有理数的大小比较导学案人教版七年级数学上册

1.2.4绝对值 第二课时 有理数的大小比较
一、教学目标
（一）学习目标
1．理解并掌握有理数大小的比较的方法；
2．会比较有理数的大小，并能正确地使用“＞”或“＜”号连接； 3．通过对有理数大小比较方法的推理，培养学生的数学推理能力.
（二）学习重点
运用绝对值的知识比较两个负数的大小；
（三）学习难点
有理数大小比较的推理．
二、教学设计
（一）课前设计 1.预习任务
（1）在数轴上，右边的数总比左边的数大； （2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小. 2.预习自测
（1）有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，a -，－1的大小关系是 （ ）
A .1-<<-a a
B ．a a <-<-1
C ．a a -<-<1
D ．1-<-<a a
（2）下列四个数中，最大的数是（ ） A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2
1
- （3）在5，
2
3
，－1，+0.001这四个数中，小于0的数是 （ ） A ．5 B ．2
3
C ．－1
D ．+0.001
（4）下列四组有理数的大小比较正确的是（ ）
a
A .3
12
1->- B ．11+->-- C ．3
12
1< D ．3
121->-
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）绝对值的定义是什么？ （2）绝对值的法则是什么？ （3）数轴的三要素是什么？
2.问题探究
探究一 有理数大小的比较法则 活动
某一天我国5个城市的最低气温如图所示：
（1）比较这5个城市，哪个城市的最低气温最低？是多少？哪个城市的最低气温最高？是多少？
（2）你能将这5个城市的最低气温按从低到高的顺序排列吗？ （3）请你将这5个数字分别在数轴上表示出来？ 总结：
（1）数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数总小于右边的数.
（2）两个负数比较，绝对值大的反而小.
探究二 会比较有理数的大小，并能正确地使用“＞”或“＜”号连接★ 活动①： 会比较有理数的大小，并能正确地使用“＞”或“＜”号连接
例1 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，12，－11
2，4，0 练习：把如图的直线补充成一条数轴，并表示下列各数： 0，－（＋4），3
1
2
，－（－2），|－3|，＋（－5），并用“＜”号连接．
在数轴上表示：
探究三 会对有理数大小比较进行推理★▲． 活动①
例2 比较下列各对数的大小： （1）(1)--和)2(+-；（2）218-
和7
3
-；（3）)3.0(--和31-.
练习：比较下列各对数的大小：
(1)3和－5；(2)－3和－5；(3)－2.5和－|－2.25|；(4)－35和－3
4.
3.课堂总结 知识梳理
（1）在数轴上，右边的数总比左边的数大； （2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小. 重难点归纳
（1）会对两个负数进行比较，会书写两个负数比较的推理过程； （2）数形结合的思想.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.2014年1月1日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是4-℃、5℃、6℃、8-℃，当时这四个城市中，气温最低的是（ ）
A.北京 B .上海 C .重庆 D .宁夏 【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解：因为6548<<-<-，所以气温最低的是宁夏. 【思路点拨】根据有理数大小比较的法则即可求解。

【答案】D
2.已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，比较大小．
（1）||a ||b （2）||a ||c （3）a - b - （4）||a - ||b （5）b
c - （6）a - ||c
【知识点】有理数的大小比较. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解：由题意可得：
（1）||a > ||b （2）||a > ||c （3）
a - >
b - （4）||a - < ||b
（5）b <
c - （6）a - > ||c
【思路点拨】先分别求出绝对值和相反数的大小，根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解. 【答案】
（1）||a > ||b （2）||a > ||c （3）
a - >
b - （4）||a - < ||b
（5）b <
c - （6）a - > ||c
3.比较大小：
（1）)3(-- |－2| （2）54- 3
2
- （3）53- |21|- （4）|56|- |34|-
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解:（1）因为22,3)3(=-=--，所以2)3(->--； （2）因为1510
3232,15125454==-==-
，且15101512>，所以3
254-<-； （3）因为负数小于正数，所以21
53-<-
c
b
a
（4）因为15203434,15185656==-==-
，所以3
456-<- 【思路点拨】根据有理数大小比较的方法即可求解.
【答案】（1）2)3(->-- ；（2）3254-<-；（3）2153-<-；（4）34
56-<-.
4.若x 的绝对值小于2，且x x >||，则满足条件的整数x = ． 【知识点】有理数的大小比较.
【解题过程】解：若x 的绝对值小于2，且x x >||，则满足条件的整数x =－1. 【思路点拨】若x 的绝对值小于2，则可为0,1±，又x x >，所以x 为负数，即可求解. 【答案】－1.
5.当x = 时，式子43-+x 的最小值是 . 【知识点】有理数的大小比较.
【解题过程】解：当x =4时，式子43-+x 的最小值是3 . 【思路点拨】根据绝对值是一个非负数即可求解. 【答案】4；3.
6.在数轴上表示出下列各数：2.5，－(－1)，+(－4)，－(+3)，0并用“＜”号将它们连接起来．
【知识点】有理数的大小比较. 【数学思想】数形结合.
【解题过程】解：由题意得：3)3(,4)4(,1)1(-=+--=-+=--，如图
即5.2)1(0)3()4(<--<<+-<-+
【思路点拨】先化简,将各数在数轴上表示出来,再比较大小即可求解.
【答案】
5.2)1(0)3()4(<--<<+-<-+
能力型 师生共研 1.比较x -
与||x 的大小．
【知识点】有理数的大小比较． 【数学思想】分类讨论.
【解题过程】解：当0>x 时,x x <-；当0≤x 时,x x =-. 【思路点拨】由于x 的取值范围不清楚,故需要分类讨论. 【答案】当0>x 时，x x <-;当0≤x 时，x x =-.
2.用字母a ，b 表示任一有理数，若已知a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，借助于数轴，试把a ，－a ，b ，－b 四个数用“＜”号连接起来． 【知识点】有理数的大小比较. 【数学思想】数形结合. 【解题过程】解：如图所示：
所以b ＜－a ＜a ＜－b ．
【思路点拨】根据|a |＜|b |，可得b 距离原点比a 远，画出数轴后，利用数形结合即可得出答案．
【答案】b ＜－a ＜a ＜－b ．
探究型 多维突破
1.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b －c 0， a ＋b 0，c －a 0． （2）化简：|b －c |＋|a ＋b |－|c －a |．
【知识点】有理数的大小比较，绝对值化简.
【数学思想】数形结合.
【解题过程】解：（1）由图可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0且|b |＜|a |＜|c |， 所以，b －c ＜0，a ＋b ＜0，c －a ＞0； （2）|b －c |＋|a ＋b |－|c －a | =（c －b ）＋（－a －b ）－（c －a ） =c －b －a －b －c ＋a =－2b ．
【思路点拨】（1）根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【答案】（1）＜，＜，＞；（2）－2b .
2.先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：结合具体的数，通过特例探究当0>a 时，a 与a
1
的大小． 解：当1>a 时，取2=a ，则2＞
2
1； 取2
3=a ，则3
2
2
3>……所以a
a 1>；
当1=a 时，a
a 1=；
当0＜a ＜1时，取2
1=a ，则2
1
＜2；
取3
2=a ，则32＜23
……所以a
a 1<．
综上：当1>a 时，a
a 1>；当1=a 时，a
a 1=；当0＜a ＜1时，a
a 1
<．
问题：结合具体的数，通过特例探究当0<a 时，a 与a
1
的大小． 【知识点】有理数的大小比较 【解题过程】
解：当1-<a 时，取2-=a ，则212-<-；取3-=a ，则3
13-<-……所以a
a 1<
； 当1-=a 时，a a 1=； 当01<<-a 时，取21-=a ，则221->-，取32-=a ，则2
3
32->-……
所以a
a 1
>
【思路点拨】结合所给例题，进行分类讨论即可. 【答案】当1-<a 时a a 1<
；当1-=a 时，a a 1=；当01<<-a 时，a
a 1>
自助餐
1.下列说法错误的是（ ）
A ．最小的正整数是1
B ．最大的负整数是－1
C ．绝对值最小的有理数是0
D ．最小的有理数是0 【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解:最小的正整数为1，最大的负整数为－1，绝对值最小的有理数为0，没有最小的有理数，故应选D
【思路点拨】根据最小的正整数为1，最大的负整数为－1，绝对值最小的有理数为0，没有最小的有理数即可判断。

【答案】D 2.给出下列判断： ①若|m |＞0，则m ＞0； ②若m ＞n ，则|m |＞|n |； ③若|m |＞|n |，则m ＞n ； ④任意数m ，则|m |是正数；
⑤在数轴上，离原点越远，该点对应的数的绝对值越大. 其中正确的结论的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解：①若|m |＞0，则m ＜0或m ＞0，此说法错误的； ②1＞﹣2，|1|＜|﹣2|，此说法是错误的； ③|﹣2|＞|1|，﹣2＜1，此说法是错误的； ④任意数m ，则|m |是非负数，此说法是错误的；
⑤在数轴上，离原点越远，该点对应的数的绝对值越大是正确的．
【思路点拨】分别利用绝对值的定义以及有理数的定义以及数轴的性质分析得出即可． 【答案】B
3.实数a 、b 在数轴上对应位置如图所示，则a b .（填“＞”“＜”或“=”号）
【知识点】有理数的大小比较.
b
a
【数学思想】数形结合.
【解题过程】解:由题意可得b a <.
【思路点拨】根据数轴上的两个数右边的数总比左边的数大即可判断. 【答案】b a <.
4.比较下列各组数的大小．
（1）－2 －3 ；（2）|3
1|- |;21
|-
-
（3）－(－4) |－4|. 【知识点】有理数的大小比较.
【解题过程】解:（1）因为33,22=-=-且32<，所以32->-； （2）因为,2121,3131-=---=-
且2
131->-，所以2131-->-； （3）因为44,4)4(=-=--，所以4)4(-=--. 【思路点拨】根据有理数的大小比较的法则即可判断。

【答案】（1）32->-；（2）2
1
31-->-
；（3）4)4(-=-- 5.已知052=-+-y x ,求x y -的值. 【知识点】绝对值.
【解题过程】解:因为 052=-+-y x ；所以05,02=-=-y x ，即5,2==y x 则325=-=-x y .
【思路点拨】根据非负数的和为零时，分别为零即可求解. 【答案】3. 6.探索研究：
（1）比较下列各式的大小 （用“＜”或“＞”或“=”连接）
① 32+-32+；
② 3121-+-
3
1
21-；
③ 36-+3-．
④ 80-+8-．
（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当a 、b 为有理数时，b a +与b a +的大小关系．（直接写出结论即可）
（3）根据（2）中得出的结论，当|x |+2015=|x ﹣2015|时，则x 的取值范围是 ． 如|a 1+a 2|+|a 3+a 4|=15，|a 1+a 2+a 3+a 4|=5，则a 1+a 2= ． 【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解：（1）①∵32+-=5，32+-=1， ∴32+-＞32+-； ②∵3121-+-
=56，31
21--=56
， ∴3121-+-
=3
121--； ③∵36-+=9，36-=3， ∴36-+＞36-； ④∵80-+=8，80-=8， ∴80-+=80-；
（2）当a ，b 异号时，b a +＞b a +， 当a ，b 同号时，b a +=b a +， ∴b a +≥b a +；
（3）由（2）中得出的结论可知，x 与﹣2015同号， 当|x |+2015=|x ﹣2015|时，则x 的取值范围是：x ≤0． 当|a 1+a 2|+|a 3+a 4|=15，|a 1+a 2+a 3+a 4|=5， 可得a 1+a 2和a 3+a 4异号， 则a 1+a 2=10或﹣10或5或﹣5． 故答案为：x ≤0；10或﹣10或5或﹣5．
【思路点拨】（1）分别先求出左右两边的值，进而比较大小；
（2）根据绝对值的性质结合“当a ，b 异号时，当a ，b 同号时”分析得出答案； （3）利用（2）中结论进而分析得出答案．
【答案】（1）>；=；>；=；（2）|a|+|b|≥|a+b|；（3）x≤0；10或﹣10或5或﹣5．
11。