北京八中学2024届十校联考最后数学试题含解析

北京八中学2024届十校联考最后数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）
A．（﹣5，3）B．（1，﹣3）C．（2，2）D．（5，﹣1）
2．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）
A．方有两个相等的实数根B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0
3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列计算正确的是（）
A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣a2）3＝﹣a6
5．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（）
A．1 B 61
C
66
D．
4
3
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（）A．55×106B．0.55×108C．5.5×106D．5.5×107
8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体是()
A．直三棱柱B．长方体C．圆锥D．立方体
9．将不等式组
2(23)3
532
x x
x x
-≤-
⎧
⎨
+
⎩＞
的解集在数轴上表示，下列表示中正确的是( )
A．B．C．D．10．下列说法中，正确的是（）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为1 2
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
11．（2016四川省甘孜州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径'
AA的长为（）
A．πB．2πC．4πD．8π
12．化简16的结果是（）
A．±4 B．4 C．2 D．±2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．在函数y=的表达式中，自变量x的取值范围是．
14．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积．
15．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，EC=2，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，则PC的长为_____．
16．若不等式组
2
20
x a
b x
->
⎧
⎨
->
⎩
的解集为11
x
-<<，则2009
()
a b
+=________.
17．下列对于随机事件的概率的描述：
①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5，所以抛掷该硬币100次时，就会有50次“正面朝上”；
②一个不透明的袋子里装有4个黑球，1个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率是0.2；
③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率总是在0.85附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中9环以上”的概率是0.85
其中合理的有______（只填写序号）．
18．如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是____________________(写出一个即可)．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．利用尺规作图，在AD边上确定点E，使点E到边AB，BC的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；若BC=8，CD=5，则CE= ．
20．（6分）2018年大唐芙蓉园新春灯会以“鼓舞中华”为主题，既有新年韵味，又结合“一带一路”展示了丝绸之路上古今文化经贸繁荣的盛况。

小丽的爸爸买了两张门票，她和各个两人都想去观看，可是爸爸只能带一人去，于是读九年级的哥哥提议用他们3人吃饭的彩色筷子做游戏（筷子除颜色不同，其余均相同），其中小丽的筷子颜色是红色，哥哥的是银色，爸爸的是白色，将3人的3双款子全部放在一个不透明的筷篓里摇匀，小丽随机从筷篓里取出一根，记下颜色放回，然后哥哥同样从筷篓里取出一根，若两人取出的筷子颜色相同则小丽去，若不同，则哥哥去。

（1）求小丽随机取出一根筷子是红色的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求出小随爸爸去看新春灯会的概率。

21．（6分）地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题，如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小刚认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小刚和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.325）
22．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制
出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m 的值为；求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
23．（8分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
24．（10分）定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．若a ＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．
25．（10分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝65，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）当t＝秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
26．（12分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)
27．（12分）（1）（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）+（2a+b）（2a﹣b）
（2）（m﹣1﹣
8
1
m+
）
2
2
69
m m
m m
-+
+
．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解题分析】
【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．
【题目详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，
∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣4
5
＜0，不符合题意；
B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；
C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=3
2
＞0，符合题意；
D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，
故选C．
【题目点拨】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．2、C
【解题分析】
试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故选C．
3、B
【解题分析】
解：根据中心对称的概念可得第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．
故选B．
【题目点拨】
本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是本题的解题关键．
4、D
【解题分析】
各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=a5，不符合题意；
C、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式=﹣a6，符合题意，
故选D
5、D
【解题分析】
解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=2BC=2，∴AB
BI
=
2
4
=
1
2
BC
AB
，=
1
2
，
∴AB
BI
=
BC
AB
．∵∠ABI=∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴
AC
AI
=
AB
BI
．∵AB=AC，∴AI=BI=2．∵∠ACB=∠FGE，
∴AC∥FG，∴QI
AI
=
GI
CI
=
1
3
，∴QI=
1
3
AI=
4
3
．故选D．
点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．
6、B
【解题分析】
分析：过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
详解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∵AB =8，CD =2，
∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ，∠=︒
∴DE =CD =2，
∴△ABD 的面积11828.22AB DE =
⋅=⨯⨯= 故选B.
点睛：考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等.
7、D
【解题分析】
试题解析：55000000=5.5×
107， 故选D ．
考点：科学记数法—表示较大的数
8、A
【解题分析】
根据三视图的形状可判断几何体的形状．
【题目详解】
观察三视图可知，该几何体是直三棱柱．
故选A ．
本题考查了几何体的三视图和结构特征，根据三视图的形状可判断几何体的形状是关键．
9、B
【解题分析】
先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
解：不等式可化为：11x x ≤⎧⎨>-⎩
，即11x -<≤． ∴在数轴上可表示为
．故选B ． “点睛”不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），
在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
10、A
【解题分析】
试题分析：不可能事件发生的概率为0，故A正确；
随机事件发生的概率为在0到1之间，故B错误；
概率很小的事件也可能发生，故C错误；
投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误；
故选A．
考点：随机事件．
11、B
【解题分析】
试题分析：∵每个小正方形的边长都为1，∴OA=4，∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′=90°，
∴A点运动的路径'
AA的长为：904
180
π⨯
=2π．故选B．
考点：弧长的计算；旋转的性质．
12、B
【解题分析】
根据算术平方根的意义求解即可．
【题目详解】
=4，
故选：B．
【题目点拨】
本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、x≥1．
【解题分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【题目详解】
根据题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
【题目点拨】
本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
14、100 mm1
【解题分析】
首先根据三视图得到两个长方体的长，宽，高，在分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面积即可．
【题目详解】
根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽1mm，
下面的长方体长8mm，宽6mm，高1mm，
∴立体图形的表面积是：4×4×1+4×1×1+4×1+6×1×1+8×1×1+6×8×1-4×1=100（mm1）．
故答案为100 mm1．
【题目点拨】
此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的表面积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．15、2
【解题分析】
在AB上取BN=BE，连接EN，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△ANE≌△ECP，从而得到NE=CP，在等腰直角三角形BNE中，由勾股定理即可解决问题．
【题目详解】
在AB上取BN=BE，连接EN，作PM⊥BC于M．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠DCB=∠DCM=90°．
∵BE=BN，∠B=90°，∴∠BNE=45°，∠ANE=135°．
∵PC平分∠DCM，∴∠PCM=45°，∴∠ECP=135°．
∵AB=BC，BN=BE，∴AN=EC．
∵∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEC=90°．
∵∠AEB+∠NAE=90°，∴∠NAE=∠PEC，∴△ANE≌△ECP（ASA），∴NE=CP．
∵BC=3，EC=2，∴NB=BE=1，∴NE PC
【题目点拨】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16、-1
【解题分析】
分析：解出不等式组的解集，与已知解集-1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案．
详解：由不等式得x＞a+2，x＜1
2
b，
∵-1＜x＜1，
∴a+2=-1，1
2
b=1
∴a=-3，b=2，
∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．
故答案为-1．
点睛：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
17、②③
【解题分析】
大量反复试验下频率稳定值即概率.注意随机事件发生的概率在0和1之间.根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可.
【题目详解】
解：①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5，所以抛掷该硬币100次时，大约有50次“正面朝上”，此结论错误；
②一个不透明的袋子里装有4个黑球，1个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是白球
的概率是
1
0.2
41
=
+
，此结论正确；
③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率总是在0.85附近摆动，显示
出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中9环以上”的概率是0.85，此结论正确；
故答案为：②③．
【题目点拨】
本题考查了概率的意义,解题的关键在于掌握计算公式.
18、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2
【解题分析】
完全平方公式的几何背景，即乘法公式的几何验证．此类题型可从整体和部分两个方面分析问题．本题从整体来看，整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积，从部分来看，该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，从不同角度思考，但是同一图形，所以它们面积相等，列出等式.
【题目详解】
解：,a b 从整体来看，大正方形的边长是+
()2,a b ∴+大正方形的面积为 2从部分来看，该图形面积为两个小正方形的面积加上个矩形的面积和,
222a ab b 该图形面积为，
∴++ ,同一图形
()2
222.a b a ab b ∴+=++
()2222.a b a ab b +=++故答案是
【题目点拨】
此题考查了完全平方公式的几何意义，从不同角度思考，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）见解析；（2）1．
【解题分析】
试题分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出∠A 的平分线即可；根据平行四边形的性质可知AB=CD=5，AD ∥BC ，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠BAE=∠BEA ，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解．
试题解析：（1）如图所示：E 点即为所求．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE是∠A的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=BA=5，∴CE=BC﹣BE=1．
考点：作图—复杂作图；平行四边形的性质
20、（1）1
3
;（2）
1
3
.
【解题分析】
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两人取出的筷子颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】
（1）小丽随机取出一根筷子是红色的概率=2
6
=
1
3
；
（2）画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中两人取出的筷子颜色相同的结果数为12，
所以小丽随爸爸去看新春灯会的概率=12
36
=
1
3
．
【题目点拨】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
21、小亮说的对，CE为2.6m．
【解题分析】
先根据CE⊥AE,判断出CE为高,再根据解直角三角形的知识解答．
【题目详解】
解：在△ABD中,∠ABD＝90°,∠BAD＝18°,BA＝10m,
∵tan∠BAD＝，
∴BD＝10×tan18°,
∴CD＝BD﹣BC＝10×tan18°﹣0.5≈2.7（m）,
在△ABD中,∠CDE＝90°﹣∠BAD＝72°,
∵CE⊥ED,
∴sin∠CDE＝,
∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin72°×2.7≈2.6（m）,
∵2.6m＜2.7m,且CE⊥AE,
∴小亮说的对．
答：小亮说的对,CE为2.6m．
【题目点拨】
本题主要考查了解直角三角形的应用,主要是正弦、正切概念及运算,解决本题的关键把实际问题转化为数学问题. 22、（Ⅰ）50、31；（Ⅱ）4；3；3.1;（Ⅲ）410人．
【解题分析】
（Ⅰ）利用家庭中拥有1台移动设备的人数除以其所占百分比即可得调查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除以总人数即可求得m的值；（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；（Ⅲ）将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可求解．
【题目详解】
解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：
4
8%
＝50（人），
∵16
50
×100＝31%，
∴图①中m的值为31.
故答案为50、31；
（Ⅱ）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有33
2
+
＝3，
∴这组数据的中位数是3；
由条形统计图可得
1421031441656
50
x
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=＝3.1，
∴这组数据的平均数是3.1．
（Ⅲ）1500×18%＝410（人）．
答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为410人．【题目点拨】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23、（1）每辆车的日租金至少应为25元；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
【解题分析】
试题分析：（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，由净收入为正列出不等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
试题解析：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x﹣1100＞0，
解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元；
（2）设每辆车的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣
100
5
x
）x﹣1100
=﹣1
5
x2+70x﹣1100
=﹣1
5
（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
考点：二次函数的应用．
24、（1）4；（2）详见解析.
【解题分析】
（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可.
【题目详解】
解：（1）∵a＝2，b＝﹣1
∴c＝b2+ab﹣a+7
＝1+（﹣2）﹣2+7
＝4
（2）∵a ＝3+m ，b ＝m ﹣2
∴c ＝b 2+ab ﹣a +7
＝（m ﹣2）2+（3+m ）（m ﹣2）﹣（3+m ）+7
＝2m 2﹣4m +2
＝2（m ﹣1）2
∵（m ﹣1）2≥0
∴“如意数”c 为非负数
【题目点拨】
本题考查了因式分解，完全平方式（m ﹣1）2的非负性，难度不大．
25、（1）见解析；（2）t ＝（
），最小值等于12；（3）t ＝6秒或
△EPQ 是直角三角形
【解题分析】
（1）由∠ECF ＝∠BCD 得∠DCF ＝∠BCE ，结合DC ＝BC 、CE ＝CF 证△DCF ≌△BCE 即可得；
（2）作BE ′⊥DA 交DA 的延长线于E ′．当点E 运动至点E ′时，由DF ＝BE ′知此时DF 最小，求得BE ′、AE ′即可得答案；
（3）①∠EQP ＝90°时，由∠ECF ＝∠BCD 、BC ＝DC 、EC ＝FC 得∠BCP ＝∠EQP ＝90°，根据AB ＝CD ＝
tan ∠ABC ＝tan ∠ADC ＝2即可求得DE ；
②∠EPQ ＝90°时，由菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD 知EC 与AC 重合，可得DE ＝
【题目详解】
（1）∵∠ECF ＝∠BCD ，即∠BCE +∠DCE ＝∠DCF +∠DCE ，
∴∠DCF ＝∠BCE ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴DC ＝BC ，
在△DCF 和△BCE 中，
CF CE DCF BCE CD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△DCF ≌△BCE （SAS ），
∴DF ＝BE ；
（2）如图1，作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．
当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB＝65，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，∴设AE′＝x，则BE′＝2x，
∴AB＝5x＝65，x＝6，
则AE′＝6
∴DE′＝65+6，DF＝BE′＝12，
时间t=65+6，
故答案为：65+6，12；
（3）∵CE＝CF，
∴∠CEQ＜90°，
①当∠EQP＝90°时，如图2①，
∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，
∴∠CBD＝∠CEF，
∵∠BPC＝∠EPQ，
∴∠BCP＝∠EQP＝90°，
∵AB＝CD＝5tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，
∴DE＝6，
∴t＝6秒；
②当∠EPQ＝90°时，如图2②，
∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴EC与AC重合，
∴DE＝5
∴t＝5
综上所述，t＝6秒或5△EPQ是直角三角形．
【题目点拨】
此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意（3）中的直角没有明确时应分情况讨论解答.
26、(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走2千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为2
3千米．
【解题分析】
（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【题目详解】
(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝CD
BC
，BC＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×1
2
＝40(千米)，
AC＝
CD
402
sin45︒
=(千米)，
AC+BC＝80+
1
-
8
(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+
1
-
8
)千米；
(2)∵cos30°＝BD
BC
，BC＝80(千米)，
∴BD ＝BC •cos30°＝80×3=4032(千米)， ∵tan45°＝
CD AD
，CD ＝40(千米)， ∴AD ＝CD 40tan 45︒=(千米)， ∴AB ＝AD +BD ＝40+403(千米)，
∴汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程为：AC +BC ﹣AB ＝80+1-8
﹣40﹣403＝40+40(23)-(千米)． 答：汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为 [40+40(23)-]千米．
【题目点拨】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
27、（1）24a ；（2）233m m m +- 【解题分析】
试题分析：（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先计算括号里的，再将除法转换在乘法计算.
试题解析：
（1）（a ﹣b ）2﹣a （a ﹣2b ）+（2a+b ）（2a ﹣b ）
=a 2﹣2ab+b 2﹣a 2+2ab+4a 2﹣b 2
=4a 2；
（2）228691)1m m m m m m
-+--÷++（． =2
(1)(1)8(1)1(3)m m m m m m -+-+⨯+- =22
9(1)1(3)m m m m m -+⨯+- =2
(3)(3)(1)1(3)m m m m m m +-+⨯+-
=233m m m +-．。