2019-2020学年高中数学课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系北师大版必修

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2019-
2020学年高中数学课时追踪检测二十四圆与圆的地点关系
北师大版必修
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课时追踪检测（二十四）圆与圆的地点关系
一、基本能力达标
1．圆 x2＋y2－2x＋F＝0和圆 x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程
是x－y＋＝、则(
)
1 0
A．
E＝－、 F＝8． E＝、 F＝－8
4B4
C．
E＝－、 F＝－
8
．E＝、F＝8
4D4
分析：选C 由题意联立两圆方程
x2＋y2－2x＋F＝0，
x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，
E－4－F
得4x＋ Ey－4－ F＝0、
则4＝－ 1、4＝1、解得 E＝－ 4、 F＝－ 8、应选 C.
2．到点 A( －1,2) 、 B(3 、－ 1) 的距离分别为 3和1的直线有()
A．1条B．2条
C．3条D．4条
分析：选D到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心、
3为半径的圆的切线；同理、到B的距离为 1的直线是以 B为圆心、
半径为 1的圆的切线、所以知足题设条件的直线是这两圆的公切线、
而这两圆的圆心距| AB| ＝错误 ! ＝5.
半径之和为 3＋1＝4、由于 5>4、
所以圆 A和圆 B相离、所以它们的公切线有4条．
3．设r ＞、两圆 C1：(x－
1)
2＋(y＋
3)
2＝ r 2与C2：x2＋ y2
＝不行能(
) 016
A．相切B．订交
C．内切或内含或订交D．外切或相离
分析：选D圆C1的圆心为(1、－3)、圆C2的圆心为(0,0)、圆心距d＝10、于是 d＝10＜4＋ r 、但可能有 d＝|4 － r | 或 d＜|4 － r | 、
故两圆不行能外切或相离、但可能订交、内切、内含．
4．若两圆 x2＋ y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点、
则实数 m的取值范围是()
A．(1 、＋∞ )B．(121 、＋∞)
C．[1,121]D．(1,121)
分析：选C
x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为( x＋3) 2＋(y－4) 2＝36. 圆心距为 d＝错误 !＝5、若两圆有公共点、则 |6 －m| ≤5≤6＋m、∴ 1≤ m≤121.
5．与两圆 x2＋ y2＋4x－4y＋7＝0和 x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线有( )
A．1条B．2条
C．3条D．4条
分析：选C两圆的圆心距为5、两圆半径和为5、
故两圆外切．所以有两条外公切线和一条内公切线共3条、应选 C.
6．圆 x2＋y2－2x－5＝0和圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为 A、 B、
则线段 AB的垂直均分线方程为 ________．
分析：线段 AB的垂直均分线为两圆的连心线、
所以所求的直线方程为 x＋y－1＝0.
答案： x＋y－1＝0
7．若圆 x2＋y2＝4与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0( a＞0) 的公共弦长为23、
则a＝________.
1分析：由已知两个圆的方程作差能够获得相应弦的直线方程为y＝a、
1
利用圆心
(0,0)到直线的距离 d＝
a
＝错误＝、解得 a＝
1.
1!1
答案：1
8．两圆x2＋y2＝和(x＋
4)
2＋(y－ a2＝相切、则实数 a的值为．
1)25________
分析：∵圆心分别为 (0,0)和( －4、a、半径为和、两圆外切时有错误
! )15
＝1＋5、∴a＝±2 、
5
两圆内切时有错误 ! ＝5－1、∴ a＝0.综上 a＝±2 5或a＝0.
答案：±2 5或0
9．圆 A的方程为 x2＋y2－2x－2y－7＝0、
圆B的方程为 x2＋y2＋2x＋2y－2＝0、判断圆 A和圆 B能否订交．若订交、求过两交点的直线的方程；若不订交、说明原因．
解：圆 A的方程可写为(x－1) 2＋(y－1) 2＝9、
圆 B的方程可写为(x＋1) 2＋(y＋1) 2＝4、∴两圆心之间的距离知
足 3－2＜|AB| ＝错误 ! ＝2错误 ! ＜3＋2、
即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差、∴两圆订交．圆 A的方程与圆 B的方程左、右两边分别相减得－4 x－4y－5＝0、即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．
10．已知圆 O1的方程为 x2＋(y＋1) 2＝4、圆 O2的圆心为 O2 (2,1) ．
(1)若圆 O1与圆 O2外切、求圆 O2的方程；
(2)若圆 O1与圆 O2交于 A、B两点、且|AB| ＝2 2、求圆 O2的方
程．解： (1) 设圆 O1、圆 O2的半径分别为 r 1、r 2、
∵两圆外切、∴ | O1O2| ＝ r 1＋r 2、
∴r 2＝|O1O2 | － r 1＝错误 ! －2＝2( 错误 ! －1) 、
∴圆 O2的方程是(x－2) 2＋(y－1) 2＝12－8 2.
(2)由题意、设圆 O2的方程为(x－2) 2＋(y－1) 2＝ r 2( r ＞0) 、
圆 O1、O2的方程相减、
即得两圆公共弦 AB所在直线的方程为4 x＋4y＋r 2－8＝0.
∴圆心 O1(0 、－ 1) 到直线 AB的距离为|0 －4＋r2 －8|
4－
2 2
2＝2、
＝
42＋422
解得r2＝或
4 20.
∴圆 O2的方程为(x－2) 2＋(y－1) 2＝4或(x－2) 2＋(y－1) 2＝20.
二、综合能力提高
1．已知点 M在圆 C1：(x＋3) 2＋(y－1) 2＝4上、
点N在圆 C2：(x－1) 2＋(y＋2) 2＝4上、则|MN| 的最大值是() A．5B．7
C．9D．11
分析：选C 由题意知圆C1
的圆心
C1
、半径长
r 1
＝2；圆
C2C2
(1、
( －3,1)的圆心
－2) 、半径长 r 2＝2. 由于两圆的圆心距 d＝错误 ! ＝5＞ r 1＋ r 2＝4、所以两圆相离、进而|MN|的最大值为 5＋2＋2＝9. 应选 C.
2．两圆订交于点 A(1,3) 、B( m、－ 1) 、两圆的圆心均在直线 x－y＋c＝0上、
则m＋c的值为( )
A．－ 1B．2
C．3D．0
分析：选C由题意知直线x－y＋c＝0垂直均分线段AB、
∵ k AB＝错误 ! ＝错误 ! 、 AB中点为错误 ! 、
4
＝－ 1，
1－m m＝5，
∴∴∴ m＋c＝3.应选 C.
1＋m c＝－ 2，
2－1＋c＝0，
3．点 P在圆 C1：x2＋ y2－8x－4y＋11＝0上、
点Q在圆 C2： x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上、则|PQ| 的最小值是()
A．5B．1
C．3 5－5D．3 5＋5
2222分析：选C圆C1：x＋y－8x－4y＋11＝0、即(x－4)＋(y－2)＝9、
圆心为 C2 ( －2、－ 1) 、两圆相离、 | PQ| 的最小值为|C1C2| －(r 1＋ r 2 ) ＝3 5－5.
4．设两圆 C1、 C2都和两坐标轴相切、且都过点(4,1) 、
则两圆心的距离|C1 C2| ＝()
A．4B．4 2
C．8D．8 2
分析：选C∵两圆与两坐标轴都相切、且都经过点(4,1) 、
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a、a) 、( b、b) 、则有 (4 － a) 2＋(1 － a) 2＝a2、(4 － b) 2＋(1 － b) 2＝ b2、即 a、
b为方程 (4 － x) 2＋(1 － x) 2＝x2的两个根、整理得 x2－10x＋17＝0、∴ a＋b＝10、ab＝17.
∴( a－b) 2＝(a＋b) 2－4ab＝100－4×17＝32、
∴| C1C2| ＝错误 ! ＝错误 ! ＝8.
5．已知圆 C：x2＋ y2－8x＋15＝0、直线 y＝ kx＋2上起码存在一点 P、
使得以点 P为圆心、 1为半径的圆与圆 C有公共点、则实数 k的最小值是 ________．分析：将圆 C的方程化为标准方程、得( x－4) 2＋ y2＝1、故圆心为 C(4,0) 、
半径 r ＝1. 又直线 y＝ kx＋2上起码存在一点 P、使得以点 P为圆心、
1为半径的圆与圆 C有公共点、所以点 C到直线 y＝kx ＋2的距离小于或等于 2、
|4k －0＋2|44
即k2＋1
≤2、解得－3≤k≤0、所以实数k的最小值是－3.
答案：－4 3
6．与圆(x－2) 2＋(y＋1) 2＝4外切于点 A(4 、
－1) 且半径为 1的圆的方程为 ________．
分析：设所求圆的圆心为P( a、b) 、
则错误 ! ＝1、①
由两圆外切、得错误 ! ＝1＋2＝3、②
联立①②、解得 a＝5、 b＝－ 1、
所以、所求圆的方程为( x－5) 2＋(y＋1) 2＝1.
答案：(x－5) 2＋(y＋1) 2＝1
7．已知圆 C：(x－3) 2＋(y－4) 2＝4、
(1)若直线 l 1过定点 A(1,0) 、且与圆 C相切、求 l 1的方程；
(2)若圆 D的半径为 3、圆心在直线 l 2： x＋ y－2＝0上、且与圆 C外
切、求圆 D的方程．
解： (1) ①若直线 l 1的斜率不存在、即直线是 x＝1、切合题
意．②若直线 l 1的斜率存在、
设直线 l 1为 y＝ k( x－1) 、即 kx－y－k＝0.
|3k －4－k|由题意知、圆心 (3,4) 到已知直线 l 1的距离等于半径 2、即＝2、
k2＋1 3
解之得 k＝4.
所求直线 l 1的方程为 x＝1或3x－4y－3＝0.
(2) 依题意设 D( a, 2－ a) 、
又已知圆 C 的圆心 (3,4) 、 r ＝2、
由两圆外切、可知| CD| ＝5、
∴错误 ! ＝5、
解得 a ＝3、或 a ＝－ 2、
∴ D(3 、－ 1) 或 D( －2,4) ．
22 22 ∴所求圆的方程为( x －3) ＋(y ＋1) ＝9或 ( x ＋2) ＋(y －4) ＝9.
2
2
2
2
2
＋2x ＝0. 8．已知圆 C 1： x ＋y －2mx ＋4y ＋m －5＝0和圆
C 2 ：x ＋y
(1) 当 m ＝1时、判断圆 C 1 和圆 C 2的地点关系；
(2) 能否存在实数 m 、使得圆 C 1和圆 C 2内含？若存在、
求出实数 m 的值；若不存在、请说明原因．
解： (1) 当 m ＝1时、圆 C 1 的方程为(x －1) 2＋(y ＋2) 2＝9、圆心为 C 1(1 、－ 2) 、
半径长为 r 1＝3、
圆 C 2 的方程为(x ＋1) 2＋y 2＝1、圆心为 C 2( －1,0) 、半径长为 r 2 ＝1、两圆的圆心距 d ＝ 错误 ! ＝2错误 ! 、
又 r 1 ＋r 2＝3＋1＝4、 r 1－r 2＝3－1＝2、
所以 r 1－r 2＜ d ＜ r 1 ＋r 2、所以圆 C 1和圆 C 2订交．
(2) 不存在实数 m 、使得圆 C 1 和圆 C 2内含．原因以下：
圆 C 1 的方程可化为(x －m) 2＋(y ＋2) 2＝9、圆心 C 1的坐标为(m 、－ 2) 、半径为 3.
假定存在实数 m 、使得圆 C 1和圆 C 2内含、
则圆心距 d ＝错误 ! ＜3－1、
即(m ＋1) 2＜0、此不等式无解．
故不存在实数 m 、使得圆 C 1和圆 C 2内含．。