高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.2 向量

2.4.2 向量在物理中的应用
课堂导学
三点剖析
一、用向量解决运动学问题
【例1】 如图，一条河的两岸平行，河宽为d 米.一船从A 出发航行到河的对岸，航行的速度大小为|v 1|,水流的速度大小为|v 2|，且|v 1|>|v 2|,那么|v 1|与|v 2|的夹角θ多大时，船才能垂直到达河岸B 处？船航行多少时间？
思路分析：解题时要注意速度是一个向量，应用向量的三角形或平行四边形法则解决时，关键是“水速+船速=船的实际速度”是向量的加法运算.
解：|v |=2221||||v v -,所以船航行的时间t=2221||||||v v d v d -=,又因为t=α
sin ||1•v d , 所以2221||||v v d
-=αsin ||1•v d .所以sinα=212
2||||1v v -.所以
θ=π-arcsin 212
2|
|||1v v -. 答：当|v 1|、|v 2|的夹角为π-arcsin 2
12
2||||1v v -时，船才能垂直到达河岸B 处,船航行时间为2221||||v v d
-.
各个击破
类题演练 1
一艘船从A 点出发以32 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行的速度的大小和方向.
解：如图，|v 1|=32,|v 2|=2,且v 1⊥v 2.所以|v |=
412||||2221+=+v v =4,所以cos∠BAC=2
142||||12==v v .所以∠BAC=60°.所以船实际航行的速度大小为4 km/h ，方向与水流方向的夹角为60°.
变式提升 1
在风速为75（26-） km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行.求没有风时飞机的航速和航向.
解：设v 0=风速，v a =有风时飞机的航行速度，v b =无风时飞机的航行速度（如图）.则v b =v a -v 0,∴v b ,v a ,v 0构成三角形.
设|AB|=|v a |,|BC |=|v 0|,|AC |=|v b |,
作AD∥BC，CD⊥AD 于D ，BE⊥AD 于E ，则∠BAD=45°.
设|AB |=150，则|BC |=75（26-），
∴|CD |=|BE |=|EA |=275，|DA |=675.
从而|AC |=2150，∠CAD=30°,
∴v b =2150 km/h ，方向为西偏北30°.
二、用向量解决力学问题
用向量知识解决力学问题的步骤是用向量的三角形法则或平行四边形法则进行力的合成与分解，然后利用解直角三角形或解斜三角形的知识求得问题的解.
【例2】 已知力F 与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,问力F 和摩擦力f 所做
的功分别为多少？（g=10 m/s 2)
思路分析：物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量及前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解，功是向量的数量积.
解：如图所示，设木块的位移为s ，则
F ·s =|F ||s |cos30°=50×20×35002
3=(J) 将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|=|F |sin30°=50×2
1=25( N).
所以，摩擦力f 的大小为|f|=|μ（G -F 1）|=（80-25）×0.02=1.1( N)，
因此，f ·s =|f ||s |cos180°=1.1×20×(-1)=-22( J),
即F 和f 所做的功分别为3500 J 和-22 J. 温馨提示 在物理学中矢量与矢量运算，与数学中向量与向量运算是相通的，体现了数学知识与其他学科是紧密相连的. 类题演练 2 一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m ，其中|F 1|=2 N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4 N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6 N ，方向为西偏北60°.如图，求合力F 所做的功.
解：如图建立坐标系，则F 1=（1，3），F 2=（32，2），F 3=（-3，33），则F =F 1+F 2+F 3=（32-2，2+34）.
又位移s=（24，24），
故合力F 所做的功为W=F ·s =（32-2）
×24+(2+34)×24=24×36=624(J).
答：合力F 所做的功为624 J.
变式提升 2
如右图，若物体重量为G ，被两根不等长的绳子吊起，绳子两端点A 和B 保持同一高度，且绳子与竖直方向的夹角分别为α和β，试研究f 1和f 2两个拉力的大小.
思路分析：物体处于静止状态，受重力平衡,即f 1和f 2的合力和物体重力是平衡力，可以应用力的分解来处理.
解：建立直角坐标系，则x 1F =OM ，y F 1=ON ，x F 2=OP ，y F 2=OQ .物体在水平方向和竖直方向上，如下图.
受力平衡⎪⎩⎪⎨⎧
=+-=.,2121G F F F F 即⎩⎨⎧=+=.||cos ||cos ||,sin ||sin ||2121G F F F F βαβα
解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=.tan sin cos ||||,tan sin cos ||21α
β
ββ
ααG F G F 故两根绳子的拉力大小为βααtan sin cos ||+G 和α
ββtan sin cos |
|+G .。