2017-2018学年山东省东营市垦利一中等四校联考高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年山东省东营市垦利一中等四校联考高三（上）期
末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，2）D．（0，2）
2．（5分）下列函数中，图象是轴对称图形且在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝log2|x|C．y＝2x D．y＝﹣x2+1
3．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）
A．﹣4B．﹣1C．0D．4
4．（5分）若角α终边过点A（2，1），则sin（π﹣α）＝（）
A．﹣B．﹣C．D．
5．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为（）
A．1B．C．2D．2
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．4+2B．4+4C．6+2D．6+4
7．（5分）如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取
在图中阴影部分的概率是（）
A．B．C．D．
8．（5分）函数y＝sin2x﹣cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，得到函数y ＝g（x）的图象，若y＝g（x）为偶函数，则φ的值为（）
A．B．C．D．
9．（5分）某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过，已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X期望是（）
A．3B．C．2D．
10．（5分）已知抛物线y2＝4x与直线2x﹣y﹣3＝0相交于A、B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率为k1，k2，则+的值为（）
A．﹣B．﹣C．D．
11．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申，乙酉，丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（）A．乙亥年B．戊戌年C．庚子年D．辛丑年
12．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）e x，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣＝0的不同实数根的个数为n，则n的所有可能值为（）
A．3B．1或3C．3或5D．1或3或5
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知单位向量，，且＜，＞＝，若向量＝﹣2，则||＝．14．（5分）（1+x+x2）（1+x）5展开式中x4的系数为（用数字作答）．
15．（5分）已知正四棱柱的顶点在同一个球面O上，且球O的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为．
16．（5分）在如图所示的平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD＝90°，则BD长的最大值为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝2a n﹣λ（λ＞0，n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{a n}为等比数列，并求a n；
（Ⅱ）若λ＝4，b n＝（n∈N*），求数列|b n|的前2n项和T2n．
18．（12分）在▱P ABC中，P A＝4，PC＝2，∠P＝45°，D是P A中点（如图1），将△PCD沿CD折起到图2中△P1CD的位置，得到四棱锥P1﹣ABCD．
（Ⅰ）将△PCD沿CD折起的过程中，CD⊥平面P1DA是否成立？并证明你的结论；
（Ⅱ）若P1D与平面ABCD所成的角为60°，且△P1DA为锐角三角形，求平面P1AD 和平面P1BC所成角的余弦值．
19．（12分）为研究某种图书每册的成本费y （元）与印刷数x （千册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
（x i
﹣）
（x i ﹣）﹣（u i ﹣）（u i ﹣）﹣
表中u i ＝
，＝
u i ．
（Ⅰ）根据散点图判断：y ＝a +bx 与y ＝c +哪一个更适合作为每册成本费y （元）与印刷数x （千册）的回归方程类型？（只要求给出判断，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；
（Ⅲ）若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售出，结果精确到1）
（附：对于一组数据（ω1，v 1），（ω2，v 2），…（ωn ，v n ），其回归直线＝
+
ω的
斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣）
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上动点P到两焦点F1，F2的距离之和为
4，当点P运动到椭圆C的一个顶点时，直线PF1恰与以原点O为圆心，以椭圆C的离心率e为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左右顶点分别为A、B，若P A、PB交直线x＝6于M、N两点，问以MN为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣2ax+x2有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）＝lnx﹣bx﹣cx2，若函数f（x）的两个极值点恰为函数g（x）的两个零点，当a≥时，求y＝（x1﹣x2）g′（）的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），
以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ（限定ρ≥0，0≤θ＜π）．
（1）写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；
（2）射线θ＝β（）与曲线C1与C2分别交于点A、B（A、B异于原点），求的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲
23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（﹣1＜a≤0）．
（Ⅰ）求关于x的不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）记f（x）的最小值为m，证明：m≤1．
2017-2018学年山东省东营市垦利一中等四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，
B＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，
则A∩B＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．
故选：B．
2．【解答】解：根据题意，依次分析选项，
对于A，y＝为反比例函数，其图象不是轴对称图形，不符合题意；
对于B，y＝log2|x|＝，图象关于直线x＝0对称，但在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于C，y＝2x，是指数函数，其图象不是轴对称图形，不符合题意；
对于D，y＝﹣x2+1，是二次函数，图象关于直线x＝0对称，在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，4），
化z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，
由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最大值为0．
故选：C．
4．【解答】解：∵角α终边过点A（2，1），
∴|OA|＝，则cosα＝，
则sin（π﹣α）＝﹣cosα＝．
故选：A．
5．【解答】解：根据题意，双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点到渐近线的距离为，则b＝，
又由双曲线的离心率2，即e＝＝2，即c＝2a，
则有b＝＝a＝，
解可得a＝1，
则双曲线的长轴2a＝2；
故选：C．
6．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，侧棱P A⊥底面ABC，且P A＝2．
由P A⊥底面ABC，可得P A⊥BC，
又AB⊥BC，P A∩AB＝A，
可得BC⊥平面P AB，则BC⊥PB．
∴该几何体的表面积为S＝＝
．
故选：B．
7．【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长AF＝a，
则正六边形ABCDEF的面积为6××a2×sin＝，
△AFM的面积为×a×a×tan＝
∴在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是
P＝1﹣＝．
故选：C．
8．【解答】解：函数y＝sin2x﹣cos2x＝2（•sin2x﹣•cos2x）＝2sin（2x﹣），将函数y＝sin（2x﹣）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，
得到函数f（x）＝sin[2（x﹣φ）﹣]＝sin（2x﹣2φ﹣）的图象，
若函数f（x）是偶函数，则﹣2φ﹣＝kπ+，∵k∈Z，0＜φ＜，∴φ＝．故选：B．
9．【解答】解：在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝，通不过的概率为．由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，
则P（X＝0）＝；
P（X＝1）＝；
P（X＝2）＝；
P（X＝3）＝．
∴随机变量X的分布列为：
数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝，
或由二项分布的期望公式可得E（X）＝3×．
故选：B．
10．【解答】解：联立，可得y2﹣2y﹣6＝0，
解得，或．
∴A（2+，1+），B（2﹣，1﹣），
∴，，
则+＝．
故选：D．
11．【解答】解：天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2014年到2020年，总共经过了6年，所以天干中的甲变为子，地支中的午变为子，即2020年是“干支纪年法”中的庚子年．
故选：C．
12．【解答】解：由题可知f′（x）＝（x+3）（x﹣1）e x，
由e x＞0可知f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减．
令f（x）＝t，则方程必有两根t1，t2（t1＜t2）且，
注意到f（﹣3）＝6e﹣3，f（1）＝﹣2e，此时恰有t1＝﹣2e，，满足题意．
①当t1＝﹣2e时，有，
此时f（x）＝t1有1个根，此时f（x）＝t2时有2个根；
②当t1＜﹣2e时，必有，
此时f（x）＝t1有0个根，此时f（x）＝t2时有3个根；
③当﹣2e＜t1＜0时，必有t2＞6e﹣3，
此时f（x）＝t1有2个根，此时f（x）＝t2时有1个根；
综上所述，对任意的m，关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣＝0均有3个不同实数根，故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：根据题意，单位向量，，且＜，＞＝，则•＝1×1×cos＝，
又由向量＝﹣2，则||2＝（﹣2）2＝2+42﹣4•＝3，
则||＝；
故答案为：．
14．【解答】解：（1+x+x2）（1+x）5＝（1+x+x2）（1+5x++++），∴展开式中x4的系数＝++＝25．
故答案为：25．
15．【解答】解：∵正四棱柱的顶点在同一个球面O上，且球O的表面积为12π，∴球半径r＝＝，
设正四棱柱的底面边长为a，高为b，
则R＝＝，
∴2a2+b2＝12，
∴a4b2≤（）3，
当且仅当a2＝a2＝b2时，取等号，
∴a＝b＝2时，取等号，
故当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为2．
故答案为：2．
16．【解答】解：设∠ABC＝α，∠ACB＝β，
则在△ABC中，
由余弦定理得AC2＝1+3﹣2cosα＝4﹣2cosα，
由正弦定理得＝，
即sinβ＝，
∵△ACD为等腰直角三角形，AD＝AC，
在△BCD中，
由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos（900+β）
即BD2＝3+AC2+2AC sinβ
＝3+4﹣2cosα+2sinα
＝7+2sin（α﹣）
∴当α＝时，sin（α﹣）取得最大值1，
对角线BD最大，最大值为1+．
故答案为：1+．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（I）由题可知S1＝2a1﹣λ，即a1＝λ；
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣λ）﹣（2a n﹣1﹣λ）＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1；
所以数列{a n}是首项为λ、公比为2的等比数列，
所以；
（II）由（I）可知当λ＝4时，
从而，
所以T2n＝（22+24+26+…+22n）+（3+5+7+…+2n+1）
＝+
＝+n2+2n．
18．【解答】解：（Ⅰ）当DP1⊥DA时，CD⊥平面P1DA．
∵在▱P ABC中，P A＝4，PC＝2，∠P＝45°，D是P A中点（如图1），
∴DC2＝PD2+PC2﹣2PDPC cos45°＝4，
∴PD2+DC2＝PC2，即DC⊥AD．
在图2中，∵，∴CD⊥面DAP1，
∴将△PCD沿CD折起的过程中，当DP1⊥DA时，CD⊥平面P1DA．
（Ⅱ）设平面P1AD∩平面P1BC＝m，
∵AD∥BC，∴AD∥BC∥m
由（Ⅰ）得CD⊥面DAP1，过D作DH⊥m于H，连接HC，过P1作P1O⊥AD，则∠CHD平面P1AD和平面P1BC所成角，P1O⊥面ABCD，
∵P1D与平面ABCD所成的角为60°，且△P1DA为锐角三角形，
∴∠P1DO＝60°，△P1DA为正角三角形，
∴O为AD中点，∴．
∴
在Rt△CDH中，CH＝＝．
∴
∴平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值为．
19．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y＝c+更适合作为每册成本费y（元）与印刷数x（千册）的回归方程类型；
（Ⅱ）由u i＝，先建立y关于u的线性回归方程，
则＝+u，则＝＝≈8.96，
则＝﹣＝3.63﹣8.96×0.269≈1.22，
∴每册成本费y（元）与印刷数x（千册）的回归方程y＝1.22+；
（Ⅲ）则销售利润z＝（10﹣y）×1000x＝8780x﹣8960，
则8780x﹣8960≥78840，解得：x≥10，
若每册书定价为10元，则至少应该印刷10千册才能使销售利润不低于78840元．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，则a＝2，
不妨设直线l经过（﹣c，0）和（0，b），可得直线l：bx﹣cy+bc＝0，
直线l与原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切，可得，即，解得b＝1，
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）设P（x0，y0），则．
P A：，取x＝6，得M（6，），
PB：，取x＝6，得N（6，）．
则以MN为直径的圆的方程为＝．∵，∴，
则圆的方程化为．
取y＝0，可得（x﹣6）2＝8，即x＝6﹣或x＝6+2．
∴以MN为直径的圆过定点（6﹣，0），（6+2，0）．
21．【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）＝2lnx﹣2ax+x2＝﹣2a+2ax＝，x＞0，∵函数f（x）＝2lnx﹣2ax+x2有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
∴方程x2﹣ax+1＝0有两个不相等的正根，
∴
解得a＞2，
∴a的取值范围为（2，+∞），
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣ax+1＝0的两根；∵a≥时
∴△＝a2﹣4＞0，x1+x2＝a，x1x2＝1；
又∵x1，x2为g（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零点，
∴lnx1﹣cx12﹣bx1＝0，lnx2﹣cx22﹣bx2＝0，
两式相减得ln﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）＝0，
得b＝﹣c（x1+x2），
而g′（x）＝﹣2cx﹣b，
∴y＝（x1﹣x2）[﹣c（x1+x2）﹣b]
＝（x1﹣x2）[﹣c（x1+x2）﹣+c（x1+x2）]
＝﹣ln＝﹣ln，
令＝t，（0＜t＜1），
由（x1+x2）2＝a2得x12+x22+2x1x2＝a2，
∵x1x2＝1，两边同时除以x1x2，得t++2＝a2，
∵a≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，
∴0＜t≤；
设h（t）＝2•﹣lnt
∴h'（t）＝＜0，
则y＝h（t）在（0，]上是减函数，
∴h（t）min＝h（）＝﹣+ln2，
即y＝（x1﹣x2）g′（）的最小值﹣+ln2
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，
把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，
得ρ＝4sinθ；
联立得4sinθcos2θ＝sinθ，
①当sinθ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点为（0，0），
②当sinθ≠0时，，得．
当时，，，得交点坐标为；
当时，，，得交点坐标为，
∴C1与C2的交点坐标为（0，0），，．
（2）将θ＝β代入C1方程中，得ρ1＝4sinβ，
代入C2方程中，得，
∴，
∵，
∴1≤4cos2β≤3，
∴的取值范围为[1，3]．
[选修4-5：不等式选讲
23．【解答】解：（Ⅰ）x≥a时，x+1+x﹣a＞1，解得：x＞，﹣1＜x＜a时，x+1+a﹣x＞1，不成立，
x≤﹣1时，﹣x﹣1+a﹣x＞1，解得：x＜，
综上，不等式的解集是{x|x＞或x＜}；
（Ⅱ）证明：f（x）＝|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣x+a|＝|a+1|＝a+1，故f（x）min＝a+1＝m
由﹣1＜a≤0，得a+1≤1，原结论成立．。