迭代投影的平顶方向图综合算法

迭代投影的平顶方向图综合算法
刘骐玮;马彦恒;李根;董健;唐秀媛
【摘要】针对现有的平顶波束综合形成算法计算量较大的问题,提出了一种迭代求解平顶波束的快速形成算法.该算法首先设置方向图参数、迭代条件,然后利用方向图与阵元加权系数的变换关系设计投影算法并通过二阶差分运算确定过渡带,最后结合蝶形计算方法快速迭代逼近理想的平顶方向图.实验结果表明,该算法相比凸优化算法运算效率较高,并且可修复阵元失效后的平顶方向图.算法运算次数随着副瓣阈值、主瓣宽度和零陷深度等参数的变化而变化.
【期刊名称】《电讯技术》
【年(卷),期】2019(059)005
【总页数】7页(P569-575)
【关键词】阵列天线;平顶方向图;迭代傅里叶变换;方向图修复
【作者】刘骐玮;马彦恒;李根;董健;唐秀媛
【作者单位】陆军工程大学石家庄校区无人机工程系,石家庄050003;陆军工程大学石家庄校区无人机工程系,石家庄050003;陆军工程大学石家庄校区无人机工程系,石家庄050003;陆军工程大学石家庄校区无人机工程系,石家庄050003;解放军32183部队,辽宁锦州121000
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.7
1 引言
空地双基地雷达要求天线阵列的主瓣能够对阵地上感兴趣的区域进行全覆盖，合成孔径雷达需要对一定的区域进行成像，相控阵雷达在进行空域搜索时需要宽波束来提高搜索效率，因此平顶方向图在空地双基地雷达、合成孔径雷达成像、相控阵雷达目标探测等领域有着广泛的应用。

平顶方向图的综合主要有解析法、凸优化法、虚拟干扰源迭代法和全局优化算法等法。

解析法最常见的是Woodward-Lawson[1]方法，它利用sinc函数作为正交基来生成目标方向图，运算效率比较高，但该方法生成的主瓣波动幅度和副瓣电平不可控，方向图设计困难。

凸优化方法[2-3]根据阵列权矢量的自相关函数，一定条件下可以将非凸优化问题转化为凸优化问题求解，但是当阵元个数较多时运算量急剧增加，限制了该方法的应用。

虚拟干扰源迭代法将自适应波束形成的思想运用到方向图综合中，通过对虚拟干扰源强度的迭代实现对主瓣波动幅度和副瓣电平的控制[4]，但迭代参数对结果影响较大且需要预先设定，灵活性较差。

全局优化算法主要适用于非凸优化问题的运算，利用智能优化算法针对问题的最优解完成搜索，包括遗传算法[5-6]、人工蜂群算法[7]、粒子群算法[8]、引力搜索算法[9]、入侵杂草算法[10-11]等。

这类算法方向图赋形效果较好，缺点是运算量较大，方向图形成效率低。

近年来，学者Keizer[12-13]提出了在阵列综合方面的迭代傅里叶算法，使其在阵列综合的领域发挥了巨大的作用。

同时，王新宽[14]进一步研究迭代傅里叶算法，提出了大型稀疏面阵的布阵方法和自适应确定旁瓣阈值[15]的方法。

但是上述方法都只针对笔形方向图，不能适用于平顶方向图。

针对上述问题，本文提出了平顶方向图形成的迭代快速算法。

首先分析了迭代傅里叶算法[12-13](Iterative Fourier Transform,IFT)在平顶方向图形成所遇到的方向图宽度控制问题以及旁瓣能量泄露问题；然后由此设计了主副瓣投影算子，并根据
二阶差分运算自动确定过渡带，确保了方向图形成的稳定性；最后设计零点投影算子，在已形成的方向图上加深零陷，达到抑制干扰源的目的。

实验结果表明，该方法计算速度快，可高效地形成方向图，对修复阵元失效后的方向图具有一定的优势。

2 问题分析
2.1 方向图与阵元权系数
假设存在一个N元的均匀线阵，阵元间距为d，信号波长为λ，远场方向图可以由下式给出：
(1)
式中：u=sin θ，θ为信号入射角；F(u)为方向图；An表示第n个阵元的权系数；并且K是整数。

令u=mλ/Kd，m的取值为0～K-1的整数，则式(1)可以改写为
(2)
式中：
(3)
式(2)表明，阵元权系数An和方向图F具有离散傅里叶变换对的形式。

离散的方向图可以表示为
(4)
式(4)表明，上述方法虽然可以利用傅里叶变换得到方向图，但是受到阵元个数的
限制，需要对得到的阵元权系数进行截断，所以形成的方向图并不是完整的集合。

Keizer所研究的IFT方法[12-13]本质上属于一种交替投影算法[16-17]，通过不断
迭代降低副瓣。

首先设置好方向图的参数，比如主瓣波动阈值、副瓣电平阈值等；其次根据参数不断迭代逼近理想的方向图；最后输出所需要的方向图权系数。

设fk为第k步的方向图，这种方法的迭代过程可以表示为
fk+1=PBPMfk 。

(5)
式中：PB和PM分别是映射到集合B和集合M的投影算子，集合B是阵列限制条件下可形成的方向图，集合M是所有满足预设要求的方向图。

2.2 平顶方向图综合问题分析
Keizer给出了阵因子副瓣电平的调整方法，但只能用于综合笔形方向图。

采用迭代傅里叶法综合平顶方向图将面临更多的问题，下面进行理论分析。

K点归一化的目标平顶方向图的离散表示为
(6)
式中：a和b分别为平顶区的上下界，SL为期望平顶方向图的最大副瓣电平。

但是阵元个数是有限的，采用本方法进行迭代时，对于多余的权系数是舍弃的，也就是会有截断效应。

改变其中一个点的值时会发生如泄露现象，在其他点上也会产生抖动。

理论分析如下：
假设阵因子方向图的离散采样矩阵为f，每次调整的阵因子公式是f′=f+Δf，其中Δf是只有第k0个元素有值其余全为0的矩阵。

假设调整值大小是Δf(k0)=ε，Δf 为冲激序列。

根据理论可知Δf无法由有限长的N元阵列产生，对f′进行FFT变换后根据相应的阵元个数对阵元激励进行截断，便可以得到新的阵列激励，再对该激励进行IFFT变换可以获得迭代一次后的阵因子f1为
(7)
令
e(m)=。

(8)
由式(8)可知，式(7)的第二项表示的是等幅均匀直线阵方向性函数，它对第k0个
点影响最大，但是对其他点也会产生影响。

也就是说调整阵因子的第k0个点时会对其他点产生一定的影响，并且越靠近第k0个点造成的影响就越大。

因此，在形成平顶方向图时，会产生以下的问题：
(1)存在过渡区且其主瓣宽度不定
由于调整其中一个点的值会影响到其他的点，过渡区设置过大会使过渡区产生副瓣，影响性能；过渡区设置过小会使方向图收敛不到期望的值，严重时导致算法失效。

为了解决此问题，在设计时需要考虑自适应地调整过渡区的大小，在合理的范围内达到要求。

(2)主副瓣区相互影响
调整主瓣区域的值时，由于其值较大，会影响到副瓣区域的值，特别是会使其深度变浅，使整个方向图形成的效果减弱。

(3)初始激励的选择
根据前面的分析可知，可以采用随机激励的方法，但大范围的调整方向图的值会对整个优化过程造成不良的影响，导致整个算法收敛速度过慢；或是设计一个合理的初始激励使其收敛速度加快，在目标与过程之间获得平衡。

3 平顶方向图综合法
根据上述分析可知，平顶方向图在综合时要注意主瓣与副瓣之间的过渡带控制，使整个方向图快速地逼近理想值。

接下来介绍目标投影算子、零点生成投影算子及阵列初始激励以实现方向图的设计。

3.1 目标投影算子PM的设计
如图1所示，其中，初始副瓣区指除平顶区以外的区域，迭代副瓣区指每次迭代
允许进行电平调整的副瓣区域。

图1 综合示意图
为减少主副瓣之间因过渡带选择不当而导致方向图迭代失败，下面设计一种二阶差分运算下自动确定过渡带的方法。

首先，对已有方向图做二阶差分运算：
D=diff{sign[diff(F)]}。

(9)
式中：K表示方向图F有K个离散值，diff[·]表示差分运算，sign[·]表示符号运算。

规定计算时先计算对应坐标靠右的数。

第一次差分运算，利用极值点之间的异号性得到互相异号的两个数，取符号后得到1和-1，非极值点会得到相同的两个数。

然后进行第二次差分运算，若为极小值点，则为2；若为极大值点，则为-2；非极值点，则为0。

DSL={m|DS(m)=2,m∈[1,a)}，
(10)
DSR={m|DS(m)=2,m∈(b,K]}。

(11)
式中：DSL表示所有极小值点在主瓣左侧位置的集合，DSR表示所有极小值点在
主瓣右侧位置的集合。

所以迭代副瓣区的范围为
SIk={m|m∈[1,ak]∪[bk,K]}。

(12)
(13)
式中：ak和bk为第k次迭代中距离主瓣最近的两个副瓣区极小值点位置，所以
副瓣区的投影算子PMS为
(14)
式中：下标m表示改变第m个点的值；SLLT表示设定的副瓣阈值，SSLL为预先设计的副瓣电平，通常SSLL≪SLLT；PMS在每次迭代时根据距离主瓣最近的两个副瓣区极小值点位置自适应调整副瓣区，可使过渡带调整到最小且不影响综合效果。

为尽量避免在主瓣区电平调整时对副瓣区电平的影响，设计的主瓣区投影算子如下：根据差分运算可得主瓣区极小值点位置的集合为
DMM={m|D(m)=2,m∈[a,b]}。

(15)
主瓣区投影算子PMM为
(16)
式中：k表示第k次迭代；P是迭代次数的最大值；MLLT为主瓣阈值；PMM只
选取位于主瓣区的极小值点进行调整，并且随着迭代次数的增加，调整的幅度也在不断减小，以减少对其他的区域的影响，增加收敛速度。

为保证收敛稳定，过渡区投影算子PMT保留原有的过渡区中点的值，表示为
(17)
目标投影算子PM为
(18)
根据前面的分析，可实现方向图投影算子PB为
PBF=IFFT·fN·ff·FFT(F)。

(19)
由于阵列只有N个阵元，fN算子表示将第N+1个到最后一个元素置零，ff算子表示失效阵元所对应位置的值是0。

综上所述，可以得到不含零点的平顶方向图计算过程，表示为
Fk+1=PBPMFk。

(20)
3.2 零点生成投影算子设计
由上述可知，主瓣区的电平调整会对零陷深度产生干扰，为了避免此种现象，在生成零陷时在已形成方向图的基础上进行第二次迭代，以最小的代价获得最好的方向图形成效果。

首先根据不同的干扰源方向生成零点位置的集合DZ，对零点位置生成零陷的方向图投影算子PM0设计为
(21)
式中：PMM0为主瓣区投影算子，PMT0为过渡带投影算子，PMS0为迭代副瓣区投影算子，PMZ0为零点投影算子，a0和b0的值为不含零点的方向图迭代结束时的ak和bk的值，且PMM0、PMT0和PMS0分别满足
PMM0=PMT0=PMT和PMS0=PMS。

零点投影算子PMZ0为
(22)
式中：NDLT为零陷调整阈值也就是预先设计的零陷深度，SNDL为设计好的零陷深度，一般SNDL≪NDLT。

相应地可实现零点投影算子PB0满足PB0=PB。

含有零点的平顶方向图计算过程可表示为
Fk+1=PB0PM0Fk 。

(23)
3.3 初始化激励的选择
为了得到合适的初始激励，本文采用基于切比雪夫加权的方法设计初始阵因子方向图(见图2)。

首先根据主瓣宽度设置主瓣区的大小，然后将副瓣电平的值设计为期望的大小，对幅度进行归一化，最后对方向图进行FFT变化后得到初始化激励。

图2 初始阵因子方向图
3.4 平顶方向图综合步骤
根据上述分析，该算法是一个迭代投影不断逼近理想方向图的一个过程，投影算子是其计算的主要工具，其综合步骤如图3所示。

图3 算法流程图
4 仿真分析
在不特殊说明时，考虑阵元个数是30的全向天线阵列，阵元间距是半个波长，副瓣电平阈值SSLL=-80 dB，主瓣允许的波动范围MLLT=-0.1 dB。

4.1 算法效率仿真分析
仿真时，依次改变阵元个数是[20,25,30,…,50]，期望主瓣宽度是20°，副瓣电平不超过-30 dB，将文献[2]中的算法与本文算法进行运行时间和方向图上的比较。

如图4所示，随着阵元个数的增多，文献[2]算法的运行时间大幅度增加，而本文算法基本上保持在一定的范围，说明本文算法在阵元增多时在节约运行时间上具有更大的优势。

图4 运行时间对比
如图5所示，对比本文算法与文献[2]算法的方向图综合效果，可以看出两种算法
均可以达到方向图的要求，但是本文算法可以更好地提高运行效率，节省运行的时间。

图5 方向图对比
4.2 不同副瓣阈值对综合性能的影响
设定平顶方向图的宽度是20°，副瓣阈值分别设置为[-30 dB，-35 dB，-40 dB，-45dB]，对比在不同阈值下过渡带、主瓣区波动、副瓣区峰值、迭代次数等主要
参数的变化。

如图6所示，本文算法可以很好地自动确定过渡带并控制副瓣区域的峰值，使其
均低于设置的副瓣区阈值，本文算法与文献[2]算法均可以达到方向图的要求。

而
根据表1可知，副瓣阈值越低，所需的迭代次数越多，主瓣区波动也更大，这是
上一节中提到的临近点的能量泄露现象导致。

同时，过渡带越宽，所需要的迭代次数也越多，主瓣波动也越大。

整体上，综合得到平顶方向图均能达到预定的参数值，说明本文算法具有可行性。

图6 副瓣阈值为-30 dB时的平顶方向图表1 不同副瓣阈值下平顶方向图主要参数分析
副瓣阈值/dB过渡带/(°)主瓣波动/dB副瓣峰值/dB迭代次数-3090.40-30.012
014-4090.45-40.102 924-40100.65-40.016 181-45100.86-45.218 100
4.3 主瓣宽度对平顶方向图的影响
设定方向图的主瓣宽度依次为[20°，30°，40°，50°]，副瓣阈值预设为-30 dB，
对比在不同主瓣宽度下，过渡带、平顶波动、副瓣峰值、迭代次数等主要参数的变化。

如图7所示，本文算法可以较好地综合方向图，较之文献[2]的方法，在主瓣宽度
较宽的情况下可以更好地使副瓣电平达到设定的要求，适应性更强。

图7 主瓣宽度为40°的平顶方向图
由表2可知，在不同的主瓣宽度下，本文算法能够自动确定过渡带的大小，并使
副瓣峰值，主瓣波动以及宽度达到预定的值，说明本文算法具有良好的方向图形成能力。

而且，随着主瓣宽度的增加，所需的迭代次数也在逐渐增加，这是因为调整的点个数增加，减慢了收敛的速度。

表2 不同主瓣宽度下平顶方向图主要参数分析主瓣宽度/(°)过渡带/(°)主瓣波动/dB 副瓣峰值/dB迭代次数2080.41-30.102 0143080.63-30.082 7744080.59-
30.113 6275080.43-30.075 655
4.4 带零点抑制的平顶方向图仿真
设置方向图的主瓣宽度是20°，副瓣阈值是-30 dB，干扰方向为40°，零陷深度分别设为[-50 dB，-60 dB,-70 dB，-80 dB]，对比不同零陷深度下过渡带、主瓣波动、副瓣峰值、二次迭代次数等主要参数的变化。

从图8中可以看出，本文算法可以在预设的干扰方向上形成零陷，抑制干扰信号；文献[2]的方法在形成零陷时，由于零陷位置的调整，导致优化时很难收敛，所形
成的零陷区域效果不理想。

分析表3可知，随着零陷深度的增加，所需要的二次
迭代次数也在不断地增加，但是所需要的次数却在大大减少，说明在原有的方向图基础上可以快速地形成零陷，且不会破坏原有的方向图性质，在抑制移动的干扰源方面具有一定的优势。

图8 零陷深度为-60 dB的平顶方向图表3 不同零陷深度下平顶方向图主要参数分析
零陷深度/dB过渡带/(°)主瓣波动/dB副瓣峰值/dB二次迭代次数-5080.41-
30.08130-6080.41-30.09200-7080.41-30.10260-8080.41-30.10320
4.5 阵元失效方向图修复仿真
一般的方向图都是在所有阵元都完好的情况下形成的，即图6所示方向图(主瓣宽
度20°，副瓣阈值-30 dB)。

实际中，阵元可能因为环境等影响而失效，当有10%
的阵元随机失效时(分析最坏情况下的方向图修复性能，连续三个阵元失效，假定
失效阵元的序号分别为5、6、7)，对比分析阵元失效后和修复后方向图的性能。

如图9所示，阵元失效后的方向图较之图6副瓣峰值电平从-30 dB上升到-10 dB，主瓣宽度有所减小。

而通过本文算法修复后，主瓣宽度以及副瓣峰值电平都恢复到原来设定的值，只是较之图6中的方向图，主瓣波动的程度有所增加。

经实验，
阵元失效超过20%会导致主瓣宽度达不到要求。

文献[2]的方法在阵元失效后无法修复方向图，这里不再展示其结果。

图9 修复前后的平顶方向图对比
5 结束语
本文根据方向图与阵元权系数之间的变换关系，设计了迭代投影算法和二阶差分运算，实现了一种迭代综合平顶方向图的算法。

基于蝶形运算可以极大地提高运算效率，并且利用投影算子的插值作用，可对阵元失效后的方向图完成修复。

实验结果表明，本文所提方法相比于凸优化的方法具有更高的运算效率，能够实现零陷的快速形成和对部分阵元失效后方向图的修复，但是算法的迭代次数随着副瓣阈值的降低和主瓣宽度的增大而增加。

下一步将继续研究稀疏直线阵列的平顶方向图综合，使稀疏阵列形成的平顶方向图仍然符合要求。

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