随机感染率下的新冠肺炎模型稳定性分析

随机感染率下的新冠肺炎模型稳定性分
析
摘要：
本文以新冠肺炎传染病模型为背景，考虑随机感染率下SIR模型的稳定性，
首先使用正交多项式逼近的方法将随机模型化为等价的确定性模型，然后利用线
性稳定性理论分析其无病平衡点的稳定性，最后得出无病平衡点渐进稳定的条件。

关键词：随机感染率，新冠肺炎模型，稳定性分析
1.引言
自人类发展以来，传染病一直影响着人们的生活。

传染病是一种由病原体引
发的疾病，可以在人和人、人和动物及动物和动物之间传播。

由于其随机性和流
行性，传染病给人类社会的发展造成了极大影响。

1347年至1353年，黑死病大
流行，在之后的300年间，多次爆发，深远影响了欧洲历史。

2003年，非典席卷
我国并扩散至东南亚乃至全球，导致我国大面积停课，对我国高考产生了严重的
冲击。

2019年12月，我国武汉出现第一例新冠肺炎患者，之后短时间内迅速传
播至我国其他地区及世界各国。

传染病的仓室模型最早由Kermack和McKendrick提出，并被后人不断完善。

瞿倩倩[1]等将复杂网络与传染病模型结合，分析了随机免疫和目标免疫两种免疫
策略，并得出在平均感染率相同的情况下，目标免疫更有效。

张必胜[2]分析了传
染病的研究现状，并得出总人口是否为常数的传染病模型。

刘乙阳等[3]基于SIR
模型，模拟了传染病的传染过程及传染趋势，并使用最小二乘法进行数据拟合，
预测了传染病的传播趋势。

赵彦军等[4]考虑了受环境影响、具有饱和发生率和心
理作用的随机SIR传染病模型，并验证无病平衡点是随机渐近稳定的。

马苓涓[5]
将隔离人群作为一个仓室建立了SIQR模型，研究了模型的解与相应的确定性模
型解的渐近行为的差异；陈易亮[6]将已接种疫苗人群作为一个独立仓室建立了
SIVS模型，建立了疾病的灭绝性和在均值意义下持久性的判别条件。

王晓静[7]依
据流感的传播规律，建立了具有疫苗接种和有限医疗资源的SVIR传染病模型，
计算了模型的基本再生数，并进行了数值模拟。

由于确定性模型存在较大误差，
部分学者将布朗运动加入确定性模型中，研究了随机传染病模型并分析了其模型
的稳定性[3-6]。

郭晓霞等[8]研究了混合随机SIR传染病模型，证明了模型全局正解的唯一存在性，并建立了系统灭绝和持久的几乎充分且必要条件。

刘娟等[9]研究
了具有饱和恢复率的随机SIR随机传染病模型，引入了参数的随机扰动，讨论了
随机模型的存在唯一性，最后得出白噪声足够大时染病者、治愈者将消失的结论。

史佩文等[10]建立了具有垂直感染和标准发生率的SIS随机模型，分析了白噪声对
传染病的影响，得出提高环境白噪声强度会抑制传染病的爆发的结论。

靳曼莉等[11]研究了具有饱和发生率的随机SIR模型，并用Markov半群理论说明系统唯一
稳定的平稳分布。

刘远航等考虑了具有标准发生率和存在与系统变量成正比的随
机扰动的随机SIR模型，得出了在特定条件下随机SIR模型的阈值。

以上文献大多考虑外部随机激励的影响，但是系统内部随机性也会影响传染
病模型。

因此本文以新冠肺炎传染病模型为例，考虑随机感染率下的SIR模型的
稳定性。

2.随机传染病模型
在此使用考虑自然出生死亡及外地迁入的随机传染病模型[13]：
(1)
其中、为外地迁入人口，为感染率，为恢复率，为出生率，为自然
死亡率。

为随机参数，可表示如下
(2)
其中、为确定性参数，可表示为强度。

为定义在上服从Gamma分布的随机变量，其密度函数为
多项式为定义在上的Laguerre多项式，此类多项式的表达式[14]为
(3)
可有
Laguerre多项式的递推式为：
.(4)
Laguerre多项式的加权正交性为：
(5)
由于为定义在上服从Gamma分布的随机变量，且加权函数为Gamma分布的密度函数，根据连续性变量期望的定义，(5)式左侧可表示为的期望。

由Hilbert空间的正交多项式逼近理论，(1)对应的响应在均方收敛的意义下可近似表示为
(6)
其中，表示第个正交多项式，是选取的多项式的最高次数。

将式(2)，(6)代入式(1)，可得
(7)
利用式(4)可以将式(7)中的乘积项约化为单个多项式的线性组合的形式，定义线性组合中的系数为，则非线性项可以转化为：
(8)
根据式(8)，方程中的随机项可以近似表示为
(9)
将式(8-9)代入式(7)中，得
(10)
将上式两侧同乘后对随机变量取期望，由式(5-6)可将式(1)近似地化为相应的确定性系统：
3. 零解稳定性分析
采用线性稳定性理论来分析非线性连续动力系统的零解稳定性。

对于系统(1)，当基本再生数时，有无病平衡点，作适当的坐标变换
(11)
得到有零解的方程
(12)
其中是随机参数，则式(12)可进一步展开，得到
(13)
处理(13)中的非线性项可得
(14)
选取定义在上的Gamma分布的随机变量，该分布对应的正交多项式为Laguerre多项式，则可将方程中的随机项化为：
(15)
则可进一步将(13)化为：
将上式两侧同乘后对随机变量取期望，可将式(12)近似地化为相应的确定性系统：
对于方程(16)，在平衡点的Jacobian矩阵为：
其中。

由于参数过多，带来分析上的困难，现将下列参数设为固定值：，，，，则平衡点的Jacobian矩阵化为：
使用MAPLE，可以求得特征方程为：
(17)
设,构造如下一组行列式:
......
(16)式中零点稳定的充分必要条件是所有行列式的值都是正的，即：
利用软件计算得出，即强度在上述范围内时，系统的无病平衡点是稳定的。

4.结论
随机感染率下的传染病模型简化为等价的确定性系统可以通过正交多项式逼近理论实现，这样就可以简化平衡点的求解，探究原随机模型的零解稳定性。

由此可以使用正交多项式逼近理论去分析随机模型的性质，探究更多不为人知的现象。

参考文献
[1] 瞿倩倩,韩华.基于个体异质传染率及状态转移的SIR模型分析[J].计算机科学,2019,46(12):327-333.
[2] 张必胜.关于SIR和SIRS传染病数学模型历史研究[J].贵州大学学报(自然科学版),2014,31(02):1-3+6.
[3] 刘乙阳,黄洋,尹澜瑜,杨双双,朱文龙.基于SIR模型的流行性传染病传播趋势预测研究[J].高师理科学刊,2021,41(07):37-41.
[4] 赵彦军,李辉来,李文轩.一类具有饱和发生率和心理作用的随机SIR传染病模型[J].吉林大学学报(理学版),2021,59(01):20-26.
[5] 马苓涓,张太雷,李志民.一类具有非单调传染率的随机SIQR传染病模型的动力学分析[J].南昌大学学报(理科版),2020,44(06):515-523.
[6] 陈易亮,滕志东.随机SIVS传染病模型的持久性和灭绝性[J].东北师大学报(自然科学版),2018,50(01):47-53.
[7] 王晓静,白玉珍,王丹,张蒙.一类具有疫苗接种和有限医疗资源的流感模型的动力学研究[J].数学的实践与认识,2020,50(03):235-240.
[8]郭晓霞,孙树林.混合随机SIR传染病模型的动力学分析[J].系统科学与数学:1-19.
[9]刘娟,陈功.一类具有饱和恢复率的随机传染病模型[J].山西大同大学学报(自然科学版),2021,37(06):15-18.
[10]史佩文,乔志琴.一类SIS随机传染病模型的动力学分析[J].重庆理工大学学报(自然科学),2021,35(11):278-285.
[11]靳曼莉,林玉国.随机SIR传染病模型的平稳分布及其稳定性[J].吉林大学学报(理学版),2017,55(06):1379-
1386.DOI:10.13413/ki.jdxblxb.2017.06.06.
[12]刘远航,李桂花.具有标准发生率的随机SIR传染病模型的建立及平稳分布与疾病灭绝研究[J].数学的实践与认识,2021,51(06):277-282.
[13] 李志民,张太雷,高建忠.一类具有常数输入的随机SIR流行病模型的定性分析[J].数学的实践与认识,2019,49(22):299-307.
[14] 张佳凡,吕星星.关于拉盖尔多项式的一些新的恒等式[J].山东大学学报(理学版),2020,55(04):85-91.
【基金项目】国家级大学生创新训练计划项目（G2021-11407-013）。