高中物理磁场中的动态圆

动态圆解题思路及题型
类型：放缩圆（同向异速）
带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或质量改变）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。

把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大（速度或质量逐渐增大时）或缩小（速度或质量逐渐减小时）的运动圆，用圆规做出一系列大小不同的轨迹圆从圆的动态变化中发现临界点。

1．[2016·四川卷] 如图1­所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为v b时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b，当速度大小为v c时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c，不计粒子重力．则()
A．v b∶v c＝1∶2，t b∶t c＝2∶1 B．v b∶v c＝2∶1，t b∶t c＝1∶2
C．v b∶v c＝2∶1，t b∶t c＝2∶1 D．v b∶v c＝1∶2，t b∶t c＝1∶2
A[解析] 由题可得带正电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，且洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，作出粒子两次运动的轨迹如图所示
由q v B＝m v2
r ＝mr
4π2
T2
可以得出v b∶v c＝r b∶r c＝1∶2, 又由t＝
θ
2π
T可以得出时间之比等
于偏转角之比．由图看出偏转角之比为2∶1，则t b∶t c＝2∶1，选项A正确．
【例1】如图2所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点，一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间0t 刚好从c 点射出磁场，现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成
30︒的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（ ）
A.
若该带电粒子在磁场中经历的时间是05
3t ，则它一定从cd 边射出磁场 B. 若该带电粒子在磁场中经历的时间是02
3t ，则它一定从ad 边射出磁场 C. 若该带电粒子在磁场中经历的时间是05
4
t ，则它一定从bc 边射出磁场
D. 若该带电粒子在磁场中经历的时间是0t ，则它一定从ab 边射出磁场 【解析】该粒子在磁场做同方向旋转的匀速圆周运动（视为缩放圆），
运动的轨迹圆半径随着速度大小的变化而变化。

如图3所示，分别作出刚好从ab 边射出的轨迹①、刚好从bc 边射出的轨迹②、刚好从cd 边射出的轨迹③和刚好从ad 边射出的轨迹④。

已知带电粒子在磁场中运动的周期是02t ，
由图可知，从ab 边射出磁场经历的时间01015
3
6
t t t <≤；从bc 边射出磁场经历的时间0205463t t t <≤；从cd 边射出磁场经历的时间一定为305
3
t t =；从ad 边射出磁场
经历时间一定401
3
t t ≤
故选C.
a
b
c
d O
图2
2如图所示，平面直角坐标系xOy中OP与x轴之间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，一束带正电的粒子从点P（4L，3L）沿y轴负方向以不同的速率射入磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．下列说法正确的是（）
A.能到达y轴正半轴的粒子在磁场中运动的时间一定相等
B.能到达y轴负半轴的粒子在磁场中运动的时间一定相等
C.粒子可以在磁场中一直运动到O点
D.粒子打在x轴上的区域的宽度为3L
做出粒子各种情况下的运动轨迹，结合粒子在直线边界磁场中运动的规律求解．解：A、能到达y轴正半轴的粒子一定都能在此穿过PO，如下图，
速率不同，半径不同，但转过的圆心角都相同，根据t=
θ
2π
•
2πm
qB
知，粒子在磁场中的运动时间相等；
B、能到达y轴负半轴的粒子是穿过x轴的，它们在磁场中转过的圆心角不同，根据t=
θ
2π
•
2πm
qB
知，粒子在磁场中的运动时间不相等，故B错误；
C、能到达y轴正半轴的粒子边界是与x轴相切的情况，能到达y轴负半轴的粒子时穿过x轴的情况，故粒子不可能一直运动到O点，C错误；
D、与ox轴相切时，由几何知识知粒子半径为3L，即粒子经过x轴时的坐标为：4L-3L=L；
粒子圆周运动半径无穷大时无线接近与垂直经过x轴，坐标为4L；
故粒子打在x轴上的区域的宽度为3L；D正确；
故选：AD．
对于带电粒子在磁场中运动类型，要善于运用几何知识帮助分析和求解，这是轨迹问题的解题关键．
类型二：旋转圆（等速异向发射）
带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定的速度射入匀强磁场中，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转，从此圆的动态旋转（作图）中找到临界点。

例题1 ：如图所示，在直角坐标系xoy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外。

许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域。

不计重力及粒子间的相互
作用。

下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R
mv
qB
，正确的
图是（）
类型三：平移圆（等速平行发射）
带电粒子平行射入匀强磁场，其运动轨迹是大小相同的圆，只有位置不同。

这样解出粒子运动的轨道半径，再将一个圆周进行平移，找出轨迹与磁场边界的临界条件即可求解。

15、如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，
恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边
的M点飞出磁场（M点未画出）。

设粒子从A点运动到C点所用时间为t1，由P点运动到M
点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（）
A．2∶1 B．2∶3 C．3 ∶2 D．答案与解析：C
缩放滚圆
【情景2】如图4所示，在同一水平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电粒子，这些带电粒子垂直于磁场方向射入有界匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动（称缩放滚圆），一段时间后沿着某个方向经过了平面上的某点（即已知初、末速度的方向的所在直线）射出磁场，粒子的运动特点是：
⑴所有轨迹圆与初、末速度的方向所在直线相切，其的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上（又称缩放滚圆）.
⑵各带电粒子做匀速圆周运动的周期相同. ⑶轨迹圆与初、末速度的方向所在直线切点的连线为直径的圆，为圆形区域磁场的最小区域.
【例2】如图5所示，在xoy 平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

一电荷量为+q 、质量为m 的带电粒子，由原点O 开始沿x
正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场。

后来，粒
子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30º，已知P 到O 的距离为L ，不计重力的影响。

（1）若磁场区域的大小可根据需要而改变，试求粒子速度的最大可能值； （2）若粒子速度大小为6qBL
v m
=
，试求该圆形磁场区域的最小面积。

【解析】粒子在磁场的初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切，轨迹圆圆心到两直线的距离相等，等于轨道半径，因此，圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线上。

过P 点作末速度的反向延长线，交x 轴于Q 点，经分析可知，粒子在磁场中做圆周运动
（1）如图6所示，速度最大时粒子的轨迹圆过O 点、且与PQ 相切于A 点。

由几何关系有
tan 30OQ L =︒，1tan 30r OQ =︒，可得11
3
r L =.。