2020届 苏教版 随机变量及其分布 单元测试 (1)

随机变量及其分布
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题 1．在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,取后不放回,抽取次数为X ,则“X=3”表示的试验结果是_____. 【答案】前两次均取到正品,第三次取到次品
【解析】ξ=3表示共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品. 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.
点睛：首先要明确随机变量的实际意义，在研究随机变量的结果时，常用以下方法， （1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
2．每次试验的成功率为()01p p <<，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为____________. 【答案】()6
41p p -
【解析】每次试验的成功率为(01)p p <<，
重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功， 所以所求的概率为6
4
(1)p p -⋅. 故答案为： ()641p p -.
3．现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，
其中一等品的件数记为随机变量X,则X 的数学期望 ___________.
【答案】
【解析】由题意可得：随机变量X 服从超几何分布：
，
据此计算可得X 的数学期望
.
点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
4．已知一个不透明的袋中装有大小相同、质地均匀的黑球和白球共10个,从中任取3个球,记随机变量X 为取出的3个球中白球的个数,若P （X =3）=
,则袋中白球的个
数为___________,随机变量X 的数学期望E （X ）为___________. 【答案】6
【解析】 【分析】
利用组合知识，结合古典概型概率公式列方程可求出袋中白球的个数； 的可能取值为 3 结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望. 【详解】
设袋中白球有x 个,P （X =3）=
,
得 =20,x =6.
随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3, 则P （X =0）=
,P （X =1）=
,P （X =2）=
,P （X =3）=
,
所以E （X ）=0×
+1×
+2×
+3×
. 【点睛】
求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 5．已知 X 的分布列为
且设 21Y X =+，则 Y 的方差 ()D Y = ________________．
【答案】
23
【解析】1111EX 1012636=-⨯
+⨯+⨯=-，又 21Y X =+，故2EY 2EX 13
=+= 6．设离散型随机变量 的概率分布如下：
则 的值为__________． 【答案】
【解析】分析：离散型随机变量 的概率之和为1 详解：
解得：。

点睛：离散型随机变量 的概率之和为1，是分布列的性质。

7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是_________. 【答案】
【解析】设“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸出正品”为事件B ， 则事件A 和事件B 相互独立，
在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：
()()65
5
109|6910
P AB P B A P A ⨯===（）．
故答案为5
9
8．从一批含有6件正品，3件次品的产品中，有放回．．．地抽取2次，每次抽取1件，设抽得次品数为X ，则()D X =____________． 【答案】
4
9
【解析】解：因为从一批含有6件正品，3件次品的产品中，有放回．．．地抽取2次，每次抽取1件，设抽得次品数为X ，则()D X =364
2999
⨯⨯
= 9．已知事件A 发生的概率为0.5，事件B 发生的概率为0.3，事件A 和事件B 同时发
生的概率为0.2，则在事件A 发生的条件下、事件B 发生的概率为 . 【答案】0.4
【解析】解：事件A 发生的条件下、事件B 发生的概率为条件概率，则 为
()0.22
()0.55
==P AB P A 10．给出下列函数：①
；②
；③
；④
；⑤ ；
⑥ ；⑦ . 从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是________ 【答案】
【解析】
对于①，定义域为 ，且
，故为奇函数；对于②，定义域为 ，且 ， ，故既不是奇函数也不是偶函数；对于③，定义域为 ，且 ，故是偶函数；对于④，定义域为 ，且
，故是偶函数；对于⑤， 是正切函数，故是奇函数；对于⑥，定义域为 ，且
，故是偶函数；对于⑦，定义域为 ，且
，故是奇函数.
∴共有3个奇函数，3个偶函数
∴从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是
.
故答案为
.
11． 从4名男生和2名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ的数学期望为 . 【答案】1 【解析】
12．某随机变量X 服从正态分布，其概率密度函数为
8
2
81)(x e
x f -
=
π
，则X 的期望
=μ ，标准差=σ 。

【答案】0，2 【解析】
试题分析：概率密度函数为2
22)(21)(σμσ
π--
=x e
x f ，所以X 的期望=μ0，标准差=
σ2.
考点：正态分布.
13．某人射击1次，命中7~10环的概率如下图所示：
则“射击1次，命中不足7环”的概率为 ． 【答案】0.1 【解析】
试题分析：命中不足7环与命中至少7环互为对立事件，至少7环的概率为
0.120.180.280.320.9+++=利用对立事件的概率关系可知命中不足7环的概率为10.90.1-=
考点：互斥事件与对立事件
点评：不可能同时发生的事件为互斥事件，若,A B 是互斥事件且A B 是必然事件，
则,A B 是对立事件，满足()()1P A P B +=
二、解答题
14．为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的 列联表：
根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？
将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为X,求X 的分布列及数学期望。

附：.
2.072
【答案】（1）有97.5%的把握认为“支持政策”与“性别”有关.；（2）.
【解析】
【分析】
（1）计算K2，与2.706比较大小；
（2）由列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为）将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为.
由于总体容量很大，故X可视作服从二项分布，即B(4,)，求出X的分布列，代入公式计算数学期望和方差．
【详解】
（Ⅰ）由列联表可得
而P（）=0.025
所以有97.5%的把握认为“支持政策”与“性别”有关.
（2）①由列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为，
将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为.
由于总体容量很大，故X可视作服从二项分布，即B(4,)，
所以3.
3
从而X的分布列为：
X的数学期望为。

【点睛】
本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题
15．在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1,2,3,4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关.在闯关时，转次，当次转得数字之和大于时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍，假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立.
（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；
（2）某人参加一次游戏，获得奖金欧元，求的概率分布和数学期望.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件，由题意他只闯过了第一关，没有过第二关，由此求出所求的概率；
（2）根据题意知的所有可能取值，计算对应的概率,写出随机变量的概率分布，计算数学期望.
试题解析：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件，由题意他只闯过了第一关，没有过第二关，由此，他第一关转得了2,3,4中的一个，第二关转得了
3中的一个，∴所求的概率为；
（2）根据题意，的所有可能取值为0,10,20,40；计算，
，∴的概率分布为：
数学期望为：
.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
16．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.
(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;
(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球的
成功取法次数为随机变量,求的分布列和数学期望.
【答案】(1)；（2）.
【解析】试题分析：(1)根据古典概型及对立事件的概率公式可得结果；(2) 依题意,的可能取值为. 分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果. 试题解析：(1)设事件为“两手所取的球不同色”,则=
(2)依题意,的可能取值为.
左手所取的两球颜色相同的概率为
右手所取的两球颜色相同的概率为
所以的分布列为:
.
视频
17．为了解心肺疾病是否与年龄相关，先随机抽取了40名市民，得到数据如下表： 已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为2
5.
（1）请将22⨯列联表补充完整；
（2）已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？ 下面的临界值表供参考：
（参考公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++）
【答案】（1）22⨯列联表见解析；（2）分布列见解析，1
2E ξ=
；（3）在犯错误的概率
不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关. 【解析】
试题分析：（1）根据在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为2
5，
可得不患心肺疾病的人数，从而可得22⨯列联表；（2）ξ可以取0,1,2，求得相应的概率，即可得出ξ的分布列和数学期望；（3）求得2
K 的值，与临界值比较，即可得出结
论.
试题解析：（1）
（2）ξ可以取0,1,2
()2122166611
012020C P C ξ==== ； ()1
1
4122
1648211205C C P C ξ====； ()2421661
212020C P C ξ====
.
118110122020202E ξ=⨯
+⨯+⨯=.
（3）()2
2
40161284 6.667 6.635
202084K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关. 考点：1、独立性检验；2、离散型随机变量的分布列及数学期望.
18．某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为 （元）； （1）求 的所有可能取值；
（2）求的分布列和数学期望；
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）3张奖券中奖的可能情况为：没中奖、中奖1次、中奖2次和中奖3次，故可求出的所有可能取值；
（2）根据的所有可能取值，求出相应的概率，即可得到概率分布列，从而可求数学期望.
【详解】
解：（1）3张奖券中奖的可能情况为：没中奖、中奖1次、中奖2次和中奖3次，的所有可能取值为3400，2400，1400，400 ；
（2）
的分布列为
数学期望
【点睛】
本题考查离散型概率的分布列与期望，解题的关键是确定的所有可能取值，并求出其相应的概率.
19．为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图5是统计结果的频率分布直方图.
（1）数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学
作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？
（2）现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为 ，求 的分布列和期望. 【答案】（1）65（2）
【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知70-90有10%，60-70有20%，所以65分钟以上的同学需要参加辅导（2）由题意得 ， ，根据二项分布公式可得分布列及数学期望
试题解析：（Ⅰ）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导，则 ，得 （分钟），
所以，每天完成数学作业的平均时间为65分钟以上的同学需要参加辅导. （Ⅱ）把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2， ， ，
， ， ， ， ， .
20．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一
轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是3
4
，乙猜对歌名的概率是
23，丙猜对歌名的概率是1
2
，甲、乙、丙猜对与否互不影响． (I)求该小组未能进入第二轮的概率；
(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）
3
4
； （Ⅱ）ξ的分别列为
1369363
0123464646464
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
. 【解析】试题分析：（1）分别将甲、乙、丙第i 次猜对歌名记为事件i A ， i B ， ()1,2,3i C i =，则i A ， i B ， i C 相互独立.该小组未能进入第二轮的概率
()()()
111111P P A P A B P A B C =++
（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出． 试题解析：
分别将甲、乙、丙第i 次猜对歌名记为事件i A ， i B ， ()1,2,3i C i =，则i A ， i B ， i C 相互独立.
（Ⅰ）该小组未能进入第二轮的概率()()()
111111P P A P A B P A B C =++
()()()()()()
11111113132134434324
P A P A P B P A P B P C =++=
+⨯+⨯⨯=. （Ⅱ）乙猜对歌曲次数ξ的可能取值为0,1,2,3，
()()1104
P P A ξ===
， ()()()()1
1
1111112
1P P A B P A B C P A B C A ξ==++，
()()()()()()()()()
111111112
313213211434324324
P A P B P A P B P C P A P B P C P A =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯
1119441616
=++=， ()()()()
1112211122211122232P P A B C A B P A B C A B C P A B C A B C A ξ==++， 321313213213213211432434324324324324=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111916166464
=++=， ()()111222332132133
3432432464
P P A B C A B C A ξ====⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
， ∴ξ的分别列为
1369363
0123464646464
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
. 点睛：本题考查了相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
，乙每次击中目标的概率为
求：（1）甲恰好击中目标2次的概率；（2）乙至少击中目标2次的概率；
（3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率
【答案】（1）；（2）;（3）
【解析】试题分析：(1)由题意知甲射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到结果；(2)乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次，且这两种情况是互斥的，根据公式得到结果；(3)乙恰好比甲多击中目标次，包含乙恰击中目标次且甲恰击中目标零次或乙恰击中目标三次且甲恰击中目标一次，由题意，为互斥事件.根据互斥事件和独立重复试验公式得到结果.
试题解析：（1）甲恰好击中目标2次的概率为
（2）乙至少击中目标2次的概率为
（3）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件
P（A）=P（B1）+P（B2）
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为
22．已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．
表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表
（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（2）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断与的大小．（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）．【解析】
试题分析：（Ⅰ）在表的个日期中，有个日期的升旗时刻早于：，根据古典概型概率公式可估计这一天的升旗时刻早于：的概率；（Ⅱ）可能的取值为，根据对立事件与独立事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望；（Ⅲ）观察表格数据可得，表中所有升旗时刻对应数据较分散，可得.
试题解析：（Ⅰ）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻
早于：”，
在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，
所以
．
（Ⅱ）X 可能的取值为 ．
记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7: ”， 则
，
．
；
；
．
所以 X 的分布列为：
．
（Ⅲ） ．
23．（本小题满分12分）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动。

这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．
求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）12031
；（2）X 的分布列见解析，910
EX ． 【解析】
试题分析：（1）设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件A ，“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”为事件A 1“恰好选出2名语文教师“为事件A 2，”恰好取出3名语文教师”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3；分别计算出事件A 1，A 2，A 3的概率再由概率和公式计算出事件A 的概率；
（2）首先找出X =k 的所有可能取值，显然k=0,1,2,3，然后分别计算出k 的每一个取值时的概率，即得X 的分布列，再利用数学期望公式求其数学期望．
试题解析：（1）解：设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件A ，“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”为事件A 1“恰好选出2名语文教师“为事件A 2，”恰好取出3名语文教师”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3
而
,403)(310
23
131=C C C A P P （A 2）=P （X=2）= 407,P （A3）=P （X=3）= 1201, 所以选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数的概率为 P （A ）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）=
403+407+1201=120
31
（2）解：由于从10名教师中任选3人的结果为3
10C ，从10名教师中任取3人，其中
恰有k 名语文教师的结果数为337
k k
C C -，那么从10人任选3人，其中恰有k 名语文教师
的概率为P （X=k ）= C C C k
k
3
10
373-,k=0,1,2,3． 所以随机变量X 的分布列是
X 的数学期望EX=10
9
120134072402112470=⨯+⨯+⨯+⨯
考点：1、和事件的概率公式；2、分布列与数学期望．
【易错点晴】本题考查和事件的概率公式、分布列与数学期望，属中档题．解题时一定要注意弄清事件与事件之间的关系，否则容易出错；再就是计算一定要准确无误．。