九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质课件上册数学课件
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立柱.
想一想: 它们还有哪些性质呢?
12/11/2021
一个三角形有三条重要线段： _高__、_中__线_、__角__平_分__线__
如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
12/11/2021
探究
ABC ∽ ABC
B
相似比为1 2
对应高的比
AD 1 2 A D __________ _
第四章
4.7 相似三角形的性质
12/11/2021
（1）什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的
三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
12/11/2021
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问
题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例 建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的
B′
A
（3）
DC
A′
D
C′
总结
相似三角形的性质 相似三角形的对应高的比，对应角平分线
的比，对应中线的比都等于相似比.
12/11/2021
相似三角形的性质
问题1：
如 图 , A B C ∽ A B C ,相 似 比 为 k,其 中 A D 、 A D 分 别 为
k B C 、 B C 边 上 的 高 ,则 A D_ _ _ _. A D
AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR=
1 2
BC时，求DE的长.如果SR= 1
3
BC呢？
A
S
E
R
B
C D
12/11/2021
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）. ∴ A E S R （相似三角形对应高的比等于相似比），
A B C∽ A ' B 'C '
B
B ',
AB A 'B '
BC B 'C '
A D , A ' D '分 别 是 B C 、 B 'C '的 高 ，
图18.3.9
A D B A 'D 'B '
又 B B'
A B D∽
A 'B 'D '
结论：相似三角 形对应高的比等
AD A 'D '
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的 面积分别是 50cm2、8cm.2
12/11/2021
5.已知两个等边三角形的边长之比为2 ：3 ，且它们的面积之和为26cm2，则较小的等边 三角形的面积为多少？
12/11/2021
相似三角形的性质
1.相似三角形对应边成 比例 ,对应角相等 . 2.相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
C'
ΔABC和ΔA'B'C'周长比是多少？ ∵ ΔABC~ΔA'B'C'
∴ AB
BC AC
=
=
=k
A'B' B'C' A'C'
∴ AB+BC+AC
=k
A'B'+B'C'+A'C'
定理 相似三角形的周长比等于相似比.
12/11/2021
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
12/11/2021
A D
A'
B
B
',
AB A 'B
'
k
A D , A ' D '分 别 是 B C 、 B ' C '的 中 线
B'
B D 1 B C , B ' D ' 1 B 'C '
2
2
BD B 'D
'
BC B 'C
'
又
B B'
AB A 'B '
A B D ∽ A 'B 'D '
结论：相似三角 形对应中线的比 等于相似比.
12/11/2021
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原 来的 25 倍.
（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为 原来的 10 倍.
4.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘 米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长 分别是 100cm、40cm.
例3 如图，ABC 的面积为25，直线DE平行于
BC分别交AB、AC于点D、E，如果ADE 的面积
为9，求
A D
D B
的值.
A
D
E
12/11/2021
B
C
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应 角的角平分线的比等于 3∶5.
2.相似三角形对应边的比为0.4,
那么相似比为 0.4 , 对应角的角平分线的比为 0.4 , 周长的比为 0.4 , 面积的比为 0.16 .
探究
A
A′
B
C D
B′
Hale Waihona Puke C′D′分别过点A′、A，作 A 'D 'B 'C '于 D '
∴
作AD⊥BC于D，
SABC
1ADBC
2
AD
∴ SABC
BC SA'B'C'
A A 'B B'A A 'B B'A A 'B B2'2k2
SA'B'C' 1A'D'B'C' A'D' B'C'
2
∵ △ AB ∽ △C A 'B 'C '
AD BC
即 AD DE SR .
AD
BC
当SR= 1
2
BC时，得
h DE h
1. 2
解得DE=
1h 2
.
当SR=
1 3
BC时，得
h DE h
1. 3
解得DE=
2h 3
.
12/11/2021
例2 如图,将△ABC沿BC方向平移得到 △DEF.△ABC与△DEF重叠部分（图中阴 影部分）的面积是△ABC面积的一半.已 知BC=2，求△ABC平移的距离.
A
B B ', B A C B ' A 'C ' , A B k A 'B '
A E , A ' E '分 别 是 B A C 、 B ' A 'C '的 平 分 线
B A E 1 B A C 1 B ' A 'C ' B ' A 'E '
B
2
2
又 B B'
结论：相似三角形
D' C' A
AD
AB
k
A 'D '
A 'B '
12/11/2021
B
D
C
自主思考--- 类似结论
问题3：
如 图 , A B C ∽ A B C ,相 似 比 为 k,其 中 A E 、 A E 分 别
k 为 A B C 、 A B C 的 平 分 线 ,则 A E______.
A E
A B C ∽ A 'B 'C '
A B E ∽ A 'B 'E '
AE A 'E '
AB A 'B '
k
对应角的角平分线 的比等于相似比.
B′
EC A′
C′ E′
12/11/2021
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
12/11/2021
探究 A
D B A'
D' B'
C
ΔABC~ΔA'B'C', 相似比为k.
AG D
解：根据题意，EG//AB
∴ ∠GEC=∠B,∠EGC=∠A
∴ △GEC∽△ABC
∴ S △ GEC
S △ ABC
EC BC
2
EC
BC
2 2
即 1 EC 2
2
22
EC 2 2
EC 2
BE
CF
即△ABC平移的距离 为2- 2
BE BC EC 2 2
12/11/2021
AB A 'B '
k
于相似比.
图18.3.9
12/11/2021
自主思考--- 类似结论
问题2：
如 图 , A B C ∽ A B C ,相 似 比 为 k,其 中 A D 、 A D 分 别 为
k B C 、 B C 边 上 的 中 线 ,则 A D_ _ _ _.
A B C ∽ A ' B 'C '
定理 相似三角形的面
积比为相似比的平方.
∴
B CA Bk, A DA Bk B'C ' A 'B' A 'D ' A 'B '
12/11/2021
相似三角形的性质定理
相 对应高的比
似 对应中线的比
三 角
对应角平分线的比
都等于相似比.
形
周长的比
面积的比等于相似比的平方
12/11/2021
例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在
12/11/2021
B′
A
（1）
DC
A′
D
C′
ABC ∽ ABC
B
相似比为1 2
对应中线的比
AD 1 2 A D __________ _
12/11/2021
B′
A
（2）
D
C
A′
D
C′
ABC∽ABC
相似比为1
B
2
对应角平分线的比
AD 1 2 AD __________ _
12/11/2021
对应角平分线的比都等于 相似比 . 3.相似三角形周长的比等于相似比 ，
相似三角形面积的比等于 相似比的平方.
12/11/2021
相似多边形 也有同样的
结论
12/11/2021
想一想: 它们还有哪些性质呢?
12/11/2021
一个三角形有三条重要线段： _高__、_中__线_、__角__平_分__线__
如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
12/11/2021
探究
ABC ∽ ABC
B
相似比为1 2
对应高的比
AD 1 2 A D __________ _
第四章
4.7 相似三角形的性质
12/11/2021
（1）什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的
三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
12/11/2021
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问
题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例 建造了模型房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的
B′
A
（3）
DC
A′
D
C′
总结
相似三角形的性质 相似三角形的对应高的比，对应角平分线
的比，对应中线的比都等于相似比.
12/11/2021
相似三角形的性质
问题1：
如 图 , A B C ∽ A B C ,相 似 比 为 k,其 中 A D 、 A D 分 别 为
k B C 、 B C 边 上 的 高 ,则 A D_ _ _ _. A D
AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
当SR=
1 2
BC时，求DE的长.如果SR= 1
3
BC呢？
A
S
E
R
B
C D
12/11/2021
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）. ∴ A E S R （相似三角形对应高的比等于相似比），
A B C∽ A ' B 'C '
B
B ',
AB A 'B '
BC B 'C '
A D , A ' D '分 别 是 B C 、 B 'C '的 高 ，
图18.3.9
A D B A 'D 'B '
又 B B'
A B D∽
A 'B 'D '
结论：相似三角 形对应高的比等
AD A 'D '
（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的 面积分别是 50cm2、8cm.2
12/11/2021
5.已知两个等边三角形的边长之比为2 ：3 ，且它们的面积之和为26cm2，则较小的等边 三角形的面积为多少？
12/11/2021
相似三角形的性质
1.相似三角形对应边成 比例 ,对应角相等 . 2.相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
C'
ΔABC和ΔA'B'C'周长比是多少？ ∵ ΔABC~ΔA'B'C'
∴ AB
BC AC
=
=
=k
A'B' B'C' A'C'
∴ AB+BC+AC
=k
A'B'+B'C'+A'C'
定理 相似三角形的周长比等于相似比.
12/11/2021
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积 之间有什么关系呢？
12/11/2021
A D
A'
B
B
',
AB A 'B
'
k
A D , A ' D '分 别 是 B C 、 B ' C '的 中 线
B'
B D 1 B C , B ' D ' 1 B 'C '
2
2
BD B 'D
'
BC B 'C
'
又
B B'
AB A 'B '
A B D ∽ A 'B 'D '
结论：相似三角 形对应中线的比 等于相似比.
12/11/2021
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原 来的 25 倍.
（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为 原来的 10 倍.
4.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘 米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长 分别是 100cm、40cm.
例3 如图，ABC 的面积为25，直线DE平行于
BC分别交AB、AC于点D、E，如果ADE 的面积
为9，求
A D
D B
的值.
A
D
E
12/11/2021
B
C
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应 角的角平分线的比等于 3∶5.
2.相似三角形对应边的比为0.4,
那么相似比为 0.4 , 对应角的角平分线的比为 0.4 , 周长的比为 0.4 , 面积的比为 0.16 .
探究
A
A′
B
C D
B′
Hale Waihona Puke C′D′分别过点A′、A，作 A 'D 'B 'C '于 D '
∴
作AD⊥BC于D，
SABC
1ADBC
2
AD
∴ SABC
BC SA'B'C'
A A 'B B'A A 'B B'A A 'B B2'2k2
SA'B'C' 1A'D'B'C' A'D' B'C'
2
∵ △ AB ∽ △C A 'B 'C '
AD BC
即 AD DE SR .
AD
BC
当SR= 1
2
BC时，得
h DE h
1. 2
解得DE=
1h 2
.
当SR=
1 3
BC时，得
h DE h
1. 3
解得DE=
2h 3
.
12/11/2021
例2 如图,将△ABC沿BC方向平移得到 △DEF.△ABC与△DEF重叠部分（图中阴 影部分）的面积是△ABC面积的一半.已 知BC=2，求△ABC平移的距离.
A
B B ', B A C B ' A 'C ' , A B k A 'B '
A E , A ' E '分 别 是 B A C 、 B ' A 'C '的 平 分 线
B A E 1 B A C 1 B ' A 'C ' B ' A 'E '
B
2
2
又 B B'
结论：相似三角形
D' C' A
AD
AB
k
A 'D '
A 'B '
12/11/2021
B
D
C
自主思考--- 类似结论
问题3：
如 图 , A B C ∽ A B C ,相 似 比 为 k,其 中 A E 、 A E 分 别
k 为 A B C 、 A B C 的 平 分 线 ,则 A E______.
A E
A B C ∽ A 'B 'C '
A B E ∽ A 'B 'E '
AE A 'E '
AB A 'B '
k
对应角的角平分线 的比等于相似比.
B′
EC A′
C′ E′
12/11/2021
相似三角形的性质
问题： 两个相似三角形的周长比 会等于相似比吗？
12/11/2021
探究 A
D B A'
D' B'
C
ΔABC~ΔA'B'C', 相似比为k.
AG D
解：根据题意，EG//AB
∴ ∠GEC=∠B,∠EGC=∠A
∴ △GEC∽△ABC
∴ S △ GEC
S △ ABC
EC BC
2
EC
BC
2 2
即 1 EC 2
2
22
EC 2 2
EC 2
BE
CF
即△ABC平移的距离 为2- 2
BE BC EC 2 2
12/11/2021
AB A 'B '
k
于相似比.
图18.3.9
12/11/2021
自主思考--- 类似结论
问题2：
如 图 , A B C ∽ A B C ,相 似 比 为 k,其 中 A D 、 A D 分 别 为
k B C 、 B C 边 上 的 中 线 ,则 A D_ _ _ _.
A B C ∽ A ' B 'C '
定理 相似三角形的面
积比为相似比的平方.
∴
B CA Bk, A DA Bk B'C ' A 'B' A 'D ' A 'B '
12/11/2021
相似三角形的性质定理
相 对应高的比
似 对应中线的比
三 角
对应角平分线的比
都等于相似比.
形
周长的比
面积的比等于相似比的平方
12/11/2021
例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在
12/11/2021
B′
A
（1）
DC
A′
D
C′
ABC ∽ ABC
B
相似比为1 2
对应中线的比
AD 1 2 A D __________ _
12/11/2021
B′
A
（2）
D
C
A′
D
C′
ABC∽ABC
相似比为1
B
2
对应角平分线的比
AD 1 2 AD __________ _
12/11/2021
对应角平分线的比都等于 相似比 . 3.相似三角形周长的比等于相似比 ，
相似三角形面积的比等于 相似比的平方.
12/11/2021
相似多边形 也有同样的
结论
12/11/2021