2016-2017高中数学人教A版必修2课件：第二章2.3-2.3.2平面与平面垂直的判定
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因为 S△BCM＝12S△PBC＝2 21，(10 分) 所以 VMBCD＝VDBCM＝13×5 3×2 21＝10 7.(12 分)
第三十六页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
归纳升华 凡涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知 识点的综合题，解决问题的关键是转化：线线垂直⇒线面 垂直⇒面面垂直．
第七页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没 有关系．( )
解析：(1)不符合二面角定义；(3)两射线重合于棱时 是最小角，即 0°.故(1)(3)不正确，由二面角定义知(2)(4) 正确．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
第八页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
第二十三页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
则 QE∥AD，所以 QE⊥PD， 所以 DQ＝QP. 设 QA＝1，则 AB＝1，PD＝2. 在△DQP 中，有 DQ＝QP＝ 2，PD＝2. 所以 DQ2＋QP2＝PD2， 故∠PQD＝90°，即 DQ⊥PQ.
第二十四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
第二十页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以 AD＝BC＝2， 在 Rt△DEB 中，DB＝ 3，BE＝1， 所以 DE＝ DB2－BE2＝ 2，同理 AE＝ 2， 在△AED 中，所以 AE＝DE＝ 2，AD＝2， 所以 AD2＝AE2＋DE2，所以∠AED＝90°， 所以以△BCD 和△BCA 为面的二面角的大小为 90°.
所以 PD＝12AB＝10，所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC，PB∩PC＝P， 所以 AP⊥平面 PBC.(2 分) 又 BC⊂平面 PBC，
第三十二页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以 AP⊥BC. 又 AC⊥BC，AP∩AC＝A， 所以 BC⊥平面 PAC. 失分警示：若漏掉 AP⊥平面 PBC，BC⊥平面 PAC， 而直接得出线线垂直或面面垂直，依据就不够充分．应扣 去 2 分． 又 BC⊂平面 ABC，所以平面 PAC⊥平面 ABC.(4 分)
第三页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[知识提炼·梳理] 1．二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二 面角的面．
第四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
2．二面角的平面角 (1)在二面角的棱上任取一点 O，以点 O 为垂足，在 两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两条射线构成的 角叫做二面角的平面角． (2)二面角的范围是[0，π]． (3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量， 平面角是直角的二面角叫做直二面角．
[变式训练] 如图所示，在四面体 ABCD 中，△ABD， △ACD，△BCD，△ABC 都全等，且 AB＝AC＝ 3，BC ＝2，求以 BC 为棱，以△BCD 和△BCA 为面的二面角的 大小．
第十八页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
解：如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE. 因为 AB＝AC，
第三十四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
(3)解：因为 D 为 AB 的中点，M 为 PB 的中点， 所以 DM 綊12PA，且 DM＝5 3， 由(1)知 PA⊥平面 PBC， 所以 DM⊥平面 PBC，
第三十五页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
失分警示：若漏掉 DM⊥平面 PBC，即没有明确三棱 锥的高，则不严谨，应扣 1 分．
第二十一页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
类型 2 平面与平面垂直的判定 [典例 2] 如图所示，四边形 ABCD 为正方形，PD ⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.证明：平面 PQC⊥平面 DCQ.
第二十二页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
证明：由四边形 ABCD 为正方形，可得 CD⊥AD， 又 PD⊥平面 ABCD， 所以 PD⊥CD，PD⊥AD， 故 CD⊥平面 AQPD，从而 CD⊥PQ. 如图所示，取 PD 的中点 E，连接 QE. 则 DE∥AQ，且 DE＝AQ， 从而四边形 AQED 是平行四边形，
(2) 因 为 AB⊥ 平 面 ADD′A ， 所 以 AB⊥AA′ ， 又 AB⊥AD，所以∠A′AD 为二面角 A′AB-D 的平面角，∠A′ AD＝90°，所以二面角 A′AB-D 的大小为 90°.
第十五页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
归纳升华 1．求二面角大小的步骤： (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出 角的大小．
又 CD∩DQ＝D，所以 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ⊂平面 PQC，所以平面 PQC⊥平面 DCQ.
第二十五页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
归纳升华 1．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般 方法是：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂 线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂 线不存在，则可通过辅助线来解决，而作辅助线时应有理 论根据并有利于证明，不能随意添加．
第五页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
3．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的
二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面 α
与 β 垂直，记作 α⊥β．
(2)判定定理．
文字
图形
符号
一个平面过另一个 平面的垂线，则这 两个平面垂直
l⊥β
l⊂α⇒α⊥β
第六页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
第二十六页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
2．在证明垂直过程中，充分利用给出的线段长度判 断是否构成勾股定理的逆定理．
第二十七页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[变式训练] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，CD ⊥AD.求证：平面 PDC⊥平面 PAD.
(1)求二面角 D′AB-D 的大小； (2)求二面角 A′AB-D 的大小．
第十四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
解 ： (1) 在 正 方 体 ABCD-A′B′C′D′ 中 ， AB ⊥ 平 面 ADD′A，所以 AB⊥AD′，又 AB⊥AD，因此∠D′AD 为二 面角 D′AB-D 的平面角．在 Rt△D′DA 中，∠D′AD＝45°， 所以二面角 D′AB-D 的大小为 45°.
2．直线 l⊥平面 α，l⊂平面 β，则 α 与 β 的位置关系
是( ) A．平行 C．相交且垂直
B．可能重合 D．相交不垂直
解析：由面面垂直的判定定理，得 α 与 β 垂直．
答案：C
第九页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
3．过两点与已知平面垂直的平面有( )源自A．一个B．无数个
C．一个或无数个 D．可能不存在
第十一页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
5．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， AB＝AC＝1，将△ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠，使 平面 ABD⊥平面 ACD，则折叠后 BC＝________．
解析：因为在△ABC 中，AD⊥BC， 所以折叠后有 AD⊥BD，AD⊥CD，
解析：当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已
知平面垂直；当两点连接与平面不垂直时，有且只有一个
平面与已知平面垂直．
答案：C
第十页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
4.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 D1ABD 的大小是________． 解析：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB⊥平面 AD1， 则 AB⊥AD1.又 AB⊥AD， 所以∠D1AD 为二面角 D1ABD 的平面角， 在 Rt△D1AD 中，∠D1AD＝45°. 答案：45°
第三十三页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
(2)解：因为 PA⊥PC，且 PA⊥PB， 所以∠BPC 是二面角 D-AP-C 的平面角．(6 分) 失分警示：若没有说明∠BPC 是二面角的平面角， 解析不完整，应扣去 2 分． 由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， 所以 sin∠BPC＝BPBC＝25.(8 分)
所以 AE⊥BC. 又因为△ABD≌△ACD，AB＝AC， 所以 DB＝DC，
第十九页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以 DE⊥BC， 所以∠AED 为二面角 A-BC-D 的平面角． 又因为△ABC≌△DBC，且△ABC 是以 BC 为底的 等腰三角形，△DBC 也是以 BC 为底的等腰三角形． 所以 AB＝AC＝DB＝DC＝ 3 又△ABD≌△BDC，
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相交平面组成的图形叫做二面角．( ) (2)异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个半平面垂 直，则 a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互 补．( ) (3)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 半平面内作射线所成角的最小角．( )
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第一页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
2.3 直线、平面垂直的判定及其 性质
2．3.2 平面与平面垂直的判定
第二页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[学习目标] 1.理解二面角及其平面角的概念，能确 认图形中的已知角是否为二面角的平面角(易错点)． 2. 掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平 面角(重点、难点)． 3.掌握两个平面互相垂直的概念， 能用定义和定理判定面面垂直(重点、难点)．
证明：因为 PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥CD.
第二十八页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
又因为 CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以 CD⊥平面 PAD. 又因为 CD⊂平面 PDC. 所以平面 PDC⊥平面 PAD.
第二十九页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
类型 3 线面垂直的综合应用(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)如图所示，已知三棱锥 P-ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D 为 AB 的中 点，且△PDB 是正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC； (2)求二面角 D-AP-C 的正弦值； (3)若 M 为 PB 的中点，求三棱锥 M-BCD 的体积．
第三十页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
审题指导：对于(1)，由△ABC 是直角三角形以及 △PDB 是正三角形，寻找线线垂直．
对于(2)，先找出二面角的平面角，再求值． 对于(3)，关键是由垂直找到三棱锥的高．
第三十一页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[规范解答](1)证明：因为 D 是 AB 的中点，△PDB 是 正三角形，AB＝20，
第十六页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
2．确定二面角的平面角的方法． (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个 半平面内分别过该点作垂直于棱的射线； (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与 二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即 为二面角的平面角．
第十七页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
第三十七页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[类题尝试] 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 是边长为 a 的正方形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，求 证：
(1)PD⊥平面 ABCD； (2)平面 PAC⊥平面 PBD； (3)二面角 P-BC-D 是 45°的二面角．
第三十八页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
证明：(1)因为 PD＝a，DC＝a，PC＝ 2a， 所以 PC2＝PD2＋DC2. 所以 PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD，又 AD∩DC＝D， 所以 PD⊥平面 ABCD.
第十二页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以∠BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角．
因为平面 ABD⊥平面 ACD，所以∠BDC＝90°.
在△BCD 中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝ 22，
所以 BC＝
222＋
222＝1.
答案：1
第十三页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
类型 1 二面角的大小与计算(自主研析) [典例 1] 如图所示，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中：
第三十六页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
归纳升华 凡涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知 识点的综合题，解决问题的关键是转化：线线垂直⇒线面 垂直⇒面面垂直．
第七页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没 有关系．( )
解析：(1)不符合二面角定义；(3)两射线重合于棱时 是最小角，即 0°.故(1)(3)不正确，由二面角定义知(2)(4) 正确．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
第八页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
第二十三页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
则 QE∥AD，所以 QE⊥PD， 所以 DQ＝QP. 设 QA＝1，则 AB＝1，PD＝2. 在△DQP 中，有 DQ＝QP＝ 2，PD＝2. 所以 DQ2＋QP2＝PD2， 故∠PQD＝90°，即 DQ⊥PQ.
第二十四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
第二十页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以 AD＝BC＝2， 在 Rt△DEB 中，DB＝ 3，BE＝1， 所以 DE＝ DB2－BE2＝ 2，同理 AE＝ 2， 在△AED 中，所以 AE＝DE＝ 2，AD＝2， 所以 AD2＝AE2＋DE2，所以∠AED＝90°， 所以以△BCD 和△BCA 为面的二面角的大小为 90°.
所以 PD＝12AB＝10，所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC，PB∩PC＝P， 所以 AP⊥平面 PBC.(2 分) 又 BC⊂平面 PBC，
第三十二页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以 AP⊥BC. 又 AC⊥BC，AP∩AC＝A， 所以 BC⊥平面 PAC. 失分警示：若漏掉 AP⊥平面 PBC，BC⊥平面 PAC， 而直接得出线线垂直或面面垂直，依据就不够充分．应扣 去 2 分． 又 BC⊂平面 ABC，所以平面 PAC⊥平面 ABC.(4 分)
第三页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[知识提炼·梳理] 1．二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二 面角的面．
第四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
2．二面角的平面角 (1)在二面角的棱上任取一点 O，以点 O 为垂足，在 两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两条射线构成的 角叫做二面角的平面角． (2)二面角的范围是[0，π]． (3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量， 平面角是直角的二面角叫做直二面角．
[变式训练] 如图所示，在四面体 ABCD 中，△ABD， △ACD，△BCD，△ABC 都全等，且 AB＝AC＝ 3，BC ＝2，求以 BC 为棱，以△BCD 和△BCA 为面的二面角的 大小．
第十八页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
解：如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE. 因为 AB＝AC，
第三十四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
(3)解：因为 D 为 AB 的中点，M 为 PB 的中点， 所以 DM 綊12PA，且 DM＝5 3， 由(1)知 PA⊥平面 PBC， 所以 DM⊥平面 PBC，
第三十五页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
失分警示：若漏掉 DM⊥平面 PBC，即没有明确三棱 锥的高，则不严谨，应扣 1 分．
第二十一页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
类型 2 平面与平面垂直的判定 [典例 2] 如图所示，四边形 ABCD 为正方形，PD ⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.证明：平面 PQC⊥平面 DCQ.
第二十二页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
证明：由四边形 ABCD 为正方形，可得 CD⊥AD， 又 PD⊥平面 ABCD， 所以 PD⊥CD，PD⊥AD， 故 CD⊥平面 AQPD，从而 CD⊥PQ. 如图所示，取 PD 的中点 E，连接 QE. 则 DE∥AQ，且 DE＝AQ， 从而四边形 AQED 是平行四边形，
(2) 因 为 AB⊥ 平 面 ADD′A ， 所 以 AB⊥AA′ ， 又 AB⊥AD，所以∠A′AD 为二面角 A′AB-D 的平面角，∠A′ AD＝90°，所以二面角 A′AB-D 的大小为 90°.
第十五页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
归纳升华 1．求二面角大小的步骤： (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出 角的大小．
又 CD∩DQ＝D，所以 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ⊂平面 PQC，所以平面 PQC⊥平面 DCQ.
第二十五页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
归纳升华 1．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般 方法是：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂 线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂 线不存在，则可通过辅助线来解决，而作辅助线时应有理 论根据并有利于证明，不能随意添加．
第五页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
3．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的
二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面 α
与 β 垂直，记作 α⊥β．
(2)判定定理．
文字
图形
符号
一个平面过另一个 平面的垂线，则这 两个平面垂直
l⊥β
l⊂α⇒α⊥β
第六页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
第二十六页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
2．在证明垂直过程中，充分利用给出的线段长度判 断是否构成勾股定理的逆定理．
第二十七页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[变式训练] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，CD ⊥AD.求证：平面 PDC⊥平面 PAD.
(1)求二面角 D′AB-D 的大小； (2)求二面角 A′AB-D 的大小．
第十四页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
解 ： (1) 在 正 方 体 ABCD-A′B′C′D′ 中 ， AB ⊥ 平 面 ADD′A，所以 AB⊥AD′，又 AB⊥AD，因此∠D′AD 为二 面角 D′AB-D 的平面角．在 Rt△D′DA 中，∠D′AD＝45°， 所以二面角 D′AB-D 的大小为 45°.
2．直线 l⊥平面 α，l⊂平面 β，则 α 与 β 的位置关系
是( ) A．平行 C．相交且垂直
B．可能重合 D．相交不垂直
解析：由面面垂直的判定定理，得 α 与 β 垂直．
答案：C
第九页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
3．过两点与已知平面垂直的平面有( )源自A．一个B．无数个
C．一个或无数个 D．可能不存在
第十一页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
5．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， AB＝AC＝1，将△ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠，使 平面 ABD⊥平面 ACD，则折叠后 BC＝________．
解析：因为在△ABC 中，AD⊥BC， 所以折叠后有 AD⊥BD，AD⊥CD，
解析：当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已
知平面垂直；当两点连接与平面不垂直时，有且只有一个
平面与已知平面垂直．
答案：C
第十页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
4.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 D1ABD 的大小是________． 解析：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB⊥平面 AD1， 则 AB⊥AD1.又 AB⊥AD， 所以∠D1AD 为二面角 D1ABD 的平面角， 在 Rt△D1AD 中，∠D1AD＝45°. 答案：45°
第三十三页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
(2)解：因为 PA⊥PC，且 PA⊥PB， 所以∠BPC 是二面角 D-AP-C 的平面角．(6 分) 失分警示：若没有说明∠BPC 是二面角的平面角， 解析不完整，应扣去 2 分． 由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， 所以 sin∠BPC＝BPBC＝25.(8 分)
所以 AE⊥BC. 又因为△ABD≌△ACD，AB＝AC， 所以 DB＝DC，
第十九页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以 DE⊥BC， 所以∠AED 为二面角 A-BC-D 的平面角． 又因为△ABC≌△DBC，且△ABC 是以 BC 为底的 等腰三角形，△DBC 也是以 BC 为底的等腰三角形． 所以 AB＝AC＝DB＝DC＝ 3 又△ABD≌△BDC，
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相交平面组成的图形叫做二面角．( ) (2)异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个半平面垂 直，则 a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互 补．( ) (3)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 半平面内作射线所成角的最小角．( )
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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2.3 直线、平面垂直的判定及其 性质
2．3.2 平面与平面垂直的判定
第二页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[学习目标] 1.理解二面角及其平面角的概念，能确 认图形中的已知角是否为二面角的平面角(易错点)． 2. 掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平 面角(重点、难点)． 3.掌握两个平面互相垂直的概念， 能用定义和定理判定面面垂直(重点、难点)．
证明：因为 PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥CD.
第二十八页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
又因为 CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以 CD⊥平面 PAD. 又因为 CD⊂平面 PDC. 所以平面 PDC⊥平面 PAD.
第二十九页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
类型 3 线面垂直的综合应用(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)如图所示，已知三棱锥 P-ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D 为 AB 的中 点，且△PDB 是正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC； (2)求二面角 D-AP-C 的正弦值； (3)若 M 为 PB 的中点，求三棱锥 M-BCD 的体积．
第三十页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
审题指导：对于(1)，由△ABC 是直角三角形以及 △PDB 是正三角形，寻找线线垂直．
对于(2)，先找出二面角的平面角，再求值． 对于(3)，关键是由垂直找到三棱锥的高．
第三十一页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[规范解答](1)证明：因为 D 是 AB 的中点，△PDB 是 正三角形，AB＝20，
第十六页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
2．确定二面角的平面角的方法． (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个 半平面内分别过该点作垂直于棱的射线； (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与 二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即 为二面角的平面角．
第十七页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
第三十七页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
[类题尝试] 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 是边长为 a 的正方形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，求 证：
(1)PD⊥平面 ABCD； (2)平面 PAC⊥平面 PBD； (3)二面角 P-BC-D 是 45°的二面角．
第三十八页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
证明：(1)因为 PD＝a，DC＝a，PC＝ 2a， 所以 PC2＝PD2＋DC2. 所以 PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD，又 AD∩DC＝D， 所以 PD⊥平面 ABCD.
第十二页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
所以∠BDC 是二面角 B-AD-C 的平面角．
因为平面 ABD⊥平面 ACD，所以∠BDC＝90°.
在△BCD 中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝ 22，
所以 BC＝
222＋
222＝1.
答案：1
第十三页，编辑于星期五：十七点 五十一分。
类型 1 二面角的大小与计算(自主研析) [典例 1] 如图所示，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中：