甘肃省会宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

第一学期期中考试 高二级数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命
题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，由右图可证明 ( ) A ．b a b a +≥+22 B ．224b a ab +≥ C ．ab b a 2≥+
D ．ab b a 222≥+
2.在ABC ∆中，2=a ，3=b ，4
π
=A ，则=B ( )
( )
A ．
3π B ．32π C ．3π或32π D ．6
π
3.在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，那么ABC ∆是 ( ) A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．非钝角三角形
4.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC ∆的面积为4
2
22c
b a -+，
则角C ＝ ( )
( )
A ．
2π B ．3π C ．4π D ．6
π
5.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足A c sin C a cos 3=，
则B A sin sin + 的最大值是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．3
6.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若
9535=a a ，则=5
9S S
( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．
2
1
7.已知数列}{n a 为等差数列，若110
11
-<a a ，且其前n 项和n S 有最大值，则使得0>n S 的最大值n 为 ( )
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
8.已知各项都是正数的等比数列}{n a ，n S 为其前n 项和，且103=S ，709=S ，那么=12S ( )
A ．150
B ．200
C ．150或200-
D ．200或150-
9.若数列}{n a 的通项公式为122-+=n a n
n ，则数列}{n a 的前n 项和为( )
A ．122-+n n
B ．1221-++n n
C ．2221-++n n
D ．222-+n n 10.若223=+y x ，则y x 48+的最小值为 ( )
A ．4
B ．24
C ．2
D ．22 11.当4≥x 时，1
4
-+
x x 的最小值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．
211 D ．3
16 12.如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1-，另一个大于1，那么
实数m 的取值范围是 ( )
A ．(0，1)
B ．(－2，1)
C ．(－2，0)
D ．(2-，2)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥+-≥++0
2042032x y x y x ，则y x z 31
+=的最大值是______.
14.已知数列}{n a 的前n 项和1232
+-=n n S n ，则其通项公式为______.
15.已知数列}{n a 满足21-=a ，且631+=+n n a a ，则=n a ______.
16.函数)1(1
2
2>-+=
x x x y 的最小值为______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足0cos 3sin =-A b B a (1)求A ；
(2)若7=a ，2=b ，求ABC ∆的面积．
18.（本小题满分12分）
已知关于x 的函数)(12)(2R a ax x x f ∈+-=. (1)当3=a 时，求不等式0)(≥x f 的解集；
(2)若0)(≥x f 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数a 的最大值.
19.（本小题满分12分）
解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax )(R a ∈
20.（本小题满分12分）
设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和.已知1a ，2a ，2S 成等差数列，423=S . (1)求数列}{n a 的通项公式n a ； (2)设n
n
n na b 2
=
.若21+=n n n b b c ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 21.（本小题满分12分）
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且132-=n n a S . (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设n
n a n
b =
，求数列}{n b 的前n 项和n T .
22.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足
22)2
1
c o s (b a b B a c -=-.
(1)求角A ；
(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围．
高二级数学试卷参考答案
一、选择题
二、填空题
13. 3 14. 15. 16.
三、解答题
17.(1)因为a sin B －b cos A ＝0，
所以由正弦定理，得sin A sin B －sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝.由于0<A <π所以A ＝3π
．
(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
而a ＝，b ＝2，A ＝3π
，
得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0， 所以c ＝3，
∴S △ABC ＝21
bc sin A ＝23
．
18.（1）由题意，当
时，函数
， 由
，即
，解得或
，
所以不等式
的解集为
.
（2）因为对任意的恒成立，即，
又由，当且仅当
时，即时，取得最小值，
所以
，即实数的最大值为
.
19.若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1.
若a ＜0，则原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＞0，解得x ＜a 1
或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于(x －a 1
)(x －1)＜0. ①当a ＝1时，a 1＝1，(x －a 1
)(x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，a 1＜1，解(x －a 1)(x －1)＜0得a 1
＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，a 1＞1，解(x －a 1)(x －1)＜0得1＜x ＜a 1
. 综上所述：当a ＜0时，解集为{x |x ＜a 1
或x ＞1}；
当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜a 1
}； 当a ＝1时，解集为∅；
当a ＞1时，解集为{x |a 1
＜x ＜1}．
20.(1)设等比数列的公比为
，
由题意知即，，解得
又由，解得
所以
（2）由（1）
，
所以
所以数列的前项和
21.(1)由2S n ＝3a n －1①
2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)②
①－②得2a n ＝3a n －3a n －1，∴an －1an
＝3(n ≥2)， 又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1， ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －1. (2)由①得：b n ＝3n －1n
∴T n ＝301＋312＋323＋…＋3n －1n
，③
31T n ＝311＋322＋…＋3n －1n －1＋3n n
，④
③－④得：32T n ＝301＋311＋321＋…＋3n －11－3n n
＝31－3n n ＝23－2×3n 2n ＋3，
∴T n ＝49－4×3n 6n ＋9.
22.(1)∵c (a cos B －21
b )＝a 2－b 2
∴a 2＋c 2－b 2－bc ＝2a 2－2b 2，a 2＝b 2＋c 2－bc ∵a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，∴cos A ＝21
.
又0<A <π，∴A ＝3π
.
(2)∵a ＝，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ， 3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， ∵bc ≤(2b ＋c )2, 3≥(b ＋c )2
－3(2b ＋c )2
， (b ＋c )2≤12，即b ＋c ≤2， ∵b ＋c >a ＝，b ＋c ∈(，2]．。