2020年湖南省永州市双牌县第二中学高三数学理月考试卷含解析

2020年湖南省永州市双牌县第二中学高三数学理月考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（）
A．2 B．18 C．2或18 D．4或16
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线上点P到的对称轴的距离6，设P的坐标为（x0，±6）．根据点P坐标适合抛物线方程及点P到焦点的距离为10，联列方程组，解之可得p与x0的值，从而得到本题的答案．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点到的对称轴的距离6，
∴设该点为P，则P的坐标为（x0，±6）
∵P到抛物线的焦点F（，0）的距离为10
∴由抛物线的定义，得x0+=10 (1)
∵点P是抛物线上的点，∴2px0=36 (2)
（1）（2）联解，得p=2，x0=2或p=18，x0=1
故选：C
【点评】本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的焦参数p，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
2. 已知集合，则
A． B． C．
D．
参考答案：
.
试题分析：由题意知，，所以
，故应选.
考点：1、集合间的基本关系；
3.
设函数，其中是的反函数，则对任意实数，是的（）
A. 充分必要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
答案:A
4. 已知i是虚数单位，复数z满足，则（）
A. B. 2 C. 1 D.
参考答案：
A
【分析】
运用复数的除法运算法则，求出复数的表达式，最后利用复数求模公式，求出复数的模. 【详解】，
所以，故本题选A.
【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.
5. 下列不等式一定成立的是（）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
参考答案：
C
6. 过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A 到抛物线C的焦点的距离为（）
A．B．C．D．2
参考答案：
A
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且
|PA|=|AB|，求出A的横坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离．
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E．
∵|PA|=|AB|，
∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2，
∴x1=，
∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标．
7. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
8. 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：
①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；
③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件；
⑤是的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号
是
（）
A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤
参考答案：
B
略
9. 《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
10. 若（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）
A． B．-
1 C．0 D．1
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{a n}满足，数列是公比为2的等比数列，
则.
参考答案：
12. 已知圆锥侧面积为cm2，高为cm，则该圆锥底面周长
为 cm.
参考答案：
13. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为．
参考答案：
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【分析】设B1B=a，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°推知BC=a，
DC=推知表示出长方体从一个顶点出发的三条棱的长度推知面对角线的长度，再用余弦定理求解．
【解答】解：设B1B=a，
∵B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°
∴BC=a，DC=
∴
由余弦定理得：cos
故答案为：
【点评】本题主要考查异面直线所角的基本求法，若所成的角在直角三角形中，则用三角函数的定义，若在一般三角形中则用余弦定理．
14. 设数列满足，，则．
参考答案：
81
15. 已知函数则= _______.
参考答案：
因函数所有
16. 阅读如下图所示的流程图,运行相应的程序,输出的值等于______
参考答案：
4
17. 已知ｘ，ｙ满足，则2ｘ＋ｙ的最大值为_______.
参考答案：
10
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 选修4-1几何证明选讲
已知外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
参考答案：
(Ⅰ)证明：、、、四点共圆
．………………2分
且,
…………4分
．………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,
所以与相似,
，…………7分
又, ，
根据割线定理得，……………9分
．……………10分
19. 已知数列满足.
(I)求数列的通项公式；
(II)设，求数列的前项和为.
参考答案：
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)
略
20. 在如图所示的几何体中，PB∥EC，PB =2CE=2，PB⊥平面ABCD，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：AC∥平面PDE；
（2）求CD与平面PDE所成角的正弦值．
参考答案：
（1）证明：连接交于，取中点，连接，，
因为，，又，
所以，，从而，平面，平面，所以平面．
（2）解：连接，可计算得，，，，，设点到平面的距离为，
则由，，
得，所以由，
知，所以，
所以与平面所成角的正弦值为．
21. 如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；
（2）若EF2=FA?FB，证明：EF∥CD．
参考答案：
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．
【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】（1）推导出△EDC∽△EBA，由此能求出的值．
（2）推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD．
【解答】解：（1）∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，
∴△EDC∽△EBA，∴，
==，
∴=．
证明：（2）∵EF2=FA?FB，∴，
∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，
∴∠FEA=∠EBF，
∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．
【点评】本题考查两线段比值的求法，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用．
22. 如图，在平面直角坐标系xoy中，以O为顶点，x轴正
半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相
交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为。

(1)求的值；
(2)求的值。

参考答案：
略。