《多边形和圆的初步认识》导学案 2022年北师大版数学七上1

5 多边形和圆的初步认识
1．多边形和多边形的对角线
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形．
如图所示，在多边形ABCDE 中，点A ，B ，C ，D ，E 是多边形的顶点；线段AB ，BC ，CD ，DE ，EA 是多边形的边；∠EAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDE ，∠DEA 是多边形的内角(可简称为多边形的角)；AC ，AD 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线．
【例1】 九边形的对角线的条数是__________．
解析：九边形的对角线的条数是1
2
×9×(9－3)＝27.
答案：27 2．正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图中的多边形分别是正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形．
【例2】 下列说法正确的有( )．
(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形； (2)各边都相等的多边形是正多边形； (3)各角都相等的多边形一定是正多边形．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：(1)不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；(2)不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备；如菱形虽然四条边都相等，但它不是正多边形；(3)不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形．
答案：A 3．圆与扇形
如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．
圆上任意两点A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”；由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA ，OB 所组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角．
【例3】 如图所示，在一个圆中任意画4条半径，可以把这个圆分成几个扇形？
分析：除了图中一目了然的4个小扇形外，由相邻两个扇形组成的扇形有4个，由相邻三个扇形组成的扇形还有4个，因而共12个．
解：共12个扇形．
E
D
C
B
A 4．多边形的对角线的条数
如图，AD ，AC 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段是多边形的对角线．
拓展理解：
一个n (n >3)边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形．一个n 边形一共有n (n －3)2
条对角线．
【例4】 填空：
(1)十边形有________个顶点，________个内角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．
(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．
解析：(1)一个n 边形有n 个顶点，n 个角，从一个顶点能画出(n －3)条对角线，共有n (n －3)
2
条对
角线；
(2)一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形，所以n －2＝4，n ＝6，这个多边形是六边形．
答案：(1)10 10 7 35 (2)六
5．圆心角
它有如下性质：
(1)把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
(2)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360等份，这时，把每一份这样的弧叫做1°的弧．
(3)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
【例5】如图，把一个圆分成四个扇形，求每个扇形的圆心角的度数．
解：因为一个周角为360°，所以分成的四个扇形的圆心角分别是∠AOB ＝∠BOC ＝360°×25%＝90°；∠COD ＝360°×30%＝108°；∠DOA ＝360°×20%＝72°.
4.5多边形和圆的初步认识
班别 组别 姓名
学习目标：1、经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩。

2、了解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、顶点、对角线。

认识正多边形。

3、了解圆的有关概念，认识圆的半径、圆弧、圆心角，扇形，会计算圆心角的度数。

任务一：自主先学，认真阅读课本122页和124页的内容，完成下列练习。

（一）多边形的有关概念
1、.我们熟悉的平面图形中的多边形有_____________等.它们是由一些_______同一条直线上的线段依次_______相连组成的_______图形.
2.、如图所示，在多边形ABCDE 中，顶点有 ，
多边形的边有，
多边形的内角有；
多边形的对角线的定义：的线段叫多边形的对角线。

（请在图上画出两条对角线）
3、三角形有个顶点，条边，个内角；四边形有个顶点，条边，个内角；五边形有个顶点，条边，个内角；n边形有个顶点，条边，个内角。

注：没有特别说明，本书说的多边形都是多边形。

4、正多边形的定义：。

5、小学学过的下列图形中不可能是正多边形的是( )
A.三角形
B.正方形
C.四边形
D.梯形
6、正十二边形的顶点数是____，边数是 ,内角个数有个。

（二）圆的有关概念
7、平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的
图形叫做。

固定的端点O称为，OA称为。

8、圆上A,B两点之间的部分叫做_______，记作：，读作：；
由一条_______和经过它的端点的两条_______所组成的图形叫做扇形
9.、圆心角的定义：。

10、请你画一个圆，你是怎么画的？你有多少方法可以画一个圆？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
任务二：生生合作、师生合作，探索疑难
1.从下列多边形的同一顶点出发，连接这个顶点与其余各顶点之间的对角线，回答下面问题。

通过画图，发现：
从一个四边形的同一个顶点出发，可以画条对角线，可以分割成个三角形。

从一个五边形的同一顶点出发，可以画条对角线，可以把这个五边形分成_______个三角形.
若是一个六边形同一个顶点出发，可以画条对角线，可以分割成_______个三角形
.n边形可以的同一个顶点出发，可以画条对角线，可以分割成______个三角形.
2、.若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？
通过画图，我发现：
在四边形内部任意取一点P，将点P与各个顶点连接，可以将四边形分割成个三角形；
在五边形内部任意取一点P，将点P与各个顶点连接，可以将五边形分割成个三角形；
在六变形内部任意取一点P，将点P与各个顶点连接，可以将六边形分割成个三角形；
在七边形内部任意取一点P，将点P与各个顶点连接，可以将七边形分割成个三角形；
……
在n变形内部任意取一点P，将点P与各个顶点连接，可以将n边形分割成个三角形.
3.若点P在多边形的一条边上（不是顶点）,在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成多
少个三角形？
4、阅读课本124页的例题，说说例题的解题步骤。

然后模仿例题，完成以下练习：
将一个圆分割成3个扇形，他们的圆心角度数比为2:3:5，求这三个圆心角的度数。

5、完成P124中“议一议”和随堂练习第2题
《4.5多边形和圆的初步认识》课堂检测
班别组别姓名
1.判断题
①扇形是圆的一部分. （）②圆的一部分是扇形. （）
③扇形的周长等于它的弧长. （）④所有边长都相等的多边形叫做正多边形。

（）
⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形。

（）
2.用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分割成5个三角形的多边形是（）
A、五边形
B、六边形
C、七边形
D、八边形
3. 已知一个圆，任意画出它的三条半径，能得到（）个扇形.
A、4
B、5
C、6
D、8
4.如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个定点与其余各顶点，可将这个多边形分割成2003个三角形，那么此多边形的边数为多少？
5.已知扇形AOB的圆心角为240o ,其面积为8cm2 .求扇形AOB所在的圆的面积。

拓展延伸：
如右图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2,1，∠AOB=120°，求阴影部分的面积。