最新-2021版高考数学全国、理科一轮复习课件：第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 精品

[答案] 1.2
[解析] 根据圆心角弧 度数的计算公式得，α ＝114240＝1.2.
课前双基巩固
3．[教材改编] 若角 α 的终边经过点 P(－1，2)， 则 sin α－cos α＋tan α＝________．
[答案] 3
5－10 5
[解析] r＝ （－1）2＋22＝ 5，
所以
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
－
1 ＝－ 5
55，tan
α＝－21＝－2，
所以 sin α－cos α＋tan α＝
3 5－10 5.
课前双基巩固
题组二 常错题
索引：对角的范围把握不准；由值求角时没有注意角的范围；求三
角函数值没有考虑角的终边所处的象限；求弧长或者扇形面积把角
化为弧度数出错．
4．已知点 P(sin α－cos α，tan α)在第二象
课堂考点探究
[答案] D [解析] 因为 r＝ x2＋5，cos α＝ 42x， 所以 x2x＋5＝ 42x.因为 α 是第二象限的
角，所以 x<0，所以 x21＋5＝ 42，所以
x＝－
3，所以
tan
α＝
x5＝－
5＝ 3
－ 315.
[总结反思] 定义法求三角函数值的两种情况：
(1)已知角的终边上一点 P 的坐标，则可先求 出点 P 到原点的距离，然后用三角函数定义
(m≠0)且 sin θ＝ 24m，则 cos θ＝________． 由三角函数定义，得 sinθ＝ 5＋m m2，又 sin θ
(2)已知角 α 的终边上有一点 P(t，t2＋1)(t>0)， 则 tan α 的最小值为________．
＝
24m，所以
5＋m m2＝
24m.因为 m≠0，所
以得 m2＝3，所以 cos θ＝ －5＋53＝－
|cos cos
α α|＝－ssiinn
α α－ccooss
α α＝－1－1＝－2.
课前双基巩固
6．若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为________cm2.
[答案] 80π
[解析] 72°＝2π5 rad，
∴S 扇形＝12αR2＝12×2π5 ×202＝
80π(cm2)．
系也成立．
课前双基巩固
8．若 tan α＞0，则 sin α，cos α，sin 2α，cos 2α 中一定为正值的是________．
[答案] sin 2α
[解析] sin 2α＝s2ins2inαα＋ccoossα2α＝
1＋2tatnanα2α>0，只有 sin 2α一定为
正值．
课堂考点探究 探究点一 角的集合表示及角所在象限的判断
课前双基巩固
题组三 常考题
7．[2014·新课标全国卷Ⅰ改编] 如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射 线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂 足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)， 则 y＝f(x)在[0，π]上的解析式为______________．
限，则在[0，2π]内 α 的取值范围是
________．
[解析] 由题意得
sin α－cos α<0，
tan α>0
⇒α 的取值范围
[答案]
0，π4 ∪5π4 ，3π2
为0，π4 ∪5π4 ，3π2 .
课前双基巩固
5．已知角 α 的终边落在直线 y＝－3x 上， 则|ssiinn αα|－|ccooss αα|＝________．
[答案] f(x)＝12sin 2x，x∈[0，π]
[解析] 根据三角函数的定义，点 M(cos x，0)，△OPM 的面积为
1 2|sin
xcos
x|，在直角三角形
OPM
中，根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离，即 f(x)＝|sin xcos x|
＝12|sin
2x|，且当
π x＝ 2 时上述关
[解析] ∵角 α 的终边落在直线 y＝－3x 上，
在角 α 的终边上取一点 P(x0，－3x0)，
当
x0<0
时，P
在第二象限，∴|sin sin
α α|－
[答案] ±2
|cos cos
α α|＝ssiinn
α α－－cocos sαα＝1＋1＝2.
当
x0>0
时，P
在第四象限，∴|sin sin
α α|－
RJA
第16讲 PART 16
任意角和弧度
制及任意角的
三角函数
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.任意角、弧度制 （1）了解任意角的概念和弧度制的概念． （2）能进行弧度与角度的互化． 2．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
教学参考
考情分析
考点
考查方向
考例
(2)函数 y＝ sin x－ 23的定义域为 ______________．
[思路点拨] (1)根据角 x 所在的 象限判断 sin x，cos x，tan x 的 符号，去掉绝对值后计算即可； (2)利用单位圆中的三角函数线 确定 sin x≥ 23的解集．
课堂考点探究
[答案] (1)C (2)2kπ＋π3 ，2kπ＋2π3 ，k∈Z
求解． (2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设 出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距 离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若 直线的倾斜角为特殊角，则可直接写出角的 三角函数值． 注：若角 α 的终边落在某条直线上，一般要 分类讨论．
课堂考点探究
变式题 (1)若角 θ 的终边经过点 P(－ 5，m) [解析] (1)点 P(－ 5，m)是角 θ 终边上一点，
＝_{_β_|β__＝__α_＋__k_·_3_6_0_°__，__k_∈__Z__}__
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于__半__径__长__的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角. 弧度记作 rad.
课前双基巩固
(2)公式：
角 α 的弧度的绝对值 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式
[解析] (1)当 x 是第一象限角时，sin x>0，cos x>0， tan x>0，原式＝ssiinn xx＋ccooss xx＋ttaann xx＝3； 当 x 是第二象限角时，sin x>0，cos x<0，tan x<0， 原式＝ssiinn xx＋－cocos sxx＋－tatnanxx＝－1； 当 x 是第三象限角时，sin x<0，cos x<0，tan x>0， 原式＝－sisninxx＋－cocos sxx＋ttaann xx＝－1； 当 x 是第四象限角时，sin x<0，cos x>0，tan x<0， 原式＝－sisninxx＋ccooss xx＋－tatnanxx＝－1.
例 1 (1)设集合 M=xx＝2k·180°＋45°，k∈Z，N=xx＝4k·180°＋45°，k∈Z，
那么( )
A．M＝N
B．M⊆N
C．N⊆M
D．M∩N＝∅
(2)集合αkπ＋π4 ≤α≤kπ＋π2 ，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是(
)
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
[解析] (1)由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k
A．－45 B．－35 C．35
D．45
[解析] B 方法一：在角 θ 终边 上任取一点 P(a，2a)(a≠0)，则 r2＝OP2＝a2＋(2a)2＝5a2，
∴cos2θ＝5aa22＝15，∴cos 2θ＝ 2cos2θ－1＝25－1＝－35. 方法二：tan θ＝2，cos 2θ＝ ccooss22θθ－＋ssiinn22θθ＝11－＋ttaann22θθ＝
|α|＝rl(弧长用 l 表示) ①1°＝1π80 rad，②1 rad＝(1π80)°
弧长 l＝__|α_|_r____
S＝12lr＝12|α|r2
课前双基巩固
3.任意角的三角函数
(1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝_____y___，
cos α＝____x____，tan α＝yx(x≠0)．
课堂考点探究
探究点二 三角函数的定义
例 2 [2016·广州模拟] 已知 α 是第二象限的角，其终
边上的一点为 P(x， 5)，且 cos α＝ 42x，则 tan α＝
()
A．
15 5
B．
15 3
C．－
15 5
D．－
15 3
[思路点拨] 根据余弦的定义 求得 x 的值，再根据正切的 定义求得 tan α.
任意角的三 任意角、任意角的三角函数定义 2011课标全国卷5、
角函数
的应用
2014新课标全国卷Ⅰ6
弧度制、三 弧度制与角度制的互化、三角函
角函数线
数线的应用
扇形的弧
长、面积公 使用公式进行相关的计算
式
考查热度 ★★☆ ★☆2016－2011]课标全国卷真题再现
[解析] C 根据三角函数的
10 4.
[答案] (1)－
10 4
(2)2
(2)根据已知条件得 tan α＝t2＋t 1＝t＋1t ≥2，
当且仅当 t＝1 时，tan α 取得最小值 2.
课堂考点探究 探究点三 三角函数线﹑三角函数值的符号
例 3 (1)函数 y＝|ssiinn xx|＋|ccooss xx|＋|ttaann xx|的值域是( ) A．{1，－1} B．{－1，1，3} C．{－1，3} D．{1，3}
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线)：如图中的有向线段 OM，MP，AT 分别称为角 α
的__余__弦____、__正__弦__线__和__正__切___线_． 线
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常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角
(2)轴线角
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对点演练 题组一 常识题
1．[教材改编] 终边在直线 y＝x 上的角的集合是 ________．
[答案] (1)D (2)一
[解析] (1)根据终边相同的角的表示方法，有
17θ＝2kπ＋θ(k∈Z)，得 θ＝k8π(k∈Z)，由于
θ∈π6，π3，故π6<k8π<π3(k∈Z)，由此得43<k<83
(k∈Z)，故 k＝2，所以 θ＝π4，所以 tan θ＝1. (2)由 α 是第二象限的角可得 90°＋k·360°＜ α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则 180°－(180° ＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋ k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜ 90°－k·360°(k∈Z)，所以 180°－α 是第一 象限的角．
则 y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为( )
系得点 M 到直线 OP 的距离
f(x)＝|sin xcos x|＝12|sin2x|，且
A
B
π 当 x＝ 2 时上述关系也成立，
故函数 f(x)的图像为选项 C 中
的图像．
C
D
真题再现
2．[2011·课标全国卷] 已知角 θ 的顶点与原点重 合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝( )
－35.
课前双基巩固
知识聚焦
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着___端__点___从一个位置旋转到另一个位
置所形成的图形.
(2)分类：按旋转方向分为__正___角___、__负__角____和零角；按终边位置分为_象___限__角__
和轴线角．
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S
[答案] {α|α＝k·180°＋45°， k∈Z}
[解析] 终边在直线 y＝x 上，且在[0°，360°)内 的角为 45°，225°，分 别写出与其终边相同的 角的集合，整合即得．
课前双基巩固
2．[教材改编] 半径为 120 mm 的圆上长为 144 mm 的弧 所对圆心角 α 的弧度数是________．
1．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图，圆 O 的半径为 1，A 定义，点 M(cos x，0)，△OPM
是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足
的面积为12|sin xcos x|，在直角
为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)， 三角形 OPM 中，根据等积关
α≤2nπ＋π＋π2 ，此时 α 表示的范围与π＋π4 ≤α≤π＋π2 表示的
范围一样．
[总结反思] 把角表 示成 2kπ＋α(k∈Z， 0≤α<2π)的形式，即 可判断其所在的象 限．
课堂考点探究
变式题 (1)设 θ∈π6 ，π3 ，且 17θ 的终边与
θ 的终边相同，则 tanθ等于 ( )
A. 2－1 B. 2 C. 2＋1 D．1 (2)已知 α 是第二象限的角，则 180°－α 是第 ________象限的角．
＋1)，k∈Z，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋
45°＝45°·(k＋1)，k∈Z，k＋1 是整数．因此必有 M⊆N.
(2)当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4 ≤α≤2nπ＋π2 ，此时 α 表示的范围
与π4 ≤α≤π2 表示的范围一样；当
π k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋ 4 ≤