高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编及解析

数学《空间向量与立体几何》试卷含答案
一、选择题
1．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12
．则下列结论中正确的个数为
①AC ⊥BE ；
②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；
④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】
试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
2．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23332厘米，现将13鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）
A ．2颗
B ．3颗
C ．4颗
D ．5颗
【答案】C
【解析】
【分析】 利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可.
【详解】
如图，9,3,33AB cm EF GH cm LO cm ====
所以60A ∠=︒，原水位线直径6CD cm =，投入石子后，水位线直径5IJ cm = 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：
()22319133MN CN IM CN IM ππ⋅⋅++⋅= 空瓶的体积为：()222
1
3LN CN EL CN EL EL KL ππ⋅++⋅+⋅⋅ 633363993888
πππ=+= ()99329783,49191324
π
π
=∈ 所以至少需要4颗石子
故选：C
【点睛】
本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.
3．若四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为（ ）
A ．2
B ．25+
C ．425+
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 根据四面体的三视图可知：一侧面垂直于底面，且底面是以该侧面与底面的交线为直角边的直角三角形，然后根据面面垂直的性质定理，得到与底面的另一直角边为交线的侧面为直角三角形求解.
【详解】
由四面体的三视图可知：平面PAB ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，
所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，
所以,ABC PBC V V 是直角三角形，
如图所示：
所以直角三角形的面积和
为:11112252252222
ABC PBC S S AB BC PB BC +=
⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=+V V 故选：B
【点睛】
本题主要考查三视图的应用以及线面垂直，面面垂直的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】
如图：
作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M =，16C M =，1'41C N =2
1122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒ 故选D
【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
5．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
【答案】D
【解析】
【分析】
A 由线面平行的性质定理判断.
B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.
C 根据线面垂直的定义判断.
D 根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】
A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个
平面；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
6．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C
【解析】
【分析】 根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2112141222
S ππ=⨯+
⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C. 【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
7．已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，且该圆锥内接于球O ，则球O 与圆锥的表面积之比等于（ ）
A ．4：3
B ．3：4
C ．16：9
D ．9：16
【答案】C
【解析】
【分析】
由圆锥的母线与底面所成的角等于60°，可知过高的截面为等边三角形，设底面直径，可以求出其表面积，根据圆锥内接于球O ，在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积，可求比值．
【详解】
设圆锥底面直径为2r ，圆锥的母线与底面所成的角等于60°，
则母线长为2r ，高为3r ， 则圆锥的底面积为：2r π，侧面积为
1222r r π⋅， 则圆锥的表面积为2212232
r r r r πππ+⋅=， 该圆锥内接于球O ，则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为2r 的等边三角形的内切圆，则半径为32R r =，表面积为2
21643r R ππ=，
则球O 与圆锥的表面积之比等于2
216:316:93r r ππ=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题．
8．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（
）
A ．34
B ．7
8 C ．1516 D ．23
24
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，
该几何体的体积为1111711132228
⎛⎫-⨯
⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D - 中，,E F 分别为111,B C C D 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠ 的最大值是( )
A ．2
B ．2
C ．22
D ．32
【答案】C
【解析】 分析：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =
P
PM ，从而A 1P=C 1M ，由此能求出tan ∠APA 1的最大值．
详解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，
设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，
∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点，
点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ，
∴AO =P
PM ，∴A 1P=C 1M=24AC =， ∴tan ∠APA 1
=11AA A P =2=22．
∴tan ∠APA 1的最大值是22．
故选D ．
点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．
10．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，
23AC AB =，若四面体P ABC -的体积为
32，求球的表面积( ) A ．8π
B ．12π
C ．83π
D ．123π 【答案】B
【解析】
【分析】 依据题意作出图形，设四面体P ABC -的外接球的半径为R ，由题可得：AB 为球的直径，即可求得：2AB R =，3AC R =
， BC R =，利用四面体P ABC -的体积为32列方程即可求得3R =
，再利用球的面积公式计算得解。

【详解】
依据题意作出图形如下：
设四面体P ABC -的外接球的半径为R ，
因为球心O 在AB 上，所以AB 为球的直径，
所以2AB R =，且AC BC ⊥
由2AC =
可得：AC =， BC R =
所以四面体P ABC -
的体积为11133322ABC V S PO R R ∆=
⋅=⨯⨯⨯=
解得：R =所以球的表面积2412S R ππ==
故选：B
【点睛】
本题主要考查了锥体体积公式及方程思想，还考查了球的表面积公式及计算能力，考查了空间思维能力，属于中档题。

11．已知三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，APB BPC CPA ∠>>∠，PO ⊥平面ABC 于O ，设二面角P AB O --，P BC O --，P CA O --分别为,,αβγ，则（ ） A ．αβγ>>
B ．γβα>>
C ．βαγ>>
D ．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】 D 为AB 中点，连接,DP DO ，故PD AB ⊥，计算sin cos 2
PO
APB a α=∠，sin cos 2PO CPB a β=∠，sin cos 2
PO CPA a γ=∠，得到大小关系. 【详解】
如图所示：设PA PB PC a ===，D 为AB 中点，连接,DP DO ，故PD AB ⊥， PO ⊥平面ABC ，故PDO ∠为二面角P AB O --的平面角.
cos 2APB PD a ∠=，sin cos 2
PO PO APB PD a α==∠， 同理可得： sin cos 2PO CPB a β=
∠，sin cos 2
PO CPA a γ=∠， APB BPC CPA ∠>∠>∠，故sin sin sin αβγ>>，故αβγ>>. 故选：A .
【点睛】
本题考查了二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．
A ．22
B 25
C 26
D 26 【答案】B
【解析】
【分析】
连接EF ，可证平行四边形EFGH 为截面，由题意可找到1A M 与平面1111D C B A 所成的角，进而得到sinα的最大值.
【详解】
连接EF ，因为EF//面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH//BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH//EF,连接EH ，FG,则平行四
边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH-FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N ∠=α，因为sinα=1MN
A M
,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H =25, 故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.
13．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为
6的等腰直角三角形，若三棱锥D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解．
【详解】
解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，32AB AC ==
由1132322732DE ⨯⨯⨯⨯=，解得9DE =， 则21AE EF DE ==． ∴球O 的直径为10DE EF +=，
则球O 的半径为11052
⨯=． ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=．
故选C ．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A ．若，与所成的角相等，则
B ．若，，则
C ．若
，，则 D ．若
，，则 【答案】C
【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则
或，相交或，异面；A 错. 若，
，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则 ，相交或，异面，D 错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
15．四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，下列说法错误的是（ ）
A ．MN 与PD 是异面直线
B ．//MN 平面PB
C C ．//MN AC
D ．MN PB ⊥
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A 、B 、C 的正误，由线线垂直可判断选项D ．
【详解】
由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等， M 、N 分别为PA 、CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，A 选项正确；
取PB 的中点为H ，连接MH 、HC ，
四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴且AB CD =，
M Q 、H 分别为PA 、PB 的中点，则//MH AB 且12
MH AB =， N Q 为CD 的中点，//CN MH ∴且CN MH =，则四边形CHMN 为平行四边形， //MN CH ∴，且MN ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，B 选项正确；
若//MN AC ，由于//CH MN ，则//CH AC ，事实上AC CH C ⋂=，C 选项错误； PC BC =Q ，H 为PB 的中点，CH PB ∴⊥，//MN CH Q ，MN PB ∴⊥，D 选项正确.
故选：C ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及直线与平面的平行与垂直的位置关系的判断，是中档题.
16．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】 根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案.
【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂，
当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r
成立， 反之当a b ⊥r r 时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r 的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
17．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和3，此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为
A ．323π
B ．163π
C ．83π
D ．643
π 【答案】A
【解析】
【分析】 求得该直三棱柱的底面外接圆直径为2221(3)2r =+=，再根据球的性质，求得外接球的直径2R =，利用球的体积公式，即可求解.
【详解】 由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为2221(3)21r r =+=⇒=，
根据球的性质，可得外接球的直径为22222(2)2(23)4R r h =+=+=，解得2R =，
所以该三棱柱的外接球的体积为343233
V R ππ=
=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
18．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．
A ．34
B ．23
C ．13
D ．12
【答案】B
【解析】
【分析】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为
)312x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32339214
V x x x x x x x =+-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解.
【详解】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为
)12x -,
所以正六棱柱容器的容积为()()()()32921224V x x x x x x x =+⋅
⋅-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23
x =
时,()V x 取得最大值, 故选:B
【点睛】 本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.
19．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题
又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点
∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题；
故p 是q 的必要不充分条件
故选B
20．已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可．
【详解】
由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，
所以其表面积为．
故选B．
【点睛】
在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解．。