2020-2021武汉市初二数学上期中一模试卷及答案

2020-2021武汉市初二数学上期中一模试卷及答案
一、选择题
1．下列分式中，最简分式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．从甲地到乙地有两条路：一条是全长750km 的普通公路，另一条是全长600km 高速公路.某客车从甲地出发去乙地，若走高速公路，则平均速度是走普通公路的平均速度的2倍，所需时间比走普通公路所需时间少5小时.设客车在普通公路上行驶的平均速度是x km/h ，则下列等式正确的是（ ）
A ．600x ＋5＝7502x
B ．600x －5＝7502x
C ．6002x ＋5＝750x
D ．6002x －5＝750x
3．若关于x 的方程333x m m x x
++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜
92
B ．m ＜92且m≠32
C ．m ＞﹣94
D ．m ＞﹣94且m≠﹣34 4．计算()2x
y xy x xy --÷的结果为（ ）
A ．1y
B ．2x y
C ．2x y -
D ．xy - 5．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ）
A ．正六边形
B ．正八边形
C ．正十边形
D ．正十二边形
6．如图，把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）
A ．212A ∠=∠-∠
B ．32(12)A ∠=∠-∠
C ．3212A ∠=∠-∠
D ．12A ∠=∠-∠ 7．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ ） A ．80°
B ．80°或50°
C ．20°
D ．80°或20° 8．下列各式能用平方差公式计算的是( )
A ．(3a+b)(a-b)
B ．(3a+b)(-3a-b)
C ．(-3a-b)(-3a+b)
D ．(-3a+b)(3a-b) 9．计算b a a b b a +--的结果是 A ．a-b B ．b-a C ．1 D ．-1
10．如图，在ABC ∆中，4AB =，3AC =，30BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针旋转60︒得到11AB C ∆，连接1BC ，则1BC 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．如图所示，在平行四边形ABCD 中，分别以AB 、AD 为边作等边△ABE 和等边△ADF，分别连接CE ，CF 和EF ，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；
②△CEF 是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF；
④CE∥DF
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12．若x ﹣m 与x+3的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）
A ．3
B ．1
C ．0
D ．﹣3 二、填空题
13．从n 边形的一个顶点出发有四条对角线，则这个n 边形的内角和为______度.
14．已知关于x 的分式方程
233x k x x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________. 15．如果关于x 的分式方程m 2x 1x 22x
-=--有增根，那么m 的值为______． 16．如图，△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．
17．分解因式：2x2﹣8=_____________
18．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．
a ＝________．
19．在实数范围因式分解：25
20．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B 为_____度．
三、解答题
21．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．
22．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA ＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：P A＝CQ；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
23．已知：如图，∠ABC，射线BC 上一点D ，
求作：等腰△PBD，使线段BD 为等腰△PBD 的底边，点P 在∠ABC 内部，且点P 到∠ABC 两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
24．已知：线段a ，α∠，求作：ABC △，使AB AC a ==，B α∠=∠．
25．如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD=BC ，∠DAB=∠CBA ，求证：AC=BD ．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据最简分式的定义：分子和分母中不含公分母的分式，叫做最简分式，对四个选项中的分式一一判断即可得出答案.
【详解】
解：A.，分式的分子与分母不含公因式，是最简分式；
B.，分式的分子与分母含公因式2，不是最简分式；
C. ，分式的分子与分母含公因式x-2，不是最简分式；
D. ，分式的分子与分母含公因式a，不是最简分式,
故选A.
【点睛】
本题考查了最简分式的概念.对每个分式的分子和分母分别进行因式分解是解题的关键. 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
分别表示出客车在普通公路和高速公路上行驶的时间，即可得到方程.
【详解】
根据题意：客车在普通公路上行驶的时间是750
x
小时，在高速公路上行驶的时间是
600
2x
小时，由所需时间比走普通公路所需时间少5小时可列方程：600
2x
＋5＝
750
x
，
故选：C.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键. 3．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=
29
2
m
-+
，
已知关于x 的方程333x m m x x
++--=3的解为正数， 所以﹣2m+9＞0，解得m ＜
92， 当x=3时，x=292m -+=3，解得：m=32
， 所以m 的取值范围是：m ＜
92
且m≠32． 故答案选B ． 4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以解答本题
【详解】
()()()22===x y
xy x xy
xy x y x x y xy x x y x y
x y
--÷-⋅--⋅---
故答案为C
【点睛】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
5．C
解析：C
【解析】
试题分析：利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．360÷36=10． 故选C ．
考点：多边形内角与外角．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠A′=∠A ，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．
【详解】
∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到，
∴∠A′=∠A ，
又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，
∵∠A+∠ADA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，
整理得，2∠A=∠1-∠2．
故选A.
【点睛】
考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．
【详解】
∵等腰三角形的一个外角是100°，
∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，
当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，
∴该等腰三角形的顶角是80°或20°
. 故答案选：D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用平方差公式的逆运算判断即可.
【详解】
解：平方差公式逆运算为：()()22
a b a b a b +-=- 观察四个选项中，只有C 选项符合条件.
故选C.
此题重点考查学生对平方差公式的理解，掌握平方差公式的逆运算是解题的关键.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
将第二个式子提出一个负号，即可使分母一样，然后化简即可得出答案.
【详解】
b a b --a a b - =b a a b
--=-1，所以答案选择D. 【点睛】
本题考查了分式的化简，熟悉掌握计算方法是解决本题的关键.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
由旋转性质得∠CAC 1=600,AC=AC 1=3，在Rt ⊿ABC 1中，
BC 15==.
【详解】
因为ABC ∆绕点A 按逆时针旋转60︒得到11AB C ∆，
所以∠CAC 1=600,AC=AC 1=3
所以∠BAC 1=∠BAC+∠CAC 1=300+600=900,
所以，在Rt ⊿ABC 1中，
BC 15==
故选：C
【点睛】
考核知识点：旋转性质，勾股定理.运用旋转性质是关键.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用“边角边”证明△CDF 和△EBC 全等，判定①正确；同理求出△CDF 和△EAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE CF EF ＝＝，判定△ECF 是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若CE DF P ，则C 、F 、A 三点共线，故④错误；即可得出答案．
【详解】
在ABCD Y 中，ADC ABC ∠∠＝，AD BC ＝，CD AB ＝，
∵ABE ADF V V 、都是等边三角形，
∴AD DF ＝，AB EB ＝，60DFA
ADF ABE ∠∠∠︒＝＝＝， ∴DF BC ＝，＝CD BE ，
∴60CDF ADC ∠∠︒＝﹣，
60EBC ABC ∠∠︒＝﹣，
∴CDF EBC ∠∠＝，
在CDF V 和EBC V 中，DF BC CDF EBC CD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴CDF EBC SAS V V ≌（）
，故①正确； 在ABCD Y 中，设AE 交CD 于O ，AE 交DF 于K ，如图：
∵AB CD ∥，
∴60DOA OAB ∠∠︒＝＝，
∴DOA DFO ∠∠＝，
∵OKD AKF ∠∠＝，
∴ODF OAF ∠∠＝，
故③正确；
在CDF V 和EAF △中，CD EA CDF EAF DF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴CDF EAF SAS V V ≌（）
， ∴EF CF ＝，
∵CDF EBC ≌△△，
∴CE CF ＝，
∴EC CF EF ＝＝，
∴ECF △是等边三角形，故②正确；
则60CFE ∠︒＝，
若CE DF P 时，
则60DFE CEF ∠∠︒＝＝，
∵60DFA CFE ∠︒∠＝＝，
∴180CFE DFE DFA ∠+∠+∠︒＝，
则C 、F 、A 三点共线
已知中没有给出C 、F 、A 三点共线，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，再根据条件可得3﹣m ＝0，再解得出答案．
【详解】
解：（x ﹣m ）（x+3）＝x 2+3x ﹣mx ﹣3m ＝x 2+（3﹣m ）x ﹣3m ，
∵乘积中不含x 的一次项，
∴3﹣m ＝0，
解得：m ＝3，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二、填空题
13．【解析】【分析】一个多边形的一个顶点出发一共可作4条对角线则这个多边形的边数7边形的内角和可以表示成代入公式就可以求出内角和【详解】由题意得：所以这个n 边形的内角和为度故填：【点睛】本题主要考查多边 解析：900
【解析】
【分析】
一个多边形的一个顶点出发，一共可作4条对角线，则这个多边形的边数7，n 边形的内角和可以表示成2180n -︒（）g ，代入公式就可以求出内角和.
【详解】
由题意得：()432180900+-⨯︒=︒
所以这个n 边形的内角和为900度
故填：900.
【点睛】
本题主要考查多边形内角、多边形的对角线，熟练掌握计算公式是关键.
14．k<6且k≠3【解析】分析：根据解分式方程的步骤可得分式方程的解根据分式方程的解是正数可得不等式解不等式可得答案并注意分母不分零详解：方程两边都乘以（x-3）得x=2（x-3）+k 解得x=6-k≠3
解析：k <6且k≠3
【解析】
分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零． 详解：233
x k x x -=--， 方程两边都乘以（x-3），得
x=2（x-3）+k ，
解得x=6-k≠3，
关于x 的方程程
233
x k x x -=--有一个正数解， ∴x=6-k ＞0，
k ＜6，且k≠3，
∴k 的取值范围是k ＜6且k≠3．
故答案为k ＜6且k≠3．
点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k 的范围是解此题的关键． 15．-4【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值让最简公分母确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解即可得到正确的答案【详解】解：去分母方程两边同时乘以 解析：-4
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x 20-=，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【详解】 解：m 2x 1x 22x
-=--， 去分母，方程两边同时乘以x 2-，得：m 2x x 2+=-，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当x 2=时，m 422+=-，
m 4=-．
故答案为4-．
【点睛】
考查了分式方程的增根.增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．70【解析】【分析】先利用HL 证明△ABE≌△CBF 可证∠BCF=∠BAE=25°
即可求出∠ACF=45°+25°=70°【详解】∵∠ABC=90°AB=AC∴∠CBF=180°-∠ABC=90°∠
解析：70
【解析】
【分析】
先利用HL 证明△ABE ≌△CBF ，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出
∠ACF=45°+25°=70°.
【详解】
∵∠ABC=90°，AB=AC ，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，
AB CB AE CF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)，
∴∠BCF=∠BAE=25°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，
故答案为70.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
17．2（x+2）（x ﹣2）【解析】【分析】先提公因式再运用平方差公式【详解】2x2﹣8=2（x2﹣4）=2（x+2）（x ﹣2）【点睛】考核知识点：因式分解掌握基本方法是关键
解析：2（x+2）（x ﹣2）
【解析】
【分析】
先提公因式，再运用平方差公式.
【详解】
2x 2﹣8，
=2（x 2﹣4），
=2（x+2）（x ﹣2）．
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.
18．【解析】试题分析：如图连接OA ∵OBOC 分别平分∠ABC 和∠ACB ∴点O 到A BACBC 的距离都相等∵△ABC 的周长是20OD ⊥BC 于D 且OD=3∴S △ABC=×20×3=30考点：角平分线的性质
解析：【解析】
试题分析：如图，连接OA ，
∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，
∵△ABC 的周长是20，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，
∴S △ABC =12
×20×3=30． 考点：角平分线的性质．
19．【解析】【分析】将5改成然后利用平方差进行分解即可【详解】==故答案为【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式把5写成是利用平方差公式进行分解的关键 解析：(5)(5)a a 【解析】
【分析】将5改成
2
5，然后利用平方差进行分解即可. 【详解】25a - =2a -2
5 =(55a a +， 故答案为(55a a . 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，把5写成
2
5是利用平方差公式进行分解的关键． 20．37【解析】【分析】先判断出∠AEC=90°进而求出∠ADC=∠C=74°最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论【详解】解：∵AD=AC 点E 是CD 中点∴AE⊥CD∴∠AEC=90°∴∵AD
解析：37
【解析】
【分析】
先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．
【详解】
解：∵AD=AC ，点E 是CD 中点，
∴AE ⊥CD ，
∴∠AEC=90°，
∴9074C CAE ∠=︒-∠=︒，
∵AD=AC ，
∴∠ADC=∠C=74°，
∵AD=BD ，
∴2∠B=∠ADC=74°，
∴∠B=37°，
故答案为：37°．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，求出∠ADC=74°是解本题的关键．
三、解答题
21．底边长为4cm ，腰长为10cm.
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，设△ABC 的腰长为xcm ，则AD ＝DC ＝12xcm ，然后根据AB+AD=9和AB+AD=15两种情况分别求出底边和腰长，最后根据三角形的三边关系进行判定是否能够构成三角形，从而得出答案．
【详解】
如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，BD 是AC 边上的中线．
设△ABC 的腰长为xcm ，则AD ＝DC ＝
12xcm. 分下面两种情况解：
①AB ＋AD ＝x ＋12
x ＝9， ∴x ＝6. ∵三角形的周长为9＋15＝24(cm)， ∴三边长分别为6cm ，6cm ，12cm. 6＋6＝12， 不符合三角形的三边关系，舍去；
②AB ＋AD ＝x ＋
12
x ＝15， ∴x ＝10. ∵三角形的周长为24cm ， ∴三边长分别为10cm ，10cm ，4cm ，符合三边关系．
综上所述，这个等腰三角形的底边长为4cm ，腰长为10cm.
【点睛】
本题主要考查的是等腰三角形的性质以及分类讨论思想的应用，属于中等难度的题型．学会分类讨论是解决这个问题的关键．
22．（1）C （1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P （1，0）．
【解析】
【分析】
（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；
（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；
（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．
【详解】
（1）作CH ⊥y 轴于H ，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB ⊥BC ，
∴∠A BO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH ，
在△ABO 和△BCH 中，
ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABO ≌△BCH ，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C 点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ ﹣∠ABQ=∠ABC ﹣∠ABQ ，即∠PBA=∠QBC ，
在△PBA 和△QBC 中，
BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ；
（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．见解析.
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】
∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点P在线段BD的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：
【点睛】
本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
24．答案见解析
【解析】
∠=，进而以B为圆心a的长为半径画弧，再以A为圆心a为半试题分析：首先作ABCα
径画弧即可得出C的位置．
试题解析：如图所示：△ABC即为所求.
25．见解析．
【解析】
【分析】
要证明AC=BD，只需要证明△ADB≌△BAC即可.【详解】
在△ADB和△BCA中，
AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA
∴△ADB≌△BAC（SAS）
∴AC=BD．
【点睛】
全等三角形的判定与性质.。