2019-2020学年河南省漯河市数学高二第二学期期末经典试题含解析

2019-2020学年河南省漯河市数学高二第二学期期末经典试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设随机变量 (
)2
~3,1.5X N ，()40.7P X ≤=，则()2P X ≤=（ ）
A ．0.3
B ．0.4
C ．0.2
D ．0.1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】
由于()40.7P X ≤=，故()40.3P X ≥=，则()()4.320P X P X ≥=≤=，故 答案为A. 【点睛】
本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.
2．5
122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中23x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二项式展开式的通项公式，求解所求项的系数即可 【详解】
由二项式定理可知：5151
()
(2)2
r
r
r r T C x y -+=-；
要求5
122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中23
x y 的系数，
所以令3r =，则3
23
2323
451
1()(2)=10(8)202
4
T C x y x y x y =-⨯⨯-=-；
所以5
122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中23
x y 的系数是是-20；
故答案选A 【点睛】
本题考查二项式定理的通项公式的应用，属于基础题。

3．下列命题中不正确的是（ ）
A ．空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行
B ．空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行
C ．空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行
D ．空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行 【答案】D 【解析】 【分析】
作出几何体，根据图像，结合线面、面面间的关系，即可得出结果. 【详解】
如下图，m ∥n ，且m ，n 与底面α、左面β都平行，
但α、β相交，所以，D 不正确．由面面平行的判定可知A 、B 、C 都正确． 故选D
【点睛】
本主要考查空间中，直线、平面间的位置关系，熟记线面、面面位置关系，即可求出结果. 4．设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解； 【详解】
∵21a >可得1a <-或1a >，
∴由“1a >”能推出“21a >”，但由“21a >”推不出“1a >”， ∴“1a >”是“21a >”的充分非必要条件， 故选A. 【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，属于基础题. 5．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ）．
A ．()1,2-
B ．()1,2
C ．()2,1-
D ．()2,1
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量. 【详解】 直线的斜率为1
2
，故其方向向量为()2,1. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题. 6．已知函数()()21
1
e ,ln 2
x f x g x x -==
+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是（ ）
A ．ln 21
2
+-
B ．12
C ．ln(2e)2
D ．-12
【答案】A 【解析】 【分析】
设()()f m g n t ==，可分别用t 表示,m n ，进而可得到m n -的表达式，构造函数()h t m n =-，通过求导判断单调性可求出()h t 的最大值. 【详解】
设()()f m g n t ==，则21
1
e
ln 02
m n t -=+=>, 则11ln 22m t =+，12e t n -
=，故1211ln e 22t m n t --=+-.
令()1
211
ln e 22t h t t -=+-()0t >，
则()121
e 2t h t t
-'=-，
因为0t >时，1
2y t
=
和12e t y -=-都是减函数， 所以函数()121
e 2t h t t
-'=-在()0,∞+上单调递减.
由于0
11e 021
h ⎛⎫'=-=
⎪⎝⎭，
故102t <<时，()0h t '>；1
2
t >时，()0h t '<. 则当12t =
时，()h t 取得最大值，01111111
ln 21ln e ln 22222222h +⎛⎫=+-=-=-
⎪⎝⎭
. 即m n -的最大值为ln 21
2
+-. 故答案为A. 【点睛】
构造函数是解决本题的关键，考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力与计算能力，属于难题.
7．若函数y =R ，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,4] B ．[4,)+∞
C ．[0,4]
D ．(4,)+∞
【答案】C 【解析】
分析：由题得210ax ax ++≥恒成立，再解这个恒成立问题即得解. 详解：由题得210ax ax ++≥恒成立，
a=0时，不等式恒成立. a≠0时，由题得2
,0 4.40
a a a a >⎧∴<≤⎨
∆=-≤⎩ 综合得0 4.a ≤≤故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查函数的定义域和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力数形结合思想方法.（2）解答本题210ax ax ++≥恒成立时，一定要讨论a=0的情况,因为
210ax ax ++≥不一定时一元二次不等式.
8．将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移
6π
个单位长度，所得函数图像关于2
x π=对称，则tan ϕ=（ ）
A ．
B ．
C ．±
D ．【答案】B 【解析】 【分析】
运用三角函数的图像变换，可得cos 1212y x πϕ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
，再由余弦函数的对称性，可得
,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，计算可得所求值.
【详解】
函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），
则可得1cos 2y x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
再把得到的图像向左平移6
π
个单位长度， 则可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++
⎪⎝⎭
，
因为所得函数图像关于2
x π=对称，
所以cos 1412ππϕ⎛⎫
++=± ⎪⎝⎭
， 即
4
12
k π
π
ϕπ+
+=，
解得：,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，
所以：tan tan 3
ϕπ
=-=故选： B 【点睛】
本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.
9．已知面积为16的等腰Rt AOB ∆内接于抛物线()2
20y px p =>，O 为坐标原点，OA OB ⊥，F 为抛
物线的焦点，点()10
N -，.若M 是抛物线上的动点，则MN MF
的最大值为（ ）
A B C D
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意求得,A B 两点关于x 对称，得到直线OA 的方程为y x =，由OAB ∆的面积为16，求得2p =，再把过点N 的直线方程为(1)y k x =+，代入2
4y x =，求得判别式求得1k =±，最后利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】
设等腰直角三角形OAB 的顶点1122(,),(,)A x y B x y ，且22
11222,2y px y px ==，
由OA OB =，得2222
1122x y x y +=+，
所以22
1212220x x px px -+-=，即1212()(2)0x x x x p -++=，
因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =，即,A B 两点关于x 对称， 所以直线OA 的方程为y x =， 由2
2y x y px =⎧⎨
=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x p
y p =⎧⎨=⎩
，故4AB p =， 所以21
2442
OAB S p p p ∆=
⨯⨯=， 因为OAB ∆的面积为16，所以2p =，
过点N 的直线方程为(1)y k x =+，代入2
4y x =可得22
22(24)0k
x k x k -++=，
所以由2
2
2
(24)40k k ∆=--=，可得1k =±，此时直线的倾斜角为45o ， 过M 作准线的垂线，垂足为A ，则MF MA =，所以
MN MN MF
MA
=
，
所以直线的倾斜角为45o 或135o
时，此时
MN MA
的最大值为2，故选B.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中求得,A B 两点关于x 对称，合理利用抛物线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 10．如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象,则下列说法正确的是( )
A ．x a =是函数()y f x =的极小值点
B ．当x a =-或x b =时,函数()f x 的值为0
C ．函数()y f x =关于点
()0,c 对称
D ．函数()y f x =在(),b +∞上是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】
由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案． 【详解】
由函数f(x)的导函数图象可知，
当x ∈(−∞,−a),(−a ，b)时,f ′(x)<0，原函数为减函数； 当x ∈(b,+∞)时,f ′(x)＞0，原函数为增函数. 故x a =不是函数()y f x =的极值点，故A 错误；
当x a =-或x b =时,导函数()f x '的值为0，函数()f x 的值未知，故B 错误； 由图可知，导函数()f x '关于点
()0,c 对称，但函数()y f x =在(−∞,b)递减,在(b,+∞)递增,显然不关于点
()0,c 对称，故C 错误；
函数()y f x =在(),b +∞上是增函数，故D 正确； 故答案为：D. 【点睛】
本题考查函数的单调性与导数的关系，属于导函数的应用，考查数形结合思想和分析能力，属于中等题. 11．如图，用5种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A ．200种
B ．160种
C ．240种
D ．180种
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可知，要求出给四个区域涂色共有多少种方法，需要分步进行考虑；对区域A 、B 、C 、D 按顺序
着色，推出其各有几种涂法，利用分步乘法计数原理，将各区域涂色的方法数相乘，所得结果即为答案． 【详解】
涂A 有5种涂法，B 有4种，C 有3种，因为D 可与A 同色，故D 有3种， ∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有5433180⨯⨯⨯=种．故答案选D ． 【点睛】
本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理．
12．已知A ，B 是半径为2的⊙O 上的两个点，OA u u u v ·OB uuu v ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA u u u v ＋CB u u u v
｜＝1，则｜AC u u u v
｜的最大值为（ ） A ．2＋1 B ．
6
＋1 C ．22＋1
D ．6 +1
【答案】A 【解析】 【分析】
先由题意得到2==
OA OB ，根据向量的数量积求出3
AOB π
∠=
，以O 为原点建立平面直角坐标系，
设A （2cos θ，2sin θ）得到点B 坐标，再设C （x ，y ），根据点B 的坐标，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】
依题意，得：2==
OA OB ，
因为cos OA OB OA OB AOB ⋅=⋅∠u u u v u u u v u u u v u u u v
，
所以，22cos AOB ⨯∠＝1，得：3
AOB π
∠=
，
以O 为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，
设A 2cos θ2sin θ），则B 2cos 3πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭2sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭）
或B （2cos 3πθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
，2sin 3πθ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
） 设C
（x ，y ），
当B （2cos 3πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，
2sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭）时， 则OA CB +u u u v u u u v ＝（2cos θ＋2cos 3πθ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
－x ，2sin θ＋2sin 3πθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
－y ） 由｜OA u u u v
＋CB u u u v
｜＝1，
得：22
2cos 2cos 2sin 2sin 33x y ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎭⎣⎦⎣⎦＝1，
即点C 在1为半径的圆上，
A （2cos θ，2sin θ）到圆心(2cos 2cos 2sin 2sin )33ππθθθθ⎛
⎫
⎛
⎫++
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，的距离为：2
2 2cos (2sin )33d ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭＝2
｜AC u u u v
｜的最大值为2＋1
当B （2cos 3πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
2sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭）时，结论一样． 故选A
【点睛】
本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则22(4)z x y =++__________．
【答案】
45
5
【解析】 【分析】
画出满足条件的平面区域，结合
22(4)z x y =++的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可． 【详解】
画出x ，y ，z 满足约束条件480
2400x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，的平面区域，如图所示：
而22(4)z x y =++()40-，的距离， 显然()40-，
到直线240x y -+=的距离是最小值， 由844541
d -+=
=
+45
， 故答案为455
． 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
14．若函数()1
,0
3,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
，则不等式()13f x ≥的解集为______________.
【答案】{}|13x x -≤≤ 【解析】 【分析】
分类讨论，分别求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】
由题意，当0x >时，令113x ≥，解得03x <≤，当0x ≤时，令1
33
x ≥，解得10x -≤≤， 所以不等式()1
3
f x ≥的解集为{}|13x x -≤≤． 【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．函数()2f x log x =在点()A 2,1处切线的斜率为______ 【答案】12ln2
【解析】 【分析】
求得函数的导数()1'ln2f x x =，计算得()1'22ln2
f =，即可得到切线的斜率． 【详解】
由题意，函数()2log f x x =，则()1'ln2f x x =，所以()1'22ln2f =，即切线的斜率为1
2ln2
， 故答案为1
2ln2
． 【点睛】
本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16．观察下列等式：
11=，3211=
123+=，332123+=
1236++=，33321236++=
……
可以推测3333123n +++⋅⋅⋅+=____（*n N ∈，用含有n 的代数式表示）．
【答案】()2
12n n +⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
或()2
214n n +或()2123n +++⋅⋅⋅+ 【解析】 【分析】
观察找到规律由等差数列求和可得. 【详解】
由观察找到规律可得：
()2
2
3333(1)123123,2n n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦
故可得解. 【点睛】
本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
附：2K 的观测值()()()()()
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由.
【答案】（1）14%；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
(1)用需要志愿者提供帮助的人数除以老年人总数可得;
(2)利用观测值公式以及列联表可计算观测值,再结合临界值表可得;
(3)根据需要志愿者提供帮助的男女人数存在显著差异,可得采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好. 【详解】
（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
70
14%500
=. （2）随机变量2K 的观测值()2
50040270301609.96720030070430
k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于9.967 6.635>，因此，在犯
错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好. 【点睛】
本题考查了分层抽样,独立性检验,属中档题.
18． (A)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的参数
方程为24x y αα
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，P 是曲线1C 上的动点，M 为线段OP 的中点，设点M 的轨迹为
曲线2C .
(1)求2C 的坐标方程； (2)若射线6
π
θ=
与曲线1C 异于极点的交点为A ，与曲线2C 异于极点的交点为B ，求AB .
(B)设函数()()1f x x x a a R =+--∈. (1)当1a =时，求不等式()1f x ≤的解集； (2)对任意m R +∈，x R ∈不等式()4
f x m m
≤+
恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】
(A) (1)12x y α
α⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，
2
(B) (1)1
2
x ≤；(2)53a -≤≤.
【解析】 试题分析： A
(1)结合题意可得2C
的极坐标方程是12x y α
α
⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，
(2)
联立极坐标方程与参数方程，结合极径的定义可得2AB = B
(1)由题意零点分段可得不等式()1f x ≤的解集是1
2
x ≤
； (2)由恒成立的条件得到关于实数a 的不等式组，求解不等式可得实数a 的取值范围是53a -≤≤. 试题解析：
(A)解：(1)设(),M x y ，则由条件知()2,2P x y ，由于P 点在曲线1C 上，
所以2224x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
，即12x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，
从而2C
的参数方程为12x y αα
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，
化为普通方程()()22
125x y -+-=即2
2
240x y x y +--=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=所以曲线2C 后得到 极坐标方程为2
2cos 4sin 0ρρθρθ--=.
(2)曲线1C 的极坐标方程为2
4cos 8sin 0ρρθρθ--=， 当6
π
θ=
时，代入曲线1C 的极坐标方程，得2
4cos
8sin
06
6
π
π
ρρρ--=，
即240ρρ--=，解得0ρ=
或4ρ=， 所以射线6
π
θ=
与1C 的交点A
的极径为14ρ=，
曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 4sin 0ρρθρθ--=. 同理可得射线6
π
θ=与2C 的交点B
的极径为12ρ=.
所以212AB ρρ=
-=.
(B)解：(1)当1a =时，()()()()21,
11211,21.x f x x x x x x ⎧-≤-⎪
=+--=-≤≤⎨⎪≥⎩
由()1f x ≤解得12
x ≤
. (2)因为()()111x x a x x a a +--≤+--=+
且44m m +≥=. 所以只需14a +≤，解得53a -≤≤.
19
．已知()n
x n N *
⎛∈ ⎝
的展开式中第7项是常数项.
（1）求n 的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项，
【答案】 (1) 9n = (2) 3
266316
T x =-
【解析】 【分析】
（1）利用展开式的通项计算得到答案.
（2）因为9n =，所以二项系数最大的项为5T 与6T ，计算得到答案. 【详解】
解：（1）展开式的通项为13221112
2r n r r n r r
r n n T C x x C x ---+'⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
因为第7项为常数项，所以第7项6
69712n n T C x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
, 即9n = （2）因为9n =，所以二项系数最大的项为5T 与6T
即4
4335916328T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
5
3
35
2
269
163216T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力.
20．如图，在四棱锥P ABCD -中， / / , , A B C D A P A D E =是棱PD 的中点，且AE AB ⊥.
（1）求证：CD ∥平面ABE ； （2）求证：平面ABE 丄平面PCD . 【答案】 (1)见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】
(1)要证CD ∥平面ABE ，只需说明 /?/? A B C D 即可；
（2）要证平面ABE 丄平面PCD ，只需证明AE ⊥平面CDP 即可. 【详解】
（1）证明：根据题意，
/?/?,?AB ,AB CD ABE CD ABE ⊂⊄平面平面,故CD ∥平面ABE ； （2）证明：由于 ,?A P A D E =是棱PD 的中点，故AE PD ⊥，而AE AB ⊥， /?/? A B C D ，因此
AE CD ⊥，显然PD CD D ⋂=，故AE ⊥平面CDP ，而AE ⊂平面ABE ，平面ABE 丄平面PCD.
【点睛】
本题主要考查线面平行，面面垂直的判定，意在考查学生的空间想象能力和分析能力，难度不大.
21．已知函数2()(1)2x f x ax x e =++-（e 是自然对数的底数）. （1）当1a =-时，求函数在[3,2]-上的最大值和最小值； （2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.
【答案】（1）max ()f x =2e - ，min ()f x =2e 2--（2）见解析 【解析】
分析：（1）当1a =-时，()()
2
12x
f x x x e =-++-，()()()12x
f x x x e =--+'，
令()0f x '=，可得1x =或2x =-， 列表可求函数在[]
3,2-上的最大值和最小值； （2）由题意
()()()
()()()2221121212x x x x
f x ax e ax x e ax a x e ax x e ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦
'， 分类讨论可求函数()f x 的单调性. 详解：
（1）当1a =-时，()()
2
12x
f x x x e =-++-，()()()12x
f x x x e =--+'，
令()0f x '=，可得1x =或2x =-， 则有：
因为31122e e ---<-，252e --->22e --， 所以()max f x =2e - ，()min f x =22e --.
（2）()()()
()2
2
211212x
x
x
f x ax e ax x e ax a x e ⎡⎤=++++=+++⎣⎦'
()()12x ax x e =++，
当12a =
时，()()21202
x
f x x e =+≥'，函数在().-∞+∞上单调递增； 当102a <<
时，12a -<-，当1,x a ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭或()2,x ∈-+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当
1,2x a ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，函数单调递减；
当12a >
时，12a ->-，当(),2x ∈-∞-或1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，当12,x a ⎛
⎫∈-- ⎪
⎝
⎭时，()0f x '<，函数单调递减； 综上所述，当102a <<
时，()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，
()2,-+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上单调递减；当12a =时，()f x 在().-∞+∞在上单调递增；当12a >
时，()f x 在(),2-∞-，1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，在12,a ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递减.
点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.
22．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．
为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；
（Ⅱ）若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析. 【解析】
试题分析：（1）由题意可知a=30,b=10,c=5,d=5,代入：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++。

（2）
年龄在[)15,20的5个受访人中，有1人支持发展共享单车；年龄在[
)20,25的6个受访人中，有5人支
持发展共享单车．随机变量X 的所有可能取值为2，3，1．所以()11
45
2256C C 2P X 2C C 15===，
()112
14545
22
56C C C C 7P X 3C C 15+===，()6P X 415
==. 试题解析：（Ⅰ）根据所给数据得到如下22⨯列联表： 根据22⨯列联表中的数据，得到2K 的观测值为
()
()()()()
2
50305105301055305105k ⨯-⨯=
++++ 2.38 2.706≈<．
∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．
（Ⅱ）由题意，年龄在[)15,20的5个受访人中，有1人支持发展共享单车；年龄在[
)20,25的6个受访人中，有5人支持发展共享单车．
∴随机变量X 的所有可能取值为2，3，1．
∵()114522562215C C P X C C ===，()1121454522
567315C C C C P X C C +===，()6
415
P X ==， ∴随机变量X 的分布列为
E X=⨯+⨯+⨯=．∴随机变量X的数学期望()234
15151515。