四川省雅安市坪坝中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析

四川省雅安市坪坝中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）
A．a＜b＜＜B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜D．＜a＜＜b
参考答案：
B
【考点】基本不等式．
【分析】举特值计算，排除选项可得．
【解答】解：取a=1且b=4，计算可得=2， =，
选项A、B、D均矛盾，B符合题意，
故选：B
2. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）
A.40种 B .60种 C.100种 D .120种参考答案：
B
略
3. 已知实系数一元二次方程的两个实根为，且
，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
4. 已知向量，，若∥，则的值为（）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
参考答案：
B
略
5. 若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为（）
A．所有对数函数都不是单调函数
B．所有的单调函数都不是对数函数
C．存在一个对数函数不是单调函数
D．存在一个单调函数都不是对数函数
参考答案：
C
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P 为：存在一个对数函数不是单调函数．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
6. 已知复数z满足,则z=( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
试题分析：由得，故选D．
7. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，
那么物体在秒末的瞬时速度是（）
A．米/秒 B．米/秒
C．米/秒 D．米/秒
参考答案：
C
8. 把编号为1、2、3、4、5的5位运动员排在编号为1、2、3、4、5的5条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同排法的种数是()
A. 60
B. 40
C. 20
D. 10
参考答案：
C
【分析】
由题，首先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同，再将剩余的进行排列可得答案.
【详解】先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同，有，
剩余的3人座位编号都不一致，第一个人有2种坐法，第二第三人都只有一种坐法，所以有2种排法，即共有2×＝20种．
故选：C
【点睛】本题考查了组合公式与分步计数原理，易错点为当两个相同的确定以后，剩余的排法只有2种，属于较为基础题.
9. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）
A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线
参考答案：
D
略
10. 若且是，则是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列说法：
①“，使>3”的否定是“，使3”；
②函数的最小正周期是；
③“在中，若，则”的逆命题是真命题；
④“”是“直线和直线垂直”的充要
条件；其中正确的说法是（只填序号）.
参考答案：
①②③
12. 函数在区间[0,1]的单调增区间为__________．
参考答案：
，（开闭都可以）.
【分析】
由复合函数的单调性可得：，解得函数的单调增区间为（），对的取值分类，求得即可得解。

【详解】令（）
解得：（）
所以函数的单调增区间为（）
当时，=
当时，
当取其它整数时，
所以函数在区间的单调增区间为，
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及复合函数的单调区间求解，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题。

13. 抛物线x2=-4y的焦点坐标为 .
参考答案：
(0,-1)
14. 设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为．
参考答案：
4
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．
【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，
当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，
当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，
①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，
②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，
③当x＞时，f（x）为递增函数．
所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（）≥0，即a?﹣3?+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
综上a=4为所求．
故答案为：4．
15. 等比数列……的第五项是
．
参考答案：
4
16. 将边长为1的正方形ABCD延对角形AC折起，使平面平面，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①面是等边三角形；
②
③三棱锥D-ABC的体积为
其中正确命题的序号是_________（写出所有正确命题的序号）
参考答案：
①②
17. 若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．
（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）当时，，求导
；从而求极值；
（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒
成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导
=；从而求a．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
；
由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；
故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；
所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；
（Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，
即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；
设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），
只需g（x）max≤0即可；
由=；
（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立；（ⅱ）当a＞0时，由，令g′（x）=0，得x1=1或；
①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，
g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
②若，即时，
函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，
同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
（ⅲ）当a＜0时，由，
因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0
19. 已知函数．
（I）当时，求函数的定义域；
（II）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
参考答案：
解：（I）由题设知：，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数的定义域为
；…………（6分）
（II）不等式即，
∵时，恒有，
不等式解集是，
∴，的取值范围是
．…………（12分）
略
20. 四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成30°角，E是PD的中点．
（1）点H在AC上且EH⊥AC，求的坐标；
（2）求AE与平面PCD所成角的余弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】（1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．得到所用点的坐标，设出H的坐标，结合EH⊥AC即可求得的坐标；
（2）求出向量的坐标，进一步求得平面PCD的一个法向量，由与平面法向量所成角的余弦值可得AE与平面PCD所成角的正弦值，进一步得到余弦值．
【解答】解：（1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．
则由条件知，A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．
由PA⊥底面ABCD，知PD与底面ABCD成30°角．
∴PA=，则E（0，2，），
∴．
设H（m，m，0），则．由EH⊥AC得，2m+2（m﹣2）+0=0，解得m=1．
∴所求；
（2）由（1）得，，而P（0，0，），
∴，．
记平面PCD的一个法向量为，则2x+2y﹣且4y﹣．取z=，得x=y=1，∴．
则cos＜＞=．
设AE与平面PCD所成角为θ，则sinθ=，
则所求的余弦值为．
21. 用数学归纳法证明：
求证：．．
参考答案：
见解析
解：①当时，
左边，
右边，
等式成立．
②设当时，等式也成立，
即：，
则当时，
，
，
，
，
，
得证．
∴时，成立，
故等式成立．
22. 已知函数。

(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数
在区间上总不是单调函数，求的取值范围；
(3)求证：。

参考答案：略。