第7章极值理论、分位数估计与风险值

（7.3）
对 向 前 1 步 的 波 动 率 预 测 ， 由 方 程 （ 7.2 ） 知
t21 t2 (1 )rt2 。 因 此 ， 方 程 （ 7.3 ） 证 明 了 对
i 1,Var (rt i Ft ) t21 ，从而 t2 k k t21 结果说明 rt k Ft ～
k 天持有期的 VaR 为
VaR（k）=头寸数量× 1.65 k t 1 ， 其中 VaR 的变量（k）用来表示时间段。因此，在风险度量制下， 我们有
VaR(k ) k VaR ,
并称之为风险度量制下 VaR 计算的时间平方根法则。 7.2.1 讨论 风险度量制的一个优点就是简单，很易于理解和运用。另外 一个优点是它使得金融市场中的风险更加透明了。然而，因为证 券收益率常常有厚尾（或肥尾） ，所以正态性假定通常导致 VaR 的低估。其他计算 VaR 的方法也要避免作这样一个假定。 时间平方根法则是风险度量制中运用特殊模型的一个结果。 如果对数收益率的零均值假定或者具体的 IGARCH(1.1) 模型假 设不满足，则此准则就失效了。考虑下面这个简单模型：
（1，1）过程，α 的值通常取在区间（0.9，1）上，其中一个代 表值为 0.94. 这样一个特殊的随机游动 IGARCH 模型的良好性质是：利 用它很容易得到一个多期收益率的条件分布。具体来讲，对 k 个 周期的持有其，从时刻 t+1 到时刻 t+k（包含 t+k 时刻）的对数 收益率为
rt k rt 1 rt k 1 rt k
。方括号[k]表示 k 期收益
率。在方程（ 7.2 ）中具体的 IGARCH(1.1) 模型下，条件分布
rt k Ft
2 k t 是均值为 0、 方差为
的正态分布， 其中
t2 k 可
以利用第 3 章讨论的预测方法计算，由 （7.2） ，我们有
t 的独立性假定和模型
t2 k VaR (rt k Ft ) VaR (at i Ft )
p-分位数（即 VaR= x p ） 。然后实际中 cdf 是未知的，从而对 VaR 的研究主要关心的是 cdf 及其分位数的估计，尤其是 cdf 的尾部 性质。 在实际应用中，VaR 的计算涉及如下几个因素。 (1) 感兴趣的概率 p，例如 p=0.01 或 p=0.05 (2) 时间区间 l .它可由管理委员会设定，例如 1 天或 10 天。 (3) 数据频率。它可能与时间区间 l 不一样且经常使用日观测值。 (4) 累积分布函数 F l ( x) 或它的分位数。 (5) 金 融 头 寸 的 数 来 你 跟 或 者 证 券 组 合 的 盯 市 价 值 （market-to-market value） 。 在这些因素中，累积分布函数 F l ( x) 是经济计量模型的焦点，累 积分布函数估计的不同方法引起了 VaR 计算的不同方法。
i 1
k
2 R 其 中 V a(a t i Ft ) E ( t i Ft ) 可 以 递 推 得 到 。 利 用
rt 1 at 1 t 1 t 1 ，我们可以将方程（7.2）中 IGARCH(1.1)模
型的波动率方程改写为
t2 t21 (1 ) t21 ( t21 1) ，对所有的 t.
第7章
极值理论、分位数估计与风险值
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
风险值 风险度量制 VaR 计算的计量经济方法 分位数估计 极值理论 VaR 的极值方法 基于极值理论的一个新方法
7.1 风险值 金融市场中有几种类型的风险， 其中三个主要类别的金融风 险是信用风险、 流动风险以及市场风险。 VaR 主要讨论市场风险， 但是它也可以应用于其他类型的风险。 VaR 是在某个风险范畴中 的机构的头寸在一个给定持有期间内可能会由于一般的市场运 动而降低所带来的损失的统一估计。从金融机构的角度，VaR 可 以定义为金融头寸在一个给定的时间段上， 以某个给定的概率发 生的最大损失。以这种观点，可以将 VaR 看作是在正常市场条 件下与稀少事件相联系的损失的一个度量；从管理委员会的角 度，VaR 可以定义为在异常市场情境下的最小损失。这两种定义 尽管概念上貌似相差很远，但都将导致同样的 VaR 度量。 下面我们在概率框架下定义 VaR。假设在时间指标 t 点，我
~Hale Waihona Puke t v ( p) t (1) v /( v 2)
rt (1) 0 i rt 1i at j at 1 j ,
i 1 j 1
~
p
q
(1) 0 a
i 1
~ 2 t
u
2 i t 1i
j t21 j
j 1
v
如果进一步假定 是高斯的， 则给定 t 时刻可得信息的条件下， 的条件分布服从 。 用 计算的这个条件分布的分位数
p PrV (l ) VaR 1 PrV (l ) VaR 1 F l (VaR)
对于一个小 p，空头头寸的 VaR 为一个正值，其中正号表示一个 损失。 前面的定义显示 VaR 关注的是累积分布函数 F l ( x) 的尾部行 为。对一个多头头寸， F l ( x) 的左尾很重要，然而对空头头寸则 注意关注于 F l ( x) 的右尾。注意到如果利用-△V（ l ）的分布，则 方程（7.1）中的 VaR 的定义也可以应用于空头头寸。因此，仅 利用多头头寸来讨论 VaR 计算的方法就足够了。
其中 位数， 则
。也就是说，如果 q 是自由度为 v 的学生 t-分布的 p-分 就是自由度为 v 的标准化学生 t-分布的 p-分位
数。因此，如果方程（7.6）的 GARCH 模型中的 服从自由度为 v 的标准化学生 t-分布且概率为 p，则在时刻 t 时，用来计算 1 天持有期 的分位数为
rt (1)
特别地，我们有
t2i t2i 1 (1 ) t2i 1 ( t2i 1 1), i 2, , k.
因为对 i 2, E ( t i 1 1 Ft ) 0, 所以前面的方程说明
2
E ( t2i Ft ) E ( t2i 1 Ft ), i 2, , k.
对任何一元的累计分布函数 F l ( x) 与概率 p（0<P<1）,称
x p inf x Fl ( x) p
为 F l ( x) 的 p-分位数，其中 inf 表示满足 F l ( x) p 的最小实数。如 果已知方程（7.1）中的累积分布函数 F l
( x)
，则 VaR 就是它的
可以很容易得到。例如，其 5%分位数是 是自由度为 v 的标准化的学生 t-分布， 则分位数为 其中
。如果假定 ，
表示自由度为 v 的标准化的学生 t-分布的 p-分位数。
自由度为 v 的学生 t-分布（用 表示）的分位数与它的标准 化分布（用 表示）的分位数之间有如下关系：
tv q q Pr t v , p Pr(t v q) Pr v /( v 2) v /( v 2) v /( v 2)
12 Cov(r1t , r2t ) /VaR(r1t )VaR(r2t )0.5 .则投资者的全部 VaR 为
2 VaR VaR12 VaR2 212VaR1VaR2
一个包含 m 个工具的头寸的 VaR 一般式可由下式得到：
VaR
VaRi2 2 VaRiVaR j
i 1 i j ij
m
m
其中 ij 是第 i 个与第 j 个工具的收益率间的交叉相关系数，VaRi 表 示第 i 个工具的 VaR. 7.3 VaR 计算的计量经济方法 我们在讨论中利用 GARCH 模型，并将此方法称为 VaR 计 算的计量经济方法。也可以利用其他的波动率模型。 考虑某资产的对数收益率 rt .它的一般时间序列模型可以写 为
7.2 风险度量制 风险度量制的简单形式假定组合的连续复合日收益率服从 一个条件正态分布。用 rt 表示日对数收益率， Ft 1 表示 t-1 时刻 可以得到的信息集合。风险度量制假定 rt Ft 1 ~ N ( t , t2 ) , 其中
t 是rt 的条件均值， t 是rt 的条件方差.另外，这个方法假定这
rt 0 i rt i at j at j ， （7.5）
i 1 j 1
p
q
0 i a
2 t i 1
u
2 t i
j t2 j .
j 1
v
(7.6)
方程（7.5）到（7.6）是 的均值和波动率方程。假定参数已知时， 可以利用这两个方程来得到 的条件均值与条件方差的 1 步向前 预测。具体地，我们有
rt at , at t t , 0, t2 t21 (1 )at21 ,
0 的假定对许多在 NYSE 其中 t 是标准的高斯白噪声序列。
中大量交易的股票收益率都是成立的。 7.2.2 多个头寸 在一些应用中，投资者可能持有多个头寸，并且需要计算头 寸的全部 VaR。做这样一个计算时，在假定每个头寸的日对数收 益服从一个随机游动 IGARCH(1,1)模型下， 风险度量制采取了一 个简单方法。需要的额外量是收益率间的交叉相关系数。考虑两 个头寸的情况。 令 VaR1和VaR2 表示两个头寸的 VaR， 并且令 12 表 示 两 个 收 益 率 间 的 交 叉 相 关 系 数 ， 即
P PrV (l ) VaR Fl (VaR)
(7.1)
因为当△V（ l ）＜0 时，一个多头寸金融头寸持有者遭遇损失， 所以当 p 很小时，方程（7.1）中定义的 VaR 是一个负值，其中 负号表示一个损失。由定义，在时间区间 l 上，持有者将要遭受 的损失大于或等于 VaR 的概率 p。换一种说法，VaR 可以解释如 下：以概率 1-p，金融头寸的持有者在时间区间 l 上遭受的潜在损 失小于或等于 VaR。 当资产价值增加[△V（ l ）＞0]时，空头头寸的持有者遭受 损失，这时 VaR 定义为
2
两个量是随时间变化的，对应于简单的模型：
t 0, t2 t21 (1 )rt2 0 1. 1 ,
(7.2)
因此，此方法假定组合的日价格的对数 pt ln( Pt ) 满足差分方 程
pt pt 1 at ,
其中 at
t t 是一个无飘移的 IGARCH
们感兴趣的是接下来的 l 段中一个金融头寸的风险。令△V(l) 表 示金融头寸中从时刻 t 到时刻 t+ l 时资产价值的变化。这个数量 用美元度量， 且在时间指标为 t 时是一个随机变量。 用 F l ( x) 表示 △V（ l ）的累计分布函数。定义一个多头寸在持有期 l 中概率为 p 的 VaR 为
N (0, k t21 ) ，因此，在方程（7.2）的这个特殊的 IGARCH(1.1)
模型下， rt
k
的条件方差与时间段 k 成比例。k 持有期对
数收益率的条件标准差为
k t 1 。
假定金融头寸是一个多头头寸， 以致当有一个大的价格下降 （即一个大的负收益率）时损失发生。如果设定概率为 5%，则 风险度量制是用 1.65 t 1 来度量证券组合风险，即它利用均值为 0，标准差为 t 1 的正态分布的单侧 5%分位数。真实的分位数 是- 1.65 t 1 ， 但是忽略了负号， 并理解为它代表一个损失。 因此， 如果标准差是用百分比度量的，则风险度量制下证券组合的日 VaR 为 VaR=头寸数量× 1.65 t 1