1.5 三角函数的应用(练习)(解析版)

第一章 直角三角形的边角关系
第五节 三角函数的应用
精选练习
一、单选题
1．（2021·重庆沙坪坝区·九年级期末）如图，某建筑物AB 在一个坡度为1:0.75i =的山坡CE 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离20BC =米，在距山脚点C 右侧水平距离为60米的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，建筑物AB 和山坡CE 的剖面的同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin 240.41°»，cos 240.91°»，tan 240.45°»）
A ．32.4米
B ．20.4米
C ．16.4米
D ．15.4米
【答案】C
【分析】延长AB 交CD 反向延长线于F ．根据题意可知43
BF FC =，则设BF=4x ，FC=3x ．由正切可求出AF 的长．再在Rt BFC △中，由勾股定理可求出x 的值．最后即可利用=AB AF BF -求出AB 长．
【详解】
如图延长AB 交CD 反向延长线于F ，由题意可知BF DF ^．
∵建筑物AB 在一个坡度为i =1:0.75的山坡CE 上，∴10.75BF FC =，即43
BF FC =．设BF=4x 米，则FC=3x 米，DF=（60+3x ）米，
∵24D Ð=°，∴tan tan 240.45AF D DF
Ð=°==，∴0.45(603)(27 1.35)AF x x =+=+米．
在Rt BFC △中，222BF FC BC +=，即222(4)(3)20x x +=
，
∴1244x x ==-，（舍）．
∴4416BF =´=米，27 1.354=32.4AF =+´米．
∴=32.4-16=16.4AB AF BF -=米．
故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用和勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
2．（2021·山东烟台市·九年级期末）一人乘雪橇沿坡比1s （m ）与时间t （s ）之间的关系为s ＝8t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为5s ，则此人下降的高度为（ ）
A ．m
B ．45m
C ．
D ．90m
【答案】B
【分析】根据题意求出滑下的距离s ，根据坡度的概念求出坡角，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：设斜坡的坡角为α，
当t=5时，2852590s =´+´=，
∵斜坡的坡比1
∴，∴α=30°，
∴此人下降的高度=1
2
×90=45（m），
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-
坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2021·山东省枣庄市第十三中学九年级月考）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C ，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．a sinx+bsinx B．a cosx+bcosx
C．a sinx+bcosx D．a cosx+bsinx
【答案】D
【分析】
作AF⊥OB于点F，则点A到OC的距离等于OF的长，根据矩形性质及解直角三角形可得OB=BC•cosx=bcosx，BF=AB •sinx=asinx，进而可得OF的长
【详解】
解：作AF⊥OB于点F，则点A到OC的距离等于OF的长．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC=b
∴∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠OBC=90°，
∵∠O=90°，
∴∠BCO +∠OBC=90°，
∴∠BCO=∠FBA
∵∠BCO=x ，
∴∠FBA =x ，
在Rt n OCB 中，BC=AD=b ，OB=BCsinx=bsinx
在Rt n AFB 中，AB=a ，BF=ABcosx=acosx
∴FO=FB+BO=acosx+bsinx ，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2019·山西九年级期末）如图，要测量小河的宽度，在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得50PC m =，35PCA Ð=°，则小河的宽度PA 等于（ ）
A ．50tan 35m
°B ．50sin 55m °C ．50sin 35m °D ．50tan 55m
°【答案】A
【分析】根据正切函数可求小河宽PA 的长度．
【详解】
解：∵PA ⊥PB ，PC=50米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan ∠PCA=50tan35°(米)．
故选：A ．
【点睛】
考查考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
5．（2021·全国九年级）如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB 的高度，先从与塔底中心B 在同一水平面上的点D 出发，沿着坡度为1:0.75的斜坡DE 行走10米至坡顶E 处，再从E 处沿水平方向继续前行若干米后至点F 处，在F 点测得塔顶A 的仰角为63°，塔底C 的俯角为45°，B 与C 的水平距离为4米（图中A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，E 、F 和D 、C 、B 分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”
AB 的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin 630.89°»，cos 630.45°»，tan 63 1.96°»）（ ）
A ．17.8米
B ．23.7米
C ．31.5米
D ．37.4米
【答案】C
【分析】过点E 作EP ⊥DC 于P ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥EG 于H ，根据坡度的定义设PE=4x ，则PD=3x ，利用勾股定理列出方程即可求出x 的值，从而求出PE CH BG ===8米，然后求出FH=CH=8米，即可求出FG ，再利用锐角三角函数即可求出AG ，从而求出结论．
【详解】
解：过点E 作EP ⊥DC 于P ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥EG 于H
∴,4PE CH BG GH BC ====米，DE=10米
∵斜坡DE 的坡度为1:0.75∴140.753
PE PD ==
设PE=4x ，则PD=3x ，=5x=10
解得：x=2
∴PE=8米
∴PE CH BG ===8米
∵∠CFH=45°
∴△CFH 为等腰直角三角形
∴FH=CH=8米
∴FG=FH ＋GH=12米
∵∠AFG=63°，tan ∠AFG=AG
FG
∴AG=FG·tan ∠AFG 12 1.96»´=23.52米
∴AB=AG+BG=31.52≈31.5米
故选C ．
【点睛】
此题考查的是解直角三角函数的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键．
6．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知海面上一艘货轮A 在灯塔B 的北偏东30°方向，海监船C 在灯塔B 的正东方向5海里处，此时海监船C 发现货轮A 在它的正北方向，那么海监船C 与货轮A 的距离是（ ）
A ．10海里
B ．海里
C ．5海里
D 海里【答案】B
【分析】
根据题意先建立直角三角形，然后结合三角函数中正切的定义求解即可．
【详解】
根据题意建立如图所示Rt △ABC ，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，
∴560AC BC tan B tan ==´°=g ，
故选：B ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，准确根据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．7．（2020·重庆西南大学银翔实验中学九年级月考）在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD ，意寓拥抱梦想，展翅翱翔，如图，雕塑的上边缘点A 距地面平台高度为AB 的长，点B 距台阶底端C 的距离1BC =米，台阶底端C 与顶端D 的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，且40CD =米．若A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，且在点D 看石雕上边缘点A 的俯角为50°，则雕塑“翔”的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：
sin 500.77°»，cos500.64°»，tan 50 1.19°»）
A ．2.21
B ．2.20
C ．2.25
D ．2.31
【答案】C
【分析】过A 作AF D E ^于F ，则四边形ABEF 为矩形，得AB EF =，AF BE =，由坡度为1:0.75的斜坡，设4DE x =米，则3CE x =米，由勾股定理求得8x =，得出24CE =米，32DE =米，25BE AF ==米，由tan DF DAF AF
Ð=
，求出29.75DF »米，即可得出结果．【详解】
解：过A 作AF D E ^于F ，如图所示：
则四边形ABEF 为矩形，AB EF \=，AF BE =，
Q 台阶底端C 与顶端D 的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，
\设4DE x =米，则3CE x =米，
由勾股定理得：222CD DE CE =+，即22240(4)(3)x x =+，
解得：8x =，
则324CE x ==（米)，432DE x ==（米)，
12425BE BC CE \=+=+=（米)，
25AF \=米，
Q 在点D 看石雕上边缘点A 的俯角为50°，
50DAF \Ð=°，
在Rt DAF D 中，tan DF DAF AF
Ð=，tan 25 1.1929.75DF AF DAF \=×л´=（米)，
则3229.75 2.25AB FE DE DF ==-=-=（米)
故选：C ．
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题以及矩形的判定与性质、勾股定理等知识；掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2020·齐齐哈尔市第三中学校九年级期末）一船向东航行，上午8时到达B 处，观测到有一灯塔在它的南偏东60°且距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，此时观测到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）
A ．18海里/小时
B ．海里/小时
C ．36海里/小时
D ．海里/小时【答案】B
【分析】
根据方位角和三角函数求出BC 的长，再除以航行时间即可．
【详解】
∵此船从上午8时的B 处向东航行2小时后到C 处，
且从C 观测处到灯塔A 在它的正南方向，
∴∠BCA ＝90°，
∵A 处在B 处的南偏东60°且距离为72海里
∴∠ABC ＝30°，AB=72海里，
∴在Rt △ABC 中,
∵∠A=60°，∴BC AB
=sin60°，
∴607272sin BC °===´
速度为()108¸-=海里/小时，
故选B ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用--方向角问题，熟悉方向角的定义和解直角三角形是解题的关键．
二、填空题
9．（2021·山东东营市·九年级期末）平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A 为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.9m ，则铁板BC 边被掩埋部分CD 的长是_____m ．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38）．
【答案】0.8
【分析】
首先根据三角函数求得BC 的长，然后根据CD=BC-BD 即可求解．
【详解】
解：54,36A B Ð=°Ð=°Q ，
90A B \Ð+Ð=°，
90C \Ð=°，
在Rt ABC V 中，BC sinA AB
= ，则• 2.154 2.10.81 1.701BC AB sinA sin ==´°»´= ，
则 1.7010.9CD BC BD =-=- ，
0.8010.8=» （m ），
故答案为：0.8．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得BC 的长是解题关键．
10．（2021·湖南怀化市·九年级期末）某楼梯的侧面如所述，测得4m AC =，30ACB Ð=°，则该楼梯的高度AB =______．
【分析】由tan =
AB ACB AC
∠的tan 30AB AC =o ．【详解】解：在△ABC 中，
tan =AB
ACB AC
∠∵4m AC =，30ACB Ð=°，
∴tan 30=4AB AC =o ．
．【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．11．（2021·广西百色市·九年级期末）一艘邮轮从港口P 处出发，沿北偏东60°方向行驶200海里到A 港口，卸货后向正南方向行驶到B 港口，此时P 港口在邮轮的北偏西45°方向上，这时邮轮与港口P 相距______海里．（保留根号）
【答案】【分析】
根据题意可作PD AB ^于D 点，在Rt △APD 与Rt △BPD 中分别求解即可．
【详解】
如图所示，作PD AB ^于D 点，
根据题意可得30APD Ð=°，200AP =，
∴在Rt APD V 中，100AD =，PD =，
又∵45B Ð=°，
∴PBD △为等腰直角三角形，
∴PB === ，
故答案为：
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，合理根据题意建立直角三角形是解题关键．
12．（2020·吉林省第二实验学校九年级月考）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为41°，AB 的长为12米．则大厅两层之间的距离BC 长约为_______米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin 410.66°=，cos 410.75°=，tan 410.87°=）
【答案】7.9
【分析】
根据题意和锐角三角函数可以求得BC 的长，从而可以解答本题．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，
∵∠ACB ＝90°，
∴BC ＝AB•sin ∠BAC ＝12×0.66≈7.9（米），
答：大厅两层之间的距离BC 的长约为7.9米．
故答案为：7.9．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数
形结合的思想解答．
三、解答题
13．（2021·湖南邵阳市·九年级期末）在Rt △BCD 中，∠C =90°，∠DBC =60°，点E 在线段CD 上，点A 在CB 的延长线上，且AB =10米，CE =26.8米，∠A =34°，求DE 的长．（参考数据：sin 340.56°»，cos340.83°»，
tan 340.67°»
1.73»）
【答案】DE =25.1米
【分析】
在Rt △ACE 中，根据tanA ，求出AC 的长，再根据BC=AC-
AB ，求出BC ，在Rt △BCD 中，根据tan ∠DBC ，求出DE 的长即可．
【详解】
解：在Rt △ACE 中，
tan CE A AC =，即26.8tan 34AC
=°，∴26.8400.67AC »=（米）∴BC=AC-AB=30（米）．
在Rt △BCD 中，
∵tan60°=DC
BC
∴26.8tan 60 1.7330
DE +°==»，∴DE =25.1（米）
答：DE 的长是25.1米
【点睛】
本题考查了解直角三角形，熟悉利用锐角三角函数求出线段的长度是解题的关键．
14．（2021·广东揭阳市·九年级期末）B ，D 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100km ，某时发生的地震对地面上以点A 为圆心，30km 为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B ，D 两地处测得点A 的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（结果精确到0.1km ，参考数据：
1.732»»）
【答案】不受影响，理由见解析．
【分析】
过点A 作AC ⊥BD 于点C ，然后根据特殊角三角函数即可求出AC ，进而进行比较即可判断．
【详解】
解：如图，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，
∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，
根据题意可知：∠ABC ＝45°，∠ADC ＝30°，BD=100km ，
∴∠BAC ＝45°，
∴BC ＝AC ，
在Rt △ACD 中，tan ∠ADC AC CD =
，
∴tan 30AC CD ==°
，∵BD ＝BC ＋CD ，
∴AC ＝100，
解得AC ＝501）≈36.6＞30，
∴高速铁路不会受到地震的影响．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
15．（2021·四川成都市·九年级期末）近年来，成都IFS 商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C 处距离地面AD 的高度，他在甲楼底端A 处测得熊猫C 处的仰角为53°，在甲楼B 处测得熊猫C 处的仰角为45°，已知AB ＝4.5米，求熊猫C 处距离地面AD 的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】18.1米．
【分析】
过点B 作BE ⊥CD 于点E ，根据已知条件求出BE=AD ，设CE=x ，则CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x 的值，即可得出CD 的值．
【详解】
解：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，
∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，
∴四边形ABED 是矩形，
∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，
∴BE=AD=CE ，DE=AB=4.5米，
设CE=x ，则CD=CE+ED=x+4.5，
在Rt △CEB 中，tan 45tan 45CE x BE x ===°°
，在Rt △ADC 中，tan 53CD AD =×°，
即x+4.5=x·tan53°，
∴x≈13.64，
∴CE=13.64米，
∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1米，
答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．
【点睛】
本题考查直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．。