基于DSP永磁同步电机控制.

基于DSP的永磁同步电机控制
设计总说明 (3)
Abstract (4)
1. 绪论 (5)
1.1 交流调速概述 (5)
1.2 相关领域发展 (5)
1.2.1 功率器件发展 (5)
1.2.2 变频技术发展 (6)
1.2.3 电机制造技术和交流调速理论的发展 (6)
1.2.4 控制理论发展 (7)
1.2.5 微处理器发展 (7)
1.3 国内外研究动态和发展方向 .......... 错误!未定义书签。

1.4 本文研究的主要内容 (8)
2永磁同步电机结构及控制原理 (8)
2.1永磁同步电机控制理论的发展 (8)
2.2永磁交流伺服控制系统 (9)
2.3永磁同步电机的矢量控制原理 (9)
2.3.1永磁同步电机的内部结构和种类 (9)
2.3.2 永磁同步电机的控制策略 (9)
2.3.3永磁同步电机数学模型的建立 (10)
2.4 SVPWM基本原理 (17)
2.4.1 空间矢量的定义 (17)
2.4.2电压与磁链空间矢量的关系 (18)
2.4.3 六拍阶梯波逆变器与正六边形空间旋转磁场 (19)
第1 页共74 页
2.4.4 T1，T2，T0的计算 (22)
2.5电机的位置检测原理 (23)
2.6光耦隔离电路的原理 (26)
2.7逆变器原理 (28)
第三章硬件电路设计 (31)
3.1 系统硬件总体设计 (31)
3.2 主控芯片DSP2812的基本特征 (32)
3.3 DSP外设介绍 (33)
3.4主电路模块设计 (37)
3.4. 1 整流滤波电路的设计 (37)
3.4.2 逆变电路的设计 (38)
3.4.3 测速电路的设计 (39)
3.4.4通信接口电路设计 (40)
图3-2 SCI接口电路图 (40)
3.4.5最小系统电路 (41)
3.5 LED显示电路 (41)
光耦隔离电路 (42)
2. 第五章软件设计 (50)
5.1 DSP开发软件的安装与应用 (50)
总结与致谢 (60)
参考文献 (73)
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基于DSP的永磁同步电机控制
设计总说明
随着电力电子技术现代控制技术以及计算机微芯片技术的迅速发展,在交流调速技术中,变频调速以其优异的调速性能和高效节能效果等优点成为了国内外交流调速系统的发展方向,现阶段运用计算机电子技术的最新发展成果将成熟的电机控制理论应用并构建成完整的系统已经是该领域内研究的一个热点。

在交流伺服系统中，由于电机本身具有的非线性和强耦合特性，其控制方法相当复杂，因此用普通单片机很难取得良好的控制效果。

本文中采用TI公司的高速数字信号处理器TMS320F2812为控制核心，利用空间矢量脉宽调制控制算法，可以有效地解决电机的强耦合特性；适时地控制电机的转矩、速度和位置状态；并且不用过大体积的能量变换装置即可随意地控制瞬态电流的幅值；当采用正弦波电流驱动时，可以完全消除转矩的波动。

采用TMS320F2812定点数字信号处理器为主控芯片，完成电流环、速度环，位置环的算法实现及其控制。

由于TMS230F2812的高集成、高性能的特点，使得控制系统具有控制精度高、硬件简单、可靠性能高等优点。

系统主要由DSP、IPM（智能功率模块)、检测电动机速度信号和电流信号的传感器、光电隔离电路、电源电路等组成。

首先，传感器将检测到的定子相电流信号和转速信号送入DSP的ADC和QEP，DSP对检测的信号进行相应的运算处理后产生PWM脉冲信号，经光电隔离后，驱动IPM智能功率模块以产生期望的电压来控制电机运行。

此外，系统还具有键盘设定及显示功能。

本论文是基于电机矢量控制理论构建了系统的模型并以TI公司的电机控制专用DSP 芯片TMS320F2812 为核心设计开发了一套针对永磁同步电机的变频调速数字化控制系统。

详细介绍了DSP开发软件CCS3.3的安装与应用，DSP 2812芯片结构特点，电机的空间矢量控制理论以及PWM逆变技术。

给出了系统的硬件总体方案和主要模块的设计，包括主控制电路以及一些器件模块的选取，采用空间电压矢量SVPWM调制方式并给出了基于DSP 芯片的软件编程。

关键字：DSP2812；空间电压矢量控制；永磁同步电机
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Abstract
As the rapid development of modern control technology power electronic technology and computer microchip technology, the speed of regulating technique, frequency control of motor speed, with its excellent speed regulating performance and advantages of high efficiency and energy saving effect ,has become a development direction of ac speed regulating system both at home and abroad, using the latest developments of computer electronic technology at the present stage to apply mature motor control theory, and build into a complete system has been a hot spot of research in this area.
This paper is based on the theory of motor vector control system model ,the motor control special DSP chip TMS320F2812 of TI company as the core was designed,developed a set of digital frequency control of motor speed control system for permanent magnet synchronous motor.
CCS3.3 DSP development software ,the installation and application of DSP chip 2812 structure characteristics ,and the space vector control theory of motor and PWM inverter technology presents are introduced in detail in this paper. Gives the system scheme of hardware and the main module design, including the selection of main control circuit and some device module.Adopts the space voltage vector SVPWM modulation method and the software programming based on DSP chip is given
Key word s: DSP2812 ；voltage space vector control；permanent magnet synchronous moto
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1.绪论
1.1 交流调速概述
在电力系统中，电动机负荷约占总发电量的60%~70%。

电动机作为把电能转换为机械能的主要设备，不仅要具有较高的机电能量转换效率，而且应能根据生产机械的工艺要求，控制和调节旋转速度。

调速系统是伺服系统的重要组成部分，其性能对提高产品质量、提高劳动生产率和节省电能起着决定性的影响，因此，调速系统一直是传动领域的一个研究热点。

调速系统是由功率部分、执行部分和控制部分三大要素组成的一个有机整体，各部分之间的不同组合，构成多种多样的调速系统。

长期以来，直流电动机因其调速性能优越而掩盖了其结构复杂、难以维护等缺点，广泛应用于工程中。

但直流电动机的固有缺点，限制了其向高转速、高电压、大容量方向的发展。

近年来，随着大功率开关器件、模拟和数字专用集成电路的不断问世，控制理论的不断进步，以及高性能微处理器的出现，为交流调速技术的发展创造了极为有利的技术条件和物质基础，促使其迅速发展，并进入了实用化阶段。

现阶段，交流调速系统不但性能可以和直流调速系统相媲美，而且成本和维护比直流调速系统更低，可靠性更高。

国内外直流传动装置的生产呈下降趋势，而交流变频调速装置的生产大幅度上升。

目前已形成直流电动机、异步电动机、永磁同步电动机为执行机构的三大类调速系统。

20世纪80年代以来，随着价格低廉、性能优越永磁材料的出现，永磁同步电机的研究和应用得到了空前的发展。

永磁同步电机具有结构简单、体积小、重量轻、转动惯量小、调速范围宽、转矩脉动小、无需励磁电流、功率因数高、发热少等优点，因此广泛的应用于数控机床、工业机器人、医疗器械、化工、轻纺、计算机外设、仪器仪表、微型汽车和电动自行车等领域。

随着永磁电机控制技术的成熟和完善，永磁同步电机的应用领域也越来越广泛：从小型到大型、从一般的控制驱动到高精度的伺服系统、从日常电器到各种高精尖的科技领域均采用永磁电机作为主要的驱动电机。

1.2 相关领域发展
永磁同步电机的应用和发展离不开电机制造技术、永磁材料、传感器、功率器件、微处理器和控制理论等各方面技术、理论的发展与综合。

1.2.1 功率器件发展
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电力电子技术是弱电与被控强电之间的桥梁。

交流调速系统中，功率主回路中的电力半导体是现代电力电子设备的心脏和灵魂，电力半导体器件的发展为交流调速系统的完善奠定了基础。

其发展主要经历了三个阶段：50年代出现的半控型器件，由其构成的逆变器用于交流调速系统必须附加强迫换向电路；70年代以后出现的本身兼有开通和关断功能的全控型高速器件和复合型器件；80年代以后出现的智能功率模块（IPM）是微电子技术和电力电子技术相结合的产物，它不但能提供一定的功率输出，而且具有逻辑、控制、传感、检测、保护、自诊断等功能，是功率器件的重要发展方向。

1.2.2 变频技术发展
调速系统必须具备能够同时控制电压幅值和频率的电源，而电网提供的是恒压恒频的电源，因此应该配置变压变频器。

从整体结构上看，电力电子变压变频器可分为交－直－交和交－交两大类当前应用最广泛的是由不控整流和全控型功率开关器件组成的
脉宽调制逆变器构成的变压变频器。

目前脉宽调制技术主要有正弦脉宽调制（SPWM）、电流滞环控制（CHBPWM）、空间矢量脉宽调制（SVPWM）等。

SPWM旨在输出正弦电压，CHBPWM旨在输出正弦波电流，SVPWM 是针对形成旋转的圆形磁场提出的，所以比较适合于电机调速的矢量控制和直接转矩控制。

1.2.3 电机制造技术和交流调速理论的发展
作为传动系统执行部件的电机，要求具有体积小、重量轻、输出力矩大、低转动惯量、优良的起制动性能、宽的调速范围、转矩脉动小等特点。

直流电机控制简单，调速性能好，变流装置简单，长期以来在调速系统中占主导地位。

直流电机由于存在机械换向、维护困难、工作环境要求较高、转动惯量大、效率低、散热条件差等缺点，限制了其向高转速、高电压、大容量的方向发展。

交流电机克服了上述直流电机调速系统的缺点，因而逐渐取代直流电机，成为调速和伺服系统的主要执行部件。

交流调速电机主要有异步感应电动机、永磁同步电机（包括永磁同步正弦波电机和直流无刷方波电机）、开关磁阻电机。

异步感应电机结构简单，价格低廉，不需要特殊维护，易于实现高速运行。

永磁同步电机无励磁电流，功率因数高，发热少，结构简单，转动惯量小。

开关磁阻电机转子结构简单，无需励磁，控制策略易于实现，可实现超高速运行。

国内外感应电机、永磁同步电机、开关磁阻电机调速系统的研究都在不断的发展，并取得了显著的成果。

永磁同步电机的发展和永磁材料的发展息息相关，我国的永磁材料丰富，随着制
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造工艺的不断进步，性能不断的完善，价格逐渐下降，永磁同步电机正朝着高效、高启动转矩、大功率的方向发展，应用前景也会越来越广泛。

交流电机具有强耦合、时变、非线性等特点，为了能够实现高性能的交流调速系统，使之具备优良的动态和静态特性，且对外界的扰动具有不敏感性，控制策略的选择发挥着至关重要的作用。

优良的控制策略不仅能弥补硬件上的不足，而且能进一步提高系统的综合性能。

目前，比较成熟的交流调速系统控制策略主要有：VVVF(变压变频) 控制、矢量控制和直接转矩控制。

VVVF的控制对象是电机的外部变量：电压和频率，属于开环控制，无须引入反馈量，无法反映电机的状态，不能精确控制电磁转矩，因而控制精度不高，而且对于同步电机容易引起失步。

1971年德国西门子公司的F.Blaschke提出了矢量控制理论，使交流电机控制理论获得质的飞跃。

矢量控制思想的核心是将电机的三相电流、电压、磁链从三相静止坐标系中变换到以磁场定向的两相旋转坐标系中，从而实现定转子之间的解耦。

矢量控制需要进行坐标变换，精确观测转子磁链大小和空间位置，运算量大，且在异步电机控制中易受到转子参数变化的影响。

1.2.4 控制理论发展
控制理论的发展经历了三个阶段。

首先是以传递函数为基本的描述、以频域法或根轨迹法作为主要分析和设计方法的经典控制理论。

经典控制理论局限于对单输入和单输出系统的分析，对系统的状态无法进行观测和进行定性、定量的分析。

对于多变量、多输入、多输出、控制精度要求较高的复杂系统，经典控制理论逐渐表现出不足之处。

针对上述经典控制理论的不足，基于状态方程或差分方程的现代控制理论逐渐发展起来。

现代控制理论主要包括线性系统的分析与综合、最优控制、系统辨识、最优估计等重要理论分支。

经典控制理论和现代控制理论都是以被控对象的数学模型为基础，所以精确建立系统数学模型是至关重要的。

但在现实中，对于存在各种不确定因素、非线性或参数时变的系统，建立其数学模型是十分困难的。

为了分析和综合难以建立数学模型、结构复杂、难以设计控制器的系统，预测控制、非线性控制、智能控制也逐渐发展起来并得到广泛的应用。

1.2.5 微处理器发展
实现优良的控制策略必须有性能优越的控制器作为基础。

模拟控制器具有以下优点：抗干扰能力强，不会因峰值噪声的影响导致致命的误动作；控制信号连续，响应速
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度快；信号易读取、测量等。

但是，模拟控制器也存在以下不足之处：参数不易调整、自适应能力差、难以实现高精度和复杂的控制策略、集成度不高、硬件复杂、通用性差等。

正是由于模拟控制器的上述缺陷，以DSP(数字信号处理器)为核心的数字控制器迅速发展起来。

数字控制一定程度上克服了模拟控制的某些缺陷，能实现模拟系统不能实现的高复杂和高精度的控制算法，具有硬件电路简单、可靠性好、集成度高、易于移植、自适应能力强、数据采集速度快、易于实现监控、故障诊断和自恢复等优点，但也存在量化误差、受微处理器运算速率限制等不足之处。

数字控制在传动领域中的推广很大程度上取决于控制芯片的性能。

目前，在运动控制领域中，TI、Analog Device和Motorola 公司分别推出了各自的专用芯片。

电机控制领域中常用的是TI 公司TMS320F2000系列的DSP芯片。

2000系列的DSP主要经历了TMS320F20x、TMS320F24x和TMS320F28x 三代，运算速度逐渐加快，存储容量逐渐加大，功能越来越强，功耗也越来越小。

其中TMS320F2812是32 位可进行浮点运算的定点数字处理器，运算速率达到150MIPS，片上RAM达18k×16bit，片内Flash达128k×16bit ，可扩展RAM达1M×16bit，支持45 个外部中断，可扩展SPI、SCI 、eCAN 、McBSP等串行通讯外设，具有128 位保护密码、两个电机控制外设事件管理器和16路12位高精度AD转换通道等丰富的资源，非常有利于高复杂、高精度控制策略的实现。

1.3 本文研究的主要内容
本次毕业设计的主要内容是利用DSP2812控制永磁同步电机的控制，在CCS3.3的环境下编写并编译程序，利用DSP2812开发板以及仿真器实现程序的仿真。

在研究DSP2812控制永磁同步电机的控制之前，本文先对永磁同步电机以及控制芯片的发展做了简单的介绍，并详细介绍了空间电压矢量SVPWM调制方式，最后结合设计对系统硬件部分做了简要说明，并给出了基于DSP 芯片的软件编程。

2永磁同步电机结构及控制原理
2.1永磁同步电机控制理论的发展
交流调速理论包括矢量控制和直接转矩控制。

1971年，由F．Blaschke提出的矢量控制理论第一次使交流电机控制理论获得了质的飞跃。

矢量控制的基本思想是在普通的三相交流电动机上设法模拟直流电动机转矩控制的规律，在磁场定向坐标上，将电流
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矢量分解成为产生磁通的励磁电流分量和产生转矩的转矩电流分量，并使得两个分量互相垂直，彼此独立，然后分别进行调节。

这样交流电动机的转矩控制，从原理和特性上就和直流电动机相似了。

控制策略的选择上是PID控制，传统的数字PID控制是一种技术成熟、应用最为广泛的控制算法，其结构简单，调节方便。

2.2永磁交流伺服控制系统
永磁交流伺服控制系统的发展趋势如下：
(1)电机调速技术的发展趋势是永磁同步电机将会取代原有直流有刷伺服电机和步
进电机及感应电机。

(2)绿色化发展。

由于全球电能的80％以上通过电力变换装置来消耗，作为广泛使用的电力变换装置的变频器，将朝着节约能源，降低对电网的污染和对环境的辐射干扰，延长电机使用寿命的绿色化方向发展。

2.3永磁同步电机的矢量控制原理
2.3.1永磁同步电机的内部结构和种类
永磁同步电动机分类方法较多：按工作主磁场原理方向的不同，可分为径向磁场式和轴向磁场式；按电枢绕组位置不同，可分为内转子式和外转子式；按转子上有无启动绕组，可分为无启动绕组的电动机和有启动绕组的电动机(又称为异步启动永磁同步电动机)；根据极对数的不同，永磁同步电机可分为单极和多极；根据磁通分布或反电动势波形，可分为永磁无刷直流电动机和永磁同步电动机。

2.3.2 永磁同步电机的控制策略
现代交流调速控制策略主要有：矢量控制、直接转矩控制、变压变频控制、转差频率控制等。

针对永磁同步电机，控制策略主要有矢量控制和直接转矩控制，本节主要介绍矢量控制策略。

交流电机都是多变量、强耦合、时变的高阶复杂系统，对于系统分析和控制思想的实现都有很大的难度，如果能将非线性时变的问题转换为线性时不变的问题，那么系统的分析和控制都将得到大大的简化。

矢量变换控制的实质是：以从电机真实物理模型建立起来的数学模型为基础，经过一系列的坐标变换，将原来的数学模型变换成公共旋转坐标系中的等效两相模型（d-q模型），然后通过对公共坐标系统中相关矢量进行独立控制，最后利用坐标反变换获得三相静止坐标系中的控制量，从而实现对电
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矢量变换中的公共坐标系通常是建立在某一磁场（定子磁场、转子磁场或气隙磁场）矢量的位置上，也就是由该磁场矢量确定的公共坐标系，因此矢量变换控制也称为磁场定向控制（Field_Oriented Control ，简称 FOC ）。

矢量控制的公共坐标系通常以转子磁场定向来建立的，因而矢量控制也可以称之为转子磁场定向控制。

对于永磁同步电机来说，电机的转子是永磁体，因其参数对定子的影响相对较小，而且公共坐标系可以选择永磁磁链的方向，可以极大简化系统的分析，所以多数永磁同步电机调速系统采用矢量变换控制策略。

SVPWM 控制是针对形成旋转的圆形磁场提出的，其基本思想是把电动机和PWM 控制逆变器作为一个整体，通过选择逆变器的不同开关模式，使的电机定子绕组产生圆形的旋转磁场。

SVPWM 控制具有易于实现数字化、电压利用率高、开关频率固定等优点。

电机控制的目的是产生圆形的旋转磁场，从而产生恒定的电磁转矩，所以SVPWM 控制技术比较适合于电机控制。

2.3.3永磁同步电机数学模型的建立
永磁同步电机的数学模型主要包括电压平衡方程、运动方程和转矩方程。

在永磁同步电机动态过程中存在永磁体与绕组、绕组与绕组之间的相互影响，电磁关系十分复杂，要精确建立永磁同步电机的数学模型十分困难。

因此数学模型的建立做以下假设：转子永磁磁场在气隙空间中为正弦分布、电枢绕组的反电势波形为正弦、忽略定子的铁心饱和，认为磁路线性、不计铁心和涡流损耗、转子没有阻尼绕组；
矢量控制中，电机的变量，如电流、电压、电动势和磁通等，均由空间矢量来描述，并通过建立电动势的动态数学模型，得到各物理量之间的关系，通过坐标变换，在定向坐标系上实现各物理量的控制和调节。

坐标系以及坐标变化在本文中，将涉及到以下几种，对其进行一一介绍。

（1）三相定子坐标系(ABC 坐标系)
PMSM 的定子中有三相绕组，其轴线分别为A,B,C ，且彼此间互差1200的空间电角度。

当定子通入三相对称交流电时，就产生了一个旋转的磁场。

三相定子坐标系定义如图2-1所示。

A
B C
图 2-1 三相定子坐标系
（2）定子静止直角坐标系(αβ坐标系)
为了简化分析，定义一个定子静止直角坐标系即αβ坐标系(图2-2)，其α轴与A 轴重合，轴超前β轴900。

如果在αβ轴组成的两相绕组内通入两相对称正弦电流时也会产生一个旋转磁场，其效果与三相绕组产生的一样。

因此可以将两相坐标系代替三相定子坐标系进行分析，从而达到简化运算的目的。

图2-2 定子静止坐标系
（3）转子旋转直角坐标系(dq 坐标系)
转子旋转坐标系固定在转子上(图2.3)，其d 轴位于转子轴线上，q 轴超前d 轴900，空间坐标以d 轴与参考坐标α轴之间的电角度ϕ确定。

该坐标系和转子一起在空间以转子速度旋转，故相对于转子来说，此坐标系是静止的，又称为同步旋转坐标系。

图2-3 定子静止坐标系与转子旋转坐标系
ϕ
α
β
d
q
A
B
C
αβ
ο
120
下面介绍坐标变换关系：
三相定子坐标系与两相定子坐标系变换(3s-2s)
图2-2中绘出了ABC 和αβ两个坐标系，为了方便起见，取A 轴与α轴重合。

设三相绕组每相有效匝数为N 3，两相绕组每相有效匝数为N 2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与两相总磁动势相等时，则两套绕组瞬时磁动势在α，β轴上的投影也相等写成矩阵形式得：
321
1122330
22A B C i i N i i N i αβ⎡⎤
⎡⎤-
-
⎢⎥⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣
⎦ (2.1) 考虑变换前后总功率不便，在此前提下，可以证明，匝数比应为
3
22
3
=N N (2.2)
代入式（2.1）得
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-
--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡C B
A
i i i i i 232302121132βα (2.3) 令2/3C 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=
2323021211322/3C (2.4) 如果三相绕组是Y 型联结不带零线，则有]0=++C B A i i i ，代入式（2.3）和式（2.4）并整理后得:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡B A i i i i 22
1032βα (2.5) 按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁链
的变换。

两相定子坐标系与两相转子旋转坐标系变换(2s-2r)
图2-3是两相坐标系到两相旋转坐标系的变换，简称2s-2r 变换，其中s 表示静止，r 表示旋转。

把两个坐标系画在一起，如图2-4所示。

两相交流电流αi 、αi 和两个直流电流d i 、q i 产生同样的以同步转速1ω旋转的合成磁动势s F 。

由于绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示。

在图2-5中，d 、q 轴和矢量s F （s i ）都以转速1ω旋转，分量d i 、q i 的长短不便，相当于d 、q 绕组的直流磁动势。

但α、β轴是静止的，α轴与d 轴的夹角ϕ随时间而变化，因此s i 在α、β轴上的分量αi 、βi 的长短也随时间变化，相当于α、β绕组交流磁动势的瞬时值。

由图可见，αi 、βi 和d i 、q i 之间存在下列关系
图2-5两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量
ϕϕαsin cos q d i i i -= ϕϕαcos sin q d i i i +=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡q d s r q d i i C i i i i 22cos sin cos cos ϕϕϕϕβα (2.6)
a
ß
d
ϕϕ
α
i β
i q i d
i s
θ)
(s s i F 1
ωq
写成矩阵形式，得
式中
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=ϕϕϕϕcos sin cos cos 22s
r C (2.7)
是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换矩阵。

对式（3.6）两边都左乘以变换阵的逆矩阵，得：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-βαβαϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕi i i i i i q d cos sin sin cos cos sin sin cos 1
(2.8)
则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是:
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 2/2r
s C (2.9)
电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋转变换阵相同，其中δ为x 轴与d 轴的夹角，即转矩角。

下面介绍永磁同步电机在各个坐标系下的数学模型： 1）永磁同步电机在ABC 坐标系上的数学模型
对于三相绕组电动机，在忽略了内部绕组电容的前提下，其电压矢量和磁链矢量： r
s s s
I L ψψ+= (2.10)
dt
d I R U s
s s s ψ+
= (2.11)
其中：s U 为定子电压矢量，s R 和s L ，分别表示定子电阻和定子电感，s ψ和r ψ分别表示定子磁链矢量和转子磁链矢量，s I 表示定子电流。

根据式(2.8)和式(2.9)，可以得到永磁同步电机三相绕组的电压回路方程如下：
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡
+++=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡C B A C B A s s s s s s s s s s s s C B A p i i i p L R pL pL pL p
L R pL pL pL p
L R U U U ψψψπ
πππππ
3
4cos
32cos
32cos 3
4cos 32cos
3
4cos
(2.12)
其中为A U 、B U 、C U 各相绕组端电压，A i 、B i 、C i 为各相绕组电流，A ψ、B ψ、C
ψ。