角动量

重力势能： 重力势能：
要确定质点系在任一给定位置时的势能值， 要确定质点系在任一给定位置时的势能值，就 必须选择某一位置作为参考点， 必须选择某一位置作为参考点，而规定些参考位 置的势能为零。通常把这一参考位置就叫做势能 置的势能为零。通常把这一参考位置就叫做势能 零点。规定势能零点之后，势能的值才是确定的。 零点。规定势能零点之后，势能的值才是确定的。 对于重力势能，通常规定某一参考平面（h=0） 对于重力势能，通常规定某一参考平面（h=0） 重力势能 为势能零点。 为势能零点。 对于弹性势能， 对于弹性势能，通常规定弹簧处于自然状态 弹性势能 x=o）时为势能零点。 （x=o）时为势能零点。
记 : W = F ⋅ ∆r 作
2.1 变力做功 保守力
新 课 讲 授
在实际问题中经常遇到的是变力作功问题。 在实际问题中经常遇到的是变力作功问题。力的大小和 方向都随时间发生变化。如何处理变力作功问题？ 方向都随时间发生变化。如何处理变力作功问题？
一、示功图
1、设物体在恒力 F 的作用下，沿力的方向从 点运 、 的作用下，沿力的方向从A点运 动到B点 则该力对物体所做的功为： 动到 点，产生的位移为 ∆r ，则该力对物体所做的功为：
dW = Fcosθ ⋅ dx = −F⋅ dx = −kx⋅ dx
x0
⑶确定上下限，求积分： 确定上下限，求积分： 初位置x=0（下限）；末位置 ）；末位置 上限）。 初位置 （下限）；末位置x=x0（上限）。
W = ∫ dW = ∫
0
1 2 1 2 −kxdx= − kx = − kx 0 2 2 0
三.系统功能原理 系统功能原理 力的分类: 力的分类: 系统外物体对系统内物体的作用力。 外力： 系统外物体对系统内物体的作用力。 外力：
系统内物体间的相互作用力 内力： 内力：
二.动能定理 动能定理 1. 质点的动能定理 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
1 2 1 2 W = mvB − mvA 外 2 2
2. 质点系的动能定理 质点： 质点：m1 m2 内力： 内力： f1 外力： 1 外力： F 初速度： 初速度： v10 末速度： 末速度： v1
f2 F 2
v20
v2
1 1 2 2 m：W 1 =W 1 +Wf1 = mv1 − mv10 1 F 1 1 外 2 2 1 1 2 2 m：W 2 =W 2 +Wf2 = m v2 − m v20 2 F 2 2 外 2 2
两式相加得： 两式相加得：
左 ： 外 +W 2 = (W 1 +Wf1 ) +(W 2 +Wf2 ) 边 W1 F F 外
W = F∆ r
—— —— 1
F
F
W
A
∆r
B
r
2、对于力与位移同方向的变力情况： 、对于力与位移同方向的变力情况： AB分割成一系列小位移 F 分割成一系列小位移。 ①把AB分割成一系列小位移。 任一小段位移上， ②任一小段位移上，沿位移 方向的作用力可看作恒力。 方向的作用力可看作恒力。
∆ i = F ∆i W r i
1.功是标量，只有大小正负之分。 1.功是标量，只有大小正负之分。 功是标量 2.多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。 2.多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。 多个力对物体作功 3.作功与参照系有关。 3.作功与参照系有关。 作功与参照系有关 4.功是过程量，是力对空间的积累作用，与路径有关。 4.功是过程量，是力对空间的积累作用，与路径有关。 功是过程量
制作： 制作：常州机电职业技术学院 基础部物理教研室
恒力做功 知 识 回 顾 1.恒力的功 W 1.恒力的功 ： = F cosθ ∆r
F
θ M M
F
∆r 功等于质点受的力和它的位移的点积。 功等于质点受的力和它的位移的点积。
功等于质点受的力和它的位移的点积。 位移无限小时： 位移无限小时： dW 称为元功 单位： 焦耳（ 单位：J 【焦耳（Joule）】 ）】 2.说明： 说明： 说明
Ep = mgh+c 1 2 弹性势能： 弹性势能： Ep = kx +c 2
Ep = mgH(H为 体 置 参 面 竖 高 ） 物 位 到 考 的 直 度
1 2 Ep = kx (x为 变 ） 形 量 2
说明： 说明： 1.势能是由于系统中物体的相对位置的变化而具 . 有的能量。 有的能量。 质点系; ①质点系 2.引入势能条件： 引入势能条件： 引入势能条件 保守力做功。 ②保守力做功。 3.势能是系统的，如说物体的势能不切确。 3.势能是系统的，如说物体的势能不切确。 势能是系统的 4. 系统在某同一位置的势能值 系统在某同一位置的势能值——相对量 相对量 某两个位置的势能差——绝对量 绝对量 某两个位置的势能差 [E(末 E(初 可知， 5. 由W= -[E(末)-E(初)]= -ΔEP可知，当系统 状态变化时， 状态变化时，保守力所做的功等于相应势能增量 的负值。这就是势能与保守力的关系。 的负值。这就是势能与保守力的关系。
物块系统。 例：如图为一弹簧—物块系统。弹簧一端固定，另一端系 如图为一弹簧 物块系统 弹簧一端固定， 一物块并置于光滑平面上， 一物块并置于光滑平面上，取物块在弹簧无伸缩时的位置 平衡位置）为坐标原点O 用外力慢慢的拉动物块， （平衡位置）为坐标原点O，用外力慢慢的拉动物块，以 致在每一时刻作用于物块上的外力F 致在每一时刻作用于物块上的外力F的大小在数值上等于 其中k为弹簧的劲度系数。 弹力的大小kx。其中k为弹簧的劲度系数。求物块从原点 的过程中，外力所做的功。 运动到位置x0 的过程中，外力所做的功。
dW = Fcosθ ⋅ dx = F⋅ dx = kx⋅ dx
⑶确定上下限，求积分： 确定上下限，求积分： 初位置x=0（下限）；末位置x=x0（上限）。 （下限）；末位置 上限）。 初位置 ）；末位置
W = ∫ dW = ∫
x0
0
1 2 1 2 kxdx= kx = kx 0 2 2 0
x0
思考：在本例中求弹簧弹力做功？ 思考：在本例中求弹簧弹力做功？
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一.系统的机械能 系统的机械能
系统内各物体势能的总和——系统的势能EP 系统的势能 系统内各物体势能的总和 系统内各物体动能的总和——系统的动能Ek 系统的动能 系统内各物体动能的总和 系统动能和势能的和——系统的机械能E 系统的机械能 系统动能和势能的和
E = Ep + Ek
—— —— 5
x0
新 课 讲点运动到 点时 弹性力对物体所作的功为： 当从 点运动到b点时，弹性力对物体所作的功为： 点运动到 点时，
1 2 1 2 1 2 W = ∫ dW = ∫ −kxdx= − kx = −( kb − ka ) a 2 2 2 a
b
b
结论：弹力做功与路径无关， 结论：弹力做功与路径无关，只与始末两态的弹 簧伸长量有关。 簧伸长量有关。
—— —— 4
1 2 1 2 弹力的功： = −( kx − kx ) 弹力的功： W b a 2 2
通式： 保 通式： W = − E(末 − E(初 [( ) )]
W = −[(E(末 − E(初 ) )] 保
E由系统内各物体间的相对位置所决定， 由系统内各物体间的相对位置所决定， 我们称它为系统的势函数 系统的势函数， 我们称它为系统的势函数，它的形式随保守力 而异： 而异： 重力的势函数： 重力的势函数：
= (W 1 +W 2 ) +(Wf1 +Wf2 ) F F 1 2 1 1 2 1 2 2 − 右 ： mv1＋ m v2） mv10＋ m v20） 边 （ 1 （ 1 2 2 2 2 2 2
= Ek − Ek0
外力的功之和＋内力的功之和 =系统末动能－系统初动能 外力的功之和＋ 系统末动能－
记作： 记作：W外＋W内＝Ek - Ek0 质点系动能定理: 系统所有外力和内力对质点系 质点系动能定理 做功之和等于质点系总动能的增量。 做功之和等于质点系总动能的增量。
③各小段做功之和。 各小段做功之和。
W = ∑∆ i = ∑F ∆ i W r i
即图中带阴影的整块面积。 即图中带阴影的整块面积。
A
∆r i
B
r
提示： 提示：
用示功图求变力做功一般只对于一 维力做功的求解！ 维力做功的求解！
二、积分法 1.无限分割路径； 1.无限分割路径； 无限分割路径 2.以直线段代替曲线段 以直线段代替曲线段； 2.以直线段代替曲线段； 3.以恒力的功代替变力的功 以恒力的功代替变力的功； 3.以恒力的功代替变力的功；
F
解1：示功图 ： 外力大小： 外力大小：F = kx
F
F = kx
kx0
1 1 2 W = ⋅ x0 ⋅ kx0 = kx0 2 2
O
x0
x
解2：积分法 ： ⑴建坐标：以弹簧的平衡位置为坐标原点O，以运动方向 建坐标：以弹簧的平衡位置为坐标原点 ， 轴的正方向建立Ox轴 为x轴的正方向建立 轴。 轴的正方向建立 上任一x处取无穷小段 ⑵写出元功：在Ox上任一 处取无穷小段 ，则在 上的 写出元功： 上任一 处取无穷小段dx，则在dx上的 拉力可看做恒力，dx上拉力大小为 ，方向与位移方向 拉力可看做恒力， 上拉力大小为kx， 上拉力大小为 相同，则元功为： 相同，则元功为：
f = -kx
O 建坐标：以弹簧的平衡位置为坐标原点O， ⑴建坐标：以弹簧的平衡位置为坐标原点 ，以运动方向 轴的正方向建立Ox轴 为x轴的正方向建立 轴。 轴的正方向建立 写出元功： 上任一x处取无穷小段 ⑵写出元功：在Ox上任一 处取无穷小段 ，则在 上的 上任一 处取无穷小段dx，则在dx上的 弹力可看做恒力， 上弹力大小为 上弹力大小为kx， 弹力可看做恒力，dx上弹力大小为 ，方向与位移方向 相反，则元功为： 相反，则元功为： x
b
F1
θ1
a
b a
dW = F ⋅ dr = F cosθ | dr |
4.将各段做功代数求和； 将各段做功代数求和； 将各段做功代数求和
b a
∆r
W = ∫ dW = ∫ F ⋅ dr = ∫ F cosθ dr
质点沿直线运动的变力做功计算的一般步骤： 质点沿直线运动的变力做功计算的一般步骤： ①建坐标Ox：沿质点运动方向 建坐标 ： ②写出元功表达式： dW = F( x) cosθdx 写出元功表达式： ③确定积分上下限，求积分 确定积分上下限，
dh
b dr m ha p
o
a
W = ∫ p⋅ dr = ∫ mg⋅ dr ⋅ cosθ 重
a a
b
b
= ∫ (−mg)dh = −(mghb −mgha )
ha
hb
结论：重力做功与路径无关，只与始末位置有关。 结论：重力做功与路径无关，只与始末位置有关。
新 课 讲 授
保守力：对质点做功与路径无关， 保守力：对质点做功与路径无关，只与 质点的始末位置有关的力。 质点的始末位置有关的力。 重力、弹性力、万有引力、静电力等。 如：重力、弹性力、万有引力、静电力等。 非保守力：对质点做功与路径有关的力。 非保守力：对质点做功与路径有关的力。 摩擦力、爆炸力等。 如：摩擦力、爆炸力等。 推论——保守力沿任意闭合路径一周做功为零。 保守力沿任意闭合路径一周做功为零。 推论 保守力沿任意闭合路径一周做功为零 重力的功： 重力的功：W = −(mgh −mgh ) b a
E = E(h) = mgh+c 1 2 弹力的势函数： 弹力的势函数： E = E(x) = kx +c 2
功是能量变化的一种量度， 功是能量变化的一种量度，所以系统的势函数 也是表征了系统的一种能量，这种能量仅由系统内 也是表征了系统的一种能量， 各物体之间的相互作用和相对位置所决定。 各物体之间的相互作用和相对位置所决定。这种能 量称为系统的势能 系统的势能。 表示。 量称为系统的势能。用Ep表示。
新 课 讲 授 —— 3
再考虑由物体和地球组成的重力系统。 再考虑由物体和地球组成的重力系统。
hb
以地球为参照系，取离地面为原点O 以地球为参照系，取离地面为原点O， 竖直向上为h轴正方向。 竖直向上为h轴正方向。 物体由a点沿任意路径运动到b 物体由a点沿任意路径运动到b点。重 力作功为： 力作功为：