2022-2023学年浙江省宁波市高二上学期期末数学联考检测试卷(含解析)

2022-2023学年浙江省宁波市高二上册期末数学联考检测试卷
第I 卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
直线30x -+=的倾斜角为（）
A.
6
π B.
3
π
C.
23
π D.
56
π【正确答案】A
【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角；
【详解】解：直线30x -+=
的斜率3k =
，设倾斜角为θ
，则tan 3
θ=，因为0180θ︒≤<︒，所以30θ=︒
故选：A
2.设一组样本数据12,,,n x x x ⋯的均值为2，方差为0.01，则数据1210,10,,10n x x x ⋯的均值和方差分别为（）
A.20;0.01
B.20;0.1
C.200;1
D.20;1
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合平均数与方差的计算公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知新数据的平均数为
1
1
101010220
n
n
i
i
i i x
x
n
n
===⨯
=⨯=∑∑；
方差为()()
2
2
1
1
10100101001000.011
n
n
i i i i x x n
n
==--=⨯
=⨯=∑
∑.
故选：D.
3.设,x y R ∈，向量()()(),2,2,1,,1,1,2,1a x b y c ===- ，且,a c b c ⊥
∥，则+= a b （
）
A.
B.
C.
D.【正确答案】C
【分析】由向量的关系列等式求解x ，y 的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.
【详解】向量(,2,2),(1,,1),(1,2,1)a x b y c ===-
，
且,a c b c ⊥ ∥，
∴420
211a c x y ⋅=-+=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
，解得22x y =⎧⎨
=-⎩∴(21,22,21)(3,0,3)a b +=+-+=
，
∴||a b +==
C 正确.
故选：C ．
4.对空间中任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，能得到P 在平面ABC 内的是（）
A.2AP OA OB OC →
→
→
→
=-- B.O B OA B OC
P →→→→
=++C.234CP OA OB OC →→→
→
=+- D.2AB AP OC
→→→
=+【正确答案】A
【分析】用向量来判定点P 在平面内ABC ，只需要满足：OP xOA y OB z OC →→→→
=++（1x y z ++=）【详解】因为A 、B 、C 三点不共线，则CA CB
,不共线，
若,,,P A B C 四点共面，则存在唯一的一组实数,x y 使得CP xCA yCB =+
，即()()OP OC x OA OC y OB OC -=-+- ，变形得(1)OP xOA yOB x y OC =++-- ，
对于A ，2AP OP OA OA OB OC →
→
→
→
→
→
=-=--，整理得3A O O OC P OB →→→
→=--，则3111--=，所以P 在平面ABC 内，故选项A 正确；
对于B ，B P O OA O OC B OB P →
→
→
→
→
→
+-+==，可得：0O O OA C B P O →
→
→
→
=--+⋅则1101--+≠，故P 不在平面ABC 内，故选项B 错误；
对于C ，234CP OP OC OA OB OC →
→
→
→
→
→
=-=+-，可得：233OP OA OB OC →
→
→
→
=+-，则2331+-≠，故P 不在平面ABC 内，故选项C 错误；
对于D ，2AB OB OA OP OA OC →
→
→
→→→⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，可得：12OP OB OA OC →→→→⎛⎫
=+- ⎪
⎝⎭
则
()1
11112
+-≠，故P 不在平面ABC 内，故选项D 错误；故选：A
5.过双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b
-=>>内一点()1,1M 且斜率为1
2的直线交双曲线于,A B 两点，
弦AB 恰好被M 平分，则双曲线C 的离心率为（）
A.
2
B.
C.
D.
【正确答案】C
【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12122,2x x y y +=+=，
12121
2
y y x x -=-，将,A B 两点的坐标
代入双曲线方程相减，再结合1212,,,x x y y 的关系，可得222b a =，从而可得23e =，从而可得答案.
【详解】解：由题意可得12122,2x x y y +=+=，且
12121
2
y y x x -=-，
又因为22
112
222
2222
11y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以
121212212211()()()()0y y y y x x x x a b +-++-=，即有
121222
22()()y y x x a b -=-，所以
2212212
2
2
1
22y y a b x x b a -===-，所以222b a =，
所以22223c b a a =+=，
所以2
2
23c e a
==，
所以e =故选：C.
6.已知函数()f x 及其导函数()f x '满足()()ln 31f x x f x =-'，则()1f '=（）A.
14
B.0
C.
12
D.
13
【正确答案】A
【分析】根据题意，对原式进行求导，然后令1x =，代入计算，即可得到结果.【详解】因为()()ln 31f x x f x =-'，则()()1
31f x f x
''=-令1x =，则()()1131f f ''=-，解得()114
f '=故选:A
7.已知椭圆C 和双曲线E 具有相同的焦点，离心率分别为12,e e ，椭圆的长轴恰好被双曲线的焦
点､顶点､中心平分为若干条等长线段，则（）
A.121e e =
B.1243
e e =
C.123e e =
D.1252
e e +=
【正确答案】B
【分析】根据题意确定椭圆顶点坐标、双曲线顶点坐标、焦点用a 表示，进而可求解.【详解】不妨设焦点在x 轴上，
根据题意，若双曲线的实轴长为2a ，则椭圆的实轴长为6a ，
则有椭圆的左右顶点为()3,0,(3,0)a a -，双曲线左右顶点为(),0,(,0)a a ，焦点为()2,0,(2,0)a a -，所以12222,233a a
e e a a =
===，所以1243e e =，故A 错误，B 正确；213e e =，故C 错误；128
3
e e +=
，故D 错误，故选:B.
8.已知()e 0x
f x ax b =++≥对任意x ∈R 恒成立，其中,a b 为常数且0a ≠，则（）
A.0
ab ≥ B.1b >-C.()ln a b a a -≤- D.ln b a a a
-≤-【正确答案】C
【分析】首先求得()f x '；当0a ≥时，可知()f x 单调递增，分别在10b +≤和10+>b 的情况下，说明存在()0f x <的区间，可知0a ≥不合题意；当a<0时，根据()f x 单调性可求得最小值()()
ln f a -，由()()
ln 0f a -≥可整理得到结果.
【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()e x
f x a '=+；
①当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x \在R 上单调递增，且()01f b =+；若10b +≤，即1b ≤-，则当(),0x ∈-∞时，()0f x <，不合题意；若10+>b ，即1b >-，则()00f >，()1
10e
f a b -=
-+<，()01,0x ∴∃∈-，使得()00f x =，则当()0,x x ∈-∞时，()0f x <，不合题意；
②当a<0时，若()()
,ln x a ∈-∞-，则()0f x '<；若()()
ln ,x a ∈-+∞，则()0f x ¢>；
()f x \在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()
ln ,a -+∞上单调递增，
()()()()ln ln f x f a a a a b ∴≥-=-+-+，
若()0f x ≥恒成立，则()ln 0a a a b -+-+≥，即()ln a b a a -≤-；综上所述：a<0且()ln a b a a -≤-.故选：C.
关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够将问题转化为()min 0f x ≥，从而分别在0a ≥和a<0的情况下讨论()f x 的单调性，进而由单调性确定最小值.
二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若动点P 满足PA
k PB
=（0k >且1k ≠）其中点,A B 是不重合的两个定点），则点P 的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点()2,0A -，
()2,0B ，动点P 满足PA
PB
=，点P 的轨迹为圆C ，则（）
A.圆C 的方程为22
(6)32
x y -+=
B.若圆C 与线段AB 交于点M ，则
AM MB
=C.圆C 上有且仅有两个点到直线3420x y ++=
D.设动点(),P m n ，则2268m n m n +--
的最大值为32+【正确答案】ABD
【分析】设点(),P x y 代入关系式
PA
k PB
=化简可得(),P x y 的轨迹方程为一个圆，可判断AB ；
利用圆心()60C ，
且与直线3420x y ++=的距离为44<<，可判断C ；利用()()2
2
22683425+--=-+--m n m n m n ，转化为圆心C 到点()3,4的距离加上圆C 的半径
后，再平方再减去25可判断D.
【详解】设P x y （，），由
PA PB
=()()22222222++=-+x y x y ，
整理得221240x y x +-+=，即()2
2632x y -+=，故A 正确；
M 在C 上，所以
AM MB
=，故B 正确；
过圆心()60C ，
且与直线3420x y ++=平行的直线方程为34180x y +-=，
圆心()60C ，
到直线3420x y ++=的距离为36402
45
⨯+⨯+=<，所以直线与圆相交，
4<<，所以在直线34180x y +-=与直线3420x y ++=之间的圆弧上有两个点到
直线直线3420x y ++=，在直线34180x y +-=的另一侧的圆上还有两个点到直线3420x y ++=
，共有4个点，故C 错误；
设动点(),P m n ，所以()2
2632-+=m n ，
则()()2
2
22683425+--=-+--m n m n m n ，即求圆C 上的点到点()3,4的距离的平方减去
25的最大值，转化为圆心C 到点()3,4的距离加上圆C 的半径后，再平方再减去25即可，所以
2
2532+-=+，故D 正确.
故选：ABD.
10.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为111,CC A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（
）
A.32BF =
B.1BC EF
⊥ C.平面BEF 的一个法向量为()2,3,4D.平面BEF 与平面1BA F 所成角的正切值为73
【正确答案】BC
【分析】根据题意，得到各点的坐标，结合空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意可得()()()()()()
110,0,0,2,2,0,1,0,2,0,2,2,0,2,1,2,0,2D B F C E A 对于A ，因为()1,2,2BF =-- ，则
3BF =
= ，故A 错误；
对于B ，因为()()12,0,2,1,2,1BC EF =-=- ，则12020BC EF ⋅=-++=
，
所以1BC EF ⊥
，故B 正确；
对于C ，因为()1,2,2BF =-- ，()1,2,1EF =-
，
设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =
，
则22020n BF x y z n EF x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，解得232z x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
，令2x =，则3,4
y z ==所以平面BEF 的一个法向量为()2,3,4，故C 正确；
对于D ，因为()()10,2,2,1,2,2BA BF =-=--
，
设平面1BA F 的法向量为()
,,m x y z =
则1220220
m BA y z m BF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，解得z y =，0x =令1y z ==，则平面1BA F 的一个法向量为()0,1,1m =
设平面BEF 与平面1BA F 所成角为θ，
则cos cos ,m n m n m n
θ⋅=<>==
⋅
显然平面BEF 与平面1
BA F 所成角为锐二面角，即cos
θ=
sin θ=
，所以sin 51
tan cos 7
θθθ=
=
，故D 错误；故选:BC
11.已知抛物线()2
20x ay a =≠，过焦点F 的直线l 与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y 两点，则
下列说法正确的是（
）
A.抛物线的准线方程为2
a
x =-B.122
116y y a =-
C.若2AF BF
=，则l 的斜率为±
D.CD 是过焦点且与AB 垂直的弦，则
112a AB CD
+=【正确答案】BCD
【分析】A 选项，将抛物线方程写出标准形式，求出准线方程，A 错误；B 选项，设出直线l 方程为1
8x my a
=+
，与抛物线方程联立后，根据韦达定理求出两根之积；
C 选项，由2AF BF =，得到122y y =-，结合两根之积，求出28y a
=±，分两种情况，结合两根之和求出m 的值，进而求出直线的斜率；
D 选项，利用焦点弦长公式求出212a m AB +=，从而结合斜率关系求出221
2m CD m a +=，得到
11
2a AB CD
+=.【详解】()2
20x ay a =≠变形为()2102y x a a =
≠，准线方程为1
8x a
=-，A 错误；设过焦点1,08F a ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 方程为18x my a =+，
与抛物线()2
102y x a a =≠联立得：221
2016m y y a a
--=，则122m
a y y =
+，122
116y y a =-，B 正确；因为2AF BF =，所以122y y =-，代入122116y y a =-中，解得：2
2
8y a
=±，
当228y a =
时，12422a y y =-=-，则82422m a
a a =
+-，解得：4m =-，
故直线l 的斜率为
1
m
=-当228y a =-
时，12422a y y =-=，则82422a a a m -=，解得：24
m =，
故直线l 的斜率为
1
m
=，
则l 的斜率为±，C 正确；由焦点弦长公式可得：
()()2
2212121212242211144a y y a y y y y a
a AB x x a =+=⎡⎤+
⎣⎦-=++++
2221221
2814a a a a a m m ⎡⎤⎛⎫⎢⎥
⎪ ⎪⎢⎥=+=⎝
⎦
+⎭⎣+，
CD 是过焦点且与AB 垂直的弦，同理可得：2
2211122m m CD m a a ⎛⎫
-+ ⎪+⎝⎭
==
，
故
222112221
1
a a m a AB C m D m ++==++，D 正确.故选：BCD 12.已知()2022(0)x
f x x x =>，若整数,,a b c 满足2a b c ≤<<，则()()(),,f a f b f c 的大小关
系可能为（
）
A.()()()f a f b f c <<
B.()()()f c f b f a <<
C.()()()f c f a f b =<
D.()()()
f c f b f a <=【正确答案】BCD
【分析】对()f x 两边同时取对数，令()()2022
ln ln g x f x x x
==⋅，对()g x 求导得出单调性，即可求出()f x 的单调性，即可得出答案.【详解】因为()202200x
x f x x >=>，，对()f x 两边同时取对数，所以令()()20222022
ln ln ln x
g x f x x x x
===
⋅，所以()()222022202212022ln ln 1g x x x x x x x ⎛⎫=-
⋅+⋅=-- ⎪⎭'⎝
，所以()g x 在()0e ，上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由复合函数“同增异减”的原则，可知，
()f x 在()0e ，上单调递增，在()e,+∞上单调递减，
因为2a b c ≤<<，所以若e a b c <<<，则()()()f c f b f a <<，若2e a b c ≤<<<，则可能()()()f c f b f a <=，若2e<a b c ≤<<，则可能()()()f c f a f b =<.
当2e a b c ≤<<<，则()()()f a f b f c <<，但因为,,a b c 为整数，而在区间()2,e 不存在正整数，所以()()()f a f b f c <<不成立.
故选：BCD .
第II 卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.甲乙丙三人进行射击练习，已知甲乙丙击中目标的概率分别为0.40.50.8､､，则三人中至少有两人击中目标的概率为__________.【正确答案】0.6##
35
【分析】根据题意，分别求得三人均未击中目标与只有一人击中目标的概率，然后用1减去其概率之和，即可得到结果.
【详解】根据题意，三人均未击中目标的概率为0.60.50.20.06⨯⨯=；只有一人击中目标的概率为0.40.50.20.60.50.20.60.50.80.34⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以三人中至少有两人击中目标的概率为10.060.340.6--=故答案为:0.6
14.过点()0,2的直线l 与椭圆2
2:16
x C y +=交于,P Q 两点，则PQ 的最大值是__________.
【正确答案】
10
【分析】根据联立后弦长公式和换元法以及二次函数得最值即可求解.【详解】①当直线斜率存在时，设直线方程为：2
y kx =+联立22
162x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，
得()2
2626x kx ++=，即22(16)24180k x kx +++=，所以121222
2418
,1616k x x x x k k
+=-
⋅=++，
所以PQ =
，
===令216(1)k t t +=≥，
则原式=
令1(01)m m t
=<≤，
则原式=当1
40
m =
时取得最大值，
此时，10
PQ ==
.②当直线斜率不存在时，
952210
PQ b ==<
所以PQ 的最大值是
10
.
故填.
10
15.已知四棱锥P ABCD -的底面为边长为2的正方形，
,,,PB PC BC PA PD M N ====
分别为AB 和PC 的中点，则平面DMN 上任意一点
到底面ABCD 中心距离的最小值为__________.【正确答案】
38
【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐标系，由点到面的距离即可求得平面DMN 上任意一点到底面ABCD 中心距离的最小值.
【详解】 四棱锥P ABCD -的底面为边长为2的正方形，连接,AC BD 且相交于点O ，则点O 是底面ABCD 中心，2PB PC BC ===，取BC 的中点F ，连接PF ，则PF BC ⊥，
又PA PD ==
= ((2
2
2
2
2
2
22222
2
22,22DC CP DP AB BP AP
∴+=+==+=+==
∴,PC DC AB PB
⊥⊥又PC BC P ⋂=，AB DC
∴CD ⊥面PBC
又 CD ⊂面ABCD ，
∴面PBC ⊥面ABCD
又 PF BC ⊥，BC 为面PBC 与面ABCD 的交线，PF ⊂平面PBC
PF ∴⊥面ABCD
又OF ⊂面ABCD ，CF ⊂面ABCD ，
,PF OF PF CF
∴⊥⊥以F 点为原点，以,,FC FO FP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,1,0O ，()1,2,0D ，()1,1,0M -，13,0,22N ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
设平面DMN 的法向量为(),,m x y z = ，
设O 到平面DMN 的距离为d ，
则()()(
),,2,1,002003,,,1,0320022x y z x y m DM x y z x y m NM ⎧⋅--=⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎪
⇒⇒⎛⎨⎨⎨
⋅--=-+= ⎪⋅=⎪⎩⎪⎩ ⎝⎭⎩ 令1x =，则731,2,3m ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，
代入距离公式得
3
8
m OD d m
⋅==
，故答案为.
8
16.已知不等式221
e ln ln (0)2
x
kx x x k k -+≥+>恒成立，则k 的最大值为__________.
【正确答案】2
e 【分析】法一：利用同构得到e x
≥，即2
e x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，构造()e x g x x =，0x >，利用导函数
求出其最小值，得到2e k ≤；
法二：先代入1x =求出2e k ≤，再构造函数，证明其必要性即可.
【详解】法一：221
e
ln ln (0)2
x
kx x x k k -+≥+>变形为(
)
)
2
2e lne )ln
x
x +≥+，
构造2ln y x x =+，定义域为()0,∞+，则1
20y x x
'=+
>在()0,∞+上恒成立，所以2ln y x x =+在()0,∞+单调递增，
故e x ≥，两边平方后变形得到2
e
x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，
构造()e x
g x x
=，0x >，
则()()2e 1x x g x x
-'=，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，
故()e x
g x x =在1x =处取得极小值，也是最小值，
可知min
e e x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，故2e k ≤，
k 的最大值为2e ；
法二：221e
ln ln (0)2x
kx x x k k -+≥+>中令1x =得：21
e 1ln 2
k k +≥+，
解得：2e k ≤，当2e k
=时，只要证222e e ln 1x x x x -+≥+，0x >，
其中ln 1x x ≥+，0x >显然成立，
以下是证明过程：构造()ln 1h x x x =--，0x >，
()1
1h x x
'=-
，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，故()ln 1h x x x =--在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()()10h x h ≥=，故ln 1x x ≥+，0x >，
只要证222e e 0x x -≥，即222e e x x ≥，由于e 0,e 0x x >>，故只要e e x x ≥，
构造()e e x
k x x =-，0x >，
则()e e x
k x '=-，当1x >时，()0k x '>，当01x <<时，()0k x '<，
故()e e x
k x x =-在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，
故()()10k x k ≥=，故e e x x ≥，0x >，综上：可得k 的最大值为2e .故2
e 数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开，会后各地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮.某中学在进行二十大精神学习讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，其中成绩分组区间是：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[85,95]，并整理得到如下频率分布直方图，已知图中前三个组的频率依次构成等差数列.
（1）求这部分学生成绩的中位数､平均数（保留一位小数）；
（2）为了更好的了解学生对二十大精神的掌握情况，学校决定在成绩较高的第四､五组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人作为校二十大精神的宣传员，求85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.【正确答案】（1）中位数为69.4，平均数为69.5（2）
2
5
【分析】（1）根据题意，结合平均数，中位数的定义，代入计算，即可得到结果.（2）根据题意，结合古典概型的计算公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】
由题意可知：()0.0050.02520.0050.0250.005101b b a +=⨯⎧⎨++++⨯=⎩
，解得0.02
0.045a b =⎧⎨
=⎩设中位数为x ，则()0.005100.025100.045650.5,69.4x x ⨯+⨯+⨯-=≈.故中位数为69.4平均数为
500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】
由分层抽样得最终5名学生中第四组有4人､第五组有1人
故85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率为11
41
2
5C C 412C 105
P ⨯⨯===18.①圆C 与直线1:10l x y +-=相切；②圆C 被直线2:30l x y +-=
截得的弦长为①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解.
已知圆C 经过点(1,0)A ，圆心C 在直线:50l x y +-=上，且__________.（1）求圆C 的标准方程；
（2）已知圆C '与圆C 关于直线1l 对称，过原点O 的直线m 交圆C '于,M N 两点，求弦MN 中点Q 的轨迹方程.
【正确答案】（1）22(3)(2)8x y -+-=（2）2220
x y x y +++=【分析】（1）若选①，设圆心(),5C x x -，求出圆心C 到1l 的距离可得圆的半径，
再由
r CA ===可求出圆心坐标，从而可求出圆的方程；若选②，设圆心
(),5C x x -，求出圆心C 到2l 的距离，再由弦长，弦心距和半径的关系列方程可求出圆心和半径，
从而可求得圆的方程；
（2）先利用对称的关系求出圆C '的方程，再由Q 在以C O '为直径的圆上，从而可求出其轨迹方程.
【小问1详解】
选①设圆心(
),5,C x x r CA -==圆心C 到1l
的距离d r ===，
所以r CA ===3x =，
所以圆心()
3,2C
所以圆C ：22(3)(2)8
x y -+-=选②设圆心(),5C x x -，圆心C 到2l
的距离d =
=，
因为圆C 被直线2:30l x y +-=
截得的弦长为，
所以圆的半径为r ===因为圆C 经过点(1,0)A ，
所以CA =
=，解得3x =，
解得()3,2C ，圆C ：22(3)(2)8x y -+-=【小问2详解】
设圆心（3，2）关于1l 的对称点为(,)C x y '，则
32
1022
213
x y y x ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得12x y =-⎧⎨
=-⎩所以圆22:(1)(2)8C x y +++='，
因为过原点O 的直线m 交圆C '于,M N 两点，弦MN 中点为Q ，所以OQ C Q
'⊥所以Q 在以C O '为直径的圆上，
设(,)Q x y ，则Q 轨迹方程为(1)(2)0x x y y +++=，即2220x y x y +++=.
19.已知函数()()
3
2
R f x x ax x a =++∈（1）若函数()f x 存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()ln f x x x x ≥+在()0,∞+恒成立，求a 的最小值.【正确答案】（1
）a <
a >（2）1
-【分析】（1）函数()f x 存在两个极值点，等价于23210x ax ++=有两个不同的解，利用判别式大于零求解即可；
（2）()ln f x x x x ≥+在()0,∞+恒成立，即2
ln ln x
x ax x a x x
+≥⇒≥
-，转化为求
()ln x
g x x x
=
-的最大值，利用导数即可得答案.【小问1详解】
因为()()3
2
R f x x ax x a =++∈，所以()'
2321
f
x x ax =++因为函数()f x 存在两个极值点，所以23210x ax ++=有两个不同的解，
所以24120a ->，解得a <a >【小问2详解】
()ln f x x x x ≥+在()0,∞+恒成立，即2ln ln x
x ax x a x x
+≥⇒≥
-恒成立，令()ln x
g x x x
=
-，则()max a g x ≥因为()2
21ln x x g x x
--'=，
设()()2
1ln 10h x x x h =--=⇒，
2ln ,1y x y x =-=-在()0,∞+上都递减，
所以()2
1ln h x x x =--在()0,∞+上递减，
所以，当01x <<时，()0h x >，此时()'
0g x >，()g x 在()0,1上递增，
当1x >时，()0h x <，此时()'
0g x <，()g x 在()1,+∞上递减，
所以()max ()11g x g ==-，所以1a ≥-，即min 1
a =-20.已知直角三角形ABC 中，90BAC ∠= ，24,,CA AB D E ==分别是,AC BC 边中点，将
CDE 和BAE 分别沿着,DE AE 翻折，形成三棱锥,P ADE M -是AD 中点
（1）证明：PM ⊥平面ADE ；
（2）若直线PM 上存在一点Q ，使得QE 与平面PAE 所成角的正弦值为1
4
，求QM 的值.【正确答案】（1）证明见解析（2）36
QM =
【分析】（1）先证PM AD ⊥，PM DE ⊥，再根据线面垂直的判定可证结论成立；
（2）取AE 的中点N ，连MN ，以M 为原点，MD ，MN ，MP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据线面角的正弦值的向量公式可求出结果.【小问1详解】
因为2,PA PD M ==为AD 中点，所以PM AD ⊥；
又因为,DE AD DE PD ⊥⊥，AD ⊂平面平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD PD D =I ，所以DE ⊥平面PAD ，又PM ⊂平面PAD ，所以PM
DE ⊥，
因为AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，AD DE D ⋂=，所以PM ⊥平面ADE 【小问2详解】
取AE 的中点N ，连MN ，则MN MD ⊥，由（1）可知,,MD MN MP 两两垂直，
以M 为原点，MD ，MN ，MP 分别为,,x y z
轴，建立空间直角坐标系，如图：
由2,2,1PD PA DE ===，得()(
)(()1,0,0,1,0,0,,1,1,0A D P E -
，
(()1,0,,2,1,0PA AE ∴=-=
，
设平面PAE 的一个法向量(,,)n x y z =
，
由020
n PA x n AE x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，取x =
y =-1z =-
，得1)n =--
，设()0,0,Q t ，则()1,1,QE t =-
，
14||||QE n QE n ⋅∴==⋅
，解得6
t =
，故6QM =21.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
过点
，左右顶点分别为12,A A ，过左焦点1F 且
垂直于x 轴的直线交双曲线于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好经过右顶点.（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）若P 是直线MN 上异于,M N 的一点，连接12,PA PA 分别与双曲线相交于,Q R ，当y 轴正半轴上的虚轴端点B 到直线QR 的距离最大时，求直线QR 的方程.
【正确答案】（1）2
2
:1
3
y C x -=（2
）612
y x =-
-【分析】（1）由题意可得2
b c a a
=+，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
过点
，解
方程即可求出双曲线C 的标准方程；
（2）[法一]记121,,PA PA A R 的斜率分别为123,,k k k ，由题意可得139k k =，设:RQ x my n =+与双曲线的方程联立，表示出13k k ，代入化简得22310n n ++=，可得直线QR 过定点1,02T ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，当B 到直线QR 的距离最大时BT QR ⊥，即可求出直线QR 的方程；
[法二]设点()2,,P t -设()1:1PA y t x =-+代入2
2
13
y x -=，表示出Q 的坐标，同理表示出R 的
坐标，即可求出直线RQ 的方程，可得直线QR 过定点1,02T ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，当B 到直线QR 的距离最大时BT QR ⊥，即可求出直线QR 的方程.【小问1详解】
因为以MN 为直径的圆恰好经过右顶点，
所以11F M F A =，所以2
b c a a
=+，
222222,20,20c a ac a c ac a e e -=+--=--=2
21,2,3b e e a >∴== ，
设2
2
(0),
3
y x m n -=>代入得1m =，故2
2
:1
3
y C x -=
【小问2详解】
[法一]记121,,PA PA A R 的斜率分别为123
,,k k k 222313,
311R R R R
R R y y y x k k x x -=⇒=⋅=-+又()12
0213,021
P P y k
y k ----==---故139k k =，
设:RQ x my n =+代入()
2
2
2221,316330
3
y x m y mny n -=-++-=222
633
,3131
Q R Q R mn n y y y y m m --+==--，()()()()
139
1111Q R
Q R
Q
R
Q
R y y y y k k x x my
n my n =
=
=++++++()()()2
219919(1)0Q
R
Q
R m y y m n y
y n --++-+=，代入化简得22310
n n ++=QR 不过()111,0,1,2A n n -∴≠-=-
，直线QR 过定点1,02T ⎛⎫- ⎪⎝⎭
当B 到直线QR 的距离最大时BT QR ⊥
，此时1
2
m x =-=--即33612
y x =-
-[法二]设点()()()
122,,1,0,1,0P t A A -- ()1:1PA y t x =-+代入2
2
1
3
y x -=()
22
2
2
2
22
363230,33Q Q
t t
t x t x t x y t t +-----=∴==--同理由()2:13t PA y x =--可得222
2718,2727R R
t t
x y t t +∴=-=--2222222
186122732739273QR
t t t t t k t t t t t +--∴==-+++----则直线22226123:393t t t QR y x t t t ⎛⎫++=-- ⎪-+-⎝⎭即2212699
t t
y x t t =--++
所以直线QR 过定点1,02T ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
当B 到直线QR 的距离最大时BT QR ⊥，此时12
m x =-=--即33
612
y x =-
-
.22.已知函数()()e 0x
f x ax x =+>（1）讨论函数()y f x =的零点的个数；
（2）若函数()y f x =有两个零点12,x x ，证明：12x x -<【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】（1）将问题转化为y a =-与()()e
0x
g x x x
=>交点个数的讨论；
求得()g x '后，根据()g x '的正负可确定()g x 的单调性和最值，由此可得()g x 的图象；分别在e a ->、e a -=和e a -<的情况下，根据交点个数确定()f x 零点个数；
（2）设12x x <，可知1201x x <<<，设()()()2h x g x g x =--，求导后可证得()h x 在()0,1上单调递减，从而确定()()2g x g x >-，代入1x 和()()12g x g x =，结合()g x 单调性可证得
122x x +>，从而将所证不等式转化为12x x -<
不等式右侧部分恰为方程()
()22
e 1110x a x ++-+=的两根34,x x 之差的绝对值，即34-x x 的
形式，则可结合()g x 的变形形式，构造()22
e 1e 14
x
F x x x +=-+-，求导后，结合零点存在定
理可求得()F x 的单调性，得到()0F x ≥，即()2e 1114g x x x +≥-+，令2e 11
14x a x
+-+=-，
其两根为
34
,x x ，可知
1234
x x x x -<-，结合韦达定理可得
34x x -<
，由此可得结论.
【小问1详解】
令()0f x =，则e x
a x -=，令()()e 0x g x x x
=>，
则()f x 零点个数即为y a =-与()g x 交点个数；
()
()2
1e x x g x x
-'=
，令()0g x '=，解得：1x =，
则当()0,1x ∈时，()0g x '
<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；
()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 1e g x g ∴==，
由此可得()g x 图象如下图所示，
当e a ->，即e a <-时，y a =-与()g x 有两个不同交点；当e a -=，即a e =-时，y a =-与()g x 有唯一交点；当e a -<，即e a >-时，y a =-与()g x 无交点；
综上所述：当(),e a ∈-∞-时，()f x 有两个不同零点；当a e =-时，()f x 有唯一零点；当
()e,a ∈-+∞时，()f x 无零点.
【小问2详解】
不妨设12x x <，由（1）中y a =-与()y g x =关系可知：1201x x <<<；
令()()()2h x g x g x =--，01x <<，则()()()222e e 12x x h x x x x -⎛⎫
'=--
⎪ ⎪-⎝⎭，令()()2e 01x
H x x x =<<，则()()3
e 20x x H x x
-'=<，()H x ∴在()0,1上单调递减；
()0,1x ∈ ，2x x ∴<-，()22
2e e 02x x
x x -∴-
>-，则()0h x '<，()h x ∴在()0,1上单调递减，()()10h x h ∴>=，即()()2g x g x >-，
又101x <<，()()112g x g x ∴>-，又()()12g x g x =，()()212g x g x ∴>-，
21x > ，121x ->，()g x 在()1,+∞上单调递增，212x x ∴>-，即122x x +>；
则只需证12x x -<
令()22e 1e 14x
F x x x +=-+-，则()2e 1e 12
x
F x x +'=-+，
令()()G x F x '=，则()2e 1e 2x
G x +'=-，令()0G x '=，解得：2
e 1
ln 2
x +=，
∴当2e 10,ln 2x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '<；当2e 1ln ,2x ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '
>；
()F x '∴在2e 10,ln 2⎛⎫
+ ⎪⎝⎭上单调递减，在2e 1ln ,2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
又()02F '=，()22e e 1102F -+'=<，()20F '=，2
e 1
2ln
2
+>，()00,1x ∴∃∈，使得()00F x '=，
∴当()()00,2,x x ∈+∞ 时，()0F x '>；当()0,2x x ∈时，()0F x '<；
()F x ∴在()()00,,2,x +∞上单调递增，在()02x ,上单调递减，
又()00F =，()20F
=，∴当0x >时，()0F x ≥，
即22e 1e 14x
x x +≥-+，则()2e e 11
14x g x x x x +=≥-+，
令2e 1114x a x
+-+=-，则()()22
4e 44440x a x ++-+=，
()()22e 1110x a x ∴++-+=，则两根为34,x x ，且1234x x x x -<-，3421e 1a x x -+=
+ ，342
1
e 1
x x =+，
34x x ∴-==
12
x x ∴-<.
关键点点睛：本题考查利用导数求解函数零点个数、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够利用极值点偏移求解方法确定122x x +>，从而将所证不等式进行放缩，进一步通过构造函数的方式证得不等式.。