，则a 、b 的比例中项为 .
13．在△ABC 中，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，在AB 边上有一点D ，AD ＝4 cm ，在AC 边上有一动点E.试问：当AE ＝__ __cm 时，△ABC 与△ADE 相似．
14．在比例尺为1∶10 000的地图上有一块面积为2 cm 2的地方，它的实际面积为__ __m 2.
15．如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)．当点C 的坐标为________________________时，使得由点B ，O ，C 组成的三角形与△AOB 相似．
16．如图，已知小鱼同学的身高(CD)是1.6米，她与树(AB)在同一时刻的影子长分别为DE ＝2米，BE ＝5米，那么树的高度AB ＝ __ __ 米．
17. 如图12，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上．若BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23
EH ，那么EH 的长为 _______．
18．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2，照此规律作下去，则S 2019＝ .
三．解答题（共9小题，66分）
19．(6分) 如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，使得它们重叠(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA′是__2－1__．
20．(6分) 如图，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，△ABC ∽△DAC.
(1)求∠BAD 的大小；
(2)求CD 的长．
21．(6分) 已知a b ＝c d ＝e f ＝23
，求下列各式的值： (1)a ＋c b ＋d ；(2)2a －c ＋3e 2b －d ＋3f
.
22．(6分) 某社区拟筹资2 000元，计划在一块上、下底分别是10 m，20 m的梯形空地上种植花木，如图所示，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
23．(6分) 如图所示，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB·DE＝AD·BC”成立．
(1)写出这个条件(至少写出3个)；
(2)对其中的一个予以证明．
24．(8分) 如图所示，四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若DB＝9，求BM.
25．(8分) 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.求证：
(1)∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；
(2)AB2＝AE·AC.
26．(10分) 如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连结PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连结DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长；
(2)点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
27．(10分) 如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB 于点M，MN⊥CM交AD于点N.
(1)当F为BE中点时，求证：AM＝CE；
(2)若AB
BC＝
EF
BF＝2，求
AN
ND的值；
参考答案：
1-5CABBC 6-10CBBCC
11. 12
12. ±5 2
13. 3或163
14. 20_000
15. (1，0)或(－1，0)或(－4，0)
16. 4
17. 32
18. ⎝⎛⎭⎫142018
19. 解: ∵△A′BD ∽△ABC ，
∴S △A′BD S △ABC ＝⎝⎛⎭
⎫A′B AB 2
， ∴12＝⎝⎛⎭
⎫A′B 22
， ∴A′B ＝1，∴AA′＝2－1.
20. 解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ，∴CD AC ＝AC BC
. 又AC ＝4，BC ＝6，
∴CD ＝4×46＝83
. 21. 解：(1)∵a b ＝c d ＝23，∴a ＝23b ，c ＝23
d ， ∴a ＋c b ＋d ＝23b ＋23d b ＋d
＝23； (2)∵a b ＝c d ＝e f ＝23，∴2a 2b ＝－c －d ＝3e 3f ＝23
，
∴2a －c ＋3e 2b －d ＋3f ＝23
. 22. 解：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴△AMD ∽△CMB.
又∵AD ＝10 m ，BC ＝20 m ，
∴S △AMD S △BMC ＝⎝⎛⎭⎫AD BC 2＝⎝⎛⎭⎫10202＝14
. 又∵S △AMD ＝500÷10＝50(m 2)，
∴S △BMC ＝200 m 2，
∴还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000(元)， ∴资金不够用．
23. 解：(1)∠B ＝∠D ，∠C ＝∠AED ，AD AB ＝AE AC
等． (2)选择∠B ＝∠D.
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE ＝∠2＋∠BAE ，
即∠DAE ＝∠BAC ，
又∵∠B ＝∠D ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴AD AB ＝DE BC
， 即AB·DE ＝AD·BC.
24. 解：(1)证明：∵E 是AB 的中点，
∴AB ＝2EB.
∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB.
又∵AB ∥CD ，
∴四边形CBED 是平行四边形，
∴CB ∥DE ，
∴∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，
∴△EDM ∽△FBM.
(2) ∵△EMD ∽△FMB ，
∴DM BM ＝DE BF
. ∵F 是BC 的中点，
∴DE ＝2BF ，
∴DM ＝2BM ，
∴BM ＝13
DB ＝3. 25. 证明：(1)在△ADE 和△ACD 中，∵∠ADE ＝∠C ，∠DAE ＝∠DAE ， ∴△ADE ∽△ACD ，
∴∠AED ＝∠ADC.
∵∠AED ＋∠DEC ＝180°，∠ADB ＋∠ADC ＝180°，
∴∠DEC ＝∠ADB.
又∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠B
(2)∵△ADE ∽△ACD ，∴AD AC ＝AE AD
， 即AD 2＝AE·AC.
又∵AB ＝AD ，∴AB 2＝AE·AC
26. 解：(1)根据题意得：PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，
∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE ，
∵EQ ⊥AB ，∴∠A ＝∠Q ＝90°.
在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝PE ，
∴△ADP ≌△QPE(AAS)，
∴PQ ＝AD ＝1
(2)∵△PFD ∽△BFP ，∴PB BF ＝PD PF
. ∵∠ADP ＝∠EPB ，∠CBP ＝∠A ，∴△DAP ∽△PBF ，
∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF
， ∴PA ＝PB ，∴PA ＝12AB ＝12
. ∴当P 在AB 的中点时，△PFD ∽△BFP
27. 解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，
∴BF ＝EF.
∵AB ∥CD ，
∴∠MBF ＝∠CEF ，∠BMF ＝∠ECF.
∴△BMF ≌△ECF.
∴MB ＝CE.
∵AB ＝CD ，CE ＝DE ，∴MB ＝AM ， ∴AM ＝CE ；
(2)设MB ＝a.
∵AB ∥CD ，
∴△BMF ∽△ECF.
∵EF BF ＝2，∴CE MB ＝2.∴CE ＝2a.
∴AB ＝CD ＝2CE ＝4a ，AM ＝AB －MB ＝3a. ∵AB BC ＝2，
∴BC ＝AD ＝2a.
∵MN ⊥MC ，∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴△AMN ∽△BCM.
∴AN BM ＝AM BC ，即AN a ＝3a 2a .
∴AN ＝32a ，ND ＝2a －32a ＝12a.
∴AN ND ＝32a ︰12a ＝3；。