运用几何画板提升学习效率——以《正切》一课为例

以学生 熟 悉 的 “ 爬 山（ 坡） ” 作 为 问 题 情
当倾 斜角不 变 时 ， 垂 直高 度 与水 平距 离 之 间
的数量关 系 ， 得 出表 ３的结论 。
表３
境， 展 开教 学 ： “ 你 爬 过 山或坡 吗？什 么样 的 山或坡爬 的时候 比较 累？你是 怎样 描述 山坡
累了一定 的几 何学 习经 验 ， 要 理解 这个 知 识
教学 的难点 ， 这不 仅是 因为 其符 号 的使 用打
破 了学 生 以 往 所 建 立 的符 号 使 用 规 律 （ 特 点） ， 更主要的是 因为它把 两个看起来 毫不相 干 的量 ， 即角 与线段 联 系了起来 ， 而且 ， 这两 个量之间还隐含 了一种 函数关 系。对 九年级
发现 ， 不少教 师只是关 注如何设计 教学 （ 这当 然是 最重 要 的） ， 却 忽 略 了对 教学 手 段 、 工 具
的学生来说 ， 即便 其认 知 发展 水平 已经 从具
体形象思 维 向抽 象 概括 思维 过渡 ， 对 图形 的
认知水平逐 步提 高 ， 即便其 已经学 习 了有关 直角三角 形 的边 （ 勾 股定 理及 其逆 定理 ） 、 角 （ 直角三角 形 的两个 锐角 互余 ） 的知识 ， 并 积
学更是至关重要——直 接影响学 生对“ 正弦 ” “ 余 弦” 的学 习。在 数 字化环境 下 ， 在 电子一体 机上利 用几何 画板进行教 学 ， 可 以有效地
化 解“ 正切 ” 的学 习难度 ， 提升学生 的学 习效率 。
关键 词 ： 几何画板
Байду номын сангаас正切
教学设计
众所 周知 ， “ 锐角 三角 函数 ” 是 初 中几何
２ ０ １ ５ 年第 ４ 期
教育研究与评论 ・ 中学教育教学
（ 或教学环境 ） 的使 用 。同样 的教 学 设计 ， 在
一
而 比较 Ａ 与 Ａ 的大小 ， 得 出表 ２ 的结论 。
表 ２
定 的教学 环 境下 ， 通 过使 用 恰 当的教 学 手
段、 工具， 能在 一定 程 度上 降低 学 习难 度 ， 提 高教学 效 果 。本 文 正 是 尝 试 在 数 字 化 环境
高度与水平距 离之 比有怎样 的 变化？ 教师利 用几 何 画 板交 互 性 的优 势 ， 将 图
Ａ ８ ｃ ｍ Ｃ
１ 、 图２ 调 出来 ， 引导学 生 研究 倾斜 角变化 的
图 １
情况 ， 得 出表 ４的结论 。
表 ４
教师利用 几何画板 ， 移动 △Ａ Ｂ Ｃ ， 使 得
定 的理解 ， 并通过 对例题 和练 习的求解 ， 获
的倾斜 程 度 的？ ” 由此 ， 通 过 数 学 抽 象—— 把 山坡看作 直角 三 角形 的斜 边 ， 带 领 学生 研 究
三组直角 三角形斜边的倾斜程度 。
问题 ｌ 图 ｌ中， 坡Ａ Ｂ和坡 Ａ， Ｂ 哪 个更
陡 ？ 你 是 怎 么判 断 的 ？ 你 能 获 得 什 么 结论 ？ 问题 ４ 当山坡 的 倾 斜 角 变化 时 ， 其 垂 直
下， 在 电子 一 体 机 上 操 作 几 何 画板 ， 来 进 行
《 正切 》 的教学 。
一
垂直 高 度 水 平 距 离 倾 斜角 ： 变 小 一 定 变大
问题 ３ 当倾斜 角不 变时， 其垂直 高度 与 水平距 离之 间有什 么关 系？
、
数字化环境 下《 正切 》 的教学设计
下面 节选 本 课 中 “ 正 切 概 念 的获 得 ” 和 “ 正切 的 函数思想” 两个 环节进行详细 阐述 。
（ 一） 关 于“ 正切 概 念 的 获 得 ” 的教 学设 计
学生 画图分析 、 组 内讨论 ， 阐述结论及 证
明思路 。然后 ， 教 师利 用 几何 画 板 画 出两个 具有相等倾 斜角 的直 角三 角形 ， 让 学生 研究
点Ａ 与点 Ａ 重合 ， 从 而 比较 Ａ 与 Ａ 的大 小， 得 出表 １的结论 。
表 １
垂 直 高度 水平距 离 垂直高度 水平距离
倾斜 角 ： 一定 一定
Ｉ
垂 直 高 度 水 平 距 离 Ｉ
～ 定 Ｊ
问题 ２ 图 ２中， 坡 ＡＢ和坡Ａ Ｂ 哪个更
运 用几 何 画板 提 升 学 习 效 率
— —
以《 正切 》 一 课 为 例
李寒 月
（ 南京 师范 大学 附属 中学新城 初级 中学 ， ２ １ ０ ０ １ ９ ）
摘
要： “ 锐 角三 角函数 ” 兼 有几何 图形 和 函数 思想 的双 重 属
性， 是初中几何 教学的难点 。作 为这一 内容的起 始课 ， 《 正 切》 的教
点仍然是 困难 的。作 为 三角 函数 的起 始课 ，
《 正切 》 的教学更 是至关重要——学 生对这个
内容 的理 解 和掌 握 程 度 ， 将 直 接影 响对 “ 正 弦” “ 余 弦” 的学 习。 如何有 效地 克服 这个 难点 ， 降低学 生 学 习的难 度 呢？ 为 此 ， 笔 者 查 阅 了很 多 资 料 。 概括起来 ， 这部分 内容主要有 两种设计 ： 一种 侧重 于“ 三角 比” ， 一 种侧 重 于 “ 函数 ” 。笔 者
在 数学中 ， 这个 比叫作这个角 的正切 。 （ 二） 关于“ 正切的 函数思想” 的教 学设计 学生通 过之 前 的学 习 ， 对 正 切 概念 有 了
一
８ ｃｍ Ｃ
图 ２
学 生利用几何 画板 ， 移动 △Ａ Ｂ Ｃ ， 使 得
点Ａ 与点 Ａ 重合 ， 或使得 Ｂ Ｃ 与Ｂ Ｃ重合 ， 从
倾斜角 ： 变大 变大
倾斜角 ： 变 小 变小
『 倾 斜 角： 变 大 变 大
问题 ５ 通 过 以上 活动 ， 你 能 得 出什 么
结论 ？
陡 ？你 是 怎 么判 断 的 ？你 能 获得 什 么结 论 ？
教师出示 正切 概 念 ： 山坡 的倾 斜 角 与其
ｃ ｍ
垂直高度 跟 水平 距 离 的 比有着 密 切 的联系 。