苏教版高中数学必修4同步练测：第二章+平面向量+本章练测.docx

第2章平面向量（数学苏教版必修4）
16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）
的最小值.
17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.
（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；
（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；
（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d.
18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.
（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；
（2）求函数k=f（t）的最小值. 19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为
500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B 处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=
4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大
时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）
第2章平面向量（数学苏教版必修4）
答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．
二、解答题
15.
16.
17.
18.
19.
第2章平面向量（数学苏教版必修4）
答案
一、填空题
1. a+c-
b解析：如图，点O到平行四边形三个顶点A、B、C
结合图形有OD
uuu r
=OA
uu u r
+AD
u u u r
=OA
uu u r
+BC
uuu r
=OA
uu u r
+OC
uuu r
-OB
uuu r
=a+c-b.
2. ○2解析：|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a|·|b|,其中θ为a与b
3.
4
5
a-
4
5
b 解析：利用向量的三角形法则求解.
如图，∵a·b=0，∴a⊥b，∴∠ACB=90°，
∴
又CD⊥AB,
A D
∴ AC 2
=AD ·AB ，∴
AD=
5
. ∴ AD u u u r
=
45AB uuu r =45（a -b ）=45a -45
b . 4.5 解析：｜a +b ｜2
=a 2
+2a ·b +b 2
=|a |2
+2a ·b +|b |2
=50，即5+2×10+|b |2
=50,
∴ |b |=5.
5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x=2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y=0,∴ y=-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.
∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b
6.
π6
解析：∵ a ∥b ，∴ 13×3
2-t a n cos =0，
即sin =12，∴ =π
6.
7. P 在AC 边上 解析：∵ PA uu u r +PB uu u r +PC uuu r
=AB uuu r
， ∴ PA uu u r +PC uuu r =AB uuu r +BP uu u r =AP uuu r ，即PC uuu r
=2AP uuu r . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上.
8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2
，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，
故选项○
1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9. 1
3 解析：∵ OA uuu r + OB uuu r + OC uuu r = 0 ，∴ OB uuu r + OC uuu r = AO uuu r ，
设 OB uuu r + OC uuu r =OD uuu r
， ∴O 是AD 的中点，
要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是
13
， 10.
（2-
，2） 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4
=
××2
=2，即x 2+y 2
=5，
x+2y=
2，解得
x=2-，
y=2（舍去
x=2，
y=2）.故b =
（2-
，2
）. 11.-25 解析：∵|AB uuu r
|2
+|BC uuu r
|2
=|CA uu u r
|2
，
∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A=
35，cos C=4
5
. ∴原式=3×4×0+4×5×(4
5-
)+5×3×(35-)=25-.
12.（5，4） 解析：设AB uuu r =（x ，y ），∵ AB uuu r
与a 同向，
∴ AB uuu r =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.
x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB uuu r |=2，∴ x 2+y 2
=52.
∴ 4λ2+9λ2
=52，解得λ=2（负值舍去）. ∴ 点B 的坐标为（5，4）.
13. 1 解析：设OC uuu r =(x,y),由OC uuu r ⊥OB uuu r
,得-x+2y=0.① 由BC uuu r =OC uuu r -OB uuu r =(x+1,y-2), BC uuu r ∥OA uuu r ,
得(x+1)-3(y-2)=0.②
由①②联立，解得x=14,y=7.
故OD uuu r =OC uuu r -OA uuu r
=(14，7)-(3，1)=(11，6).
14.只要写出-4c,2c,c(c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等 解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得
12313,
12323,
20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨
-+==⎩⎩∴ k 1=-4c,k 2=2c,k 3=c(c ≠0). 二、解答题
15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则
（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2
）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ）， 则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.
∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b
∴ 函数f （x
17.解：（1）因为a =m b +n c ,
所以（3，2）＝（-m+4n,2m+n ）,
所以5,
43,9228.
9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨
+=⎩⎪=⎪⎩
（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),
又a + k c =(3+4k,2+k),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k=-
1613
. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，
所以22
444(4)2(1)0,55(4)(1)1,1155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩
解得或 所以d =
（4+,或d =
（4-）.
18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0. 又x ⊥y ，∴ x ·y =0， 即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，
-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2
=0.
将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2
-3t=0，
即k=f （t ）=
14
（t 2
-3t ）. （2）由（1）知k=f （t ）=14（t 2
-3t ）=14（t-32）2916
-,
∴ 当t=32时，k 最小=9
16
-.
19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2
=| v
得| v 9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=
21v v =410=25
，∴ π-≈1130π，即≈19
30π=114°，
时间t=
d v ≈0.59.2=5
92
（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶。