数学九年级上册 期末试卷综合测试卷(word含答案)

数学九年级上册期末试卷综合测试卷（word含答案）
一、选择题
1．如图，△ABC的顶点在网格的格点上，则tanA的值为（）
A．1
2
B．
10
C．
3
D．
10
2．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点．若∠OAC＝16°，∠OBC＝54°，则
∠AOB的大小是（）
A．70°B．72°C．74°D．76°
3．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）
A．40°B．50°C．60°D．80°
4．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（）
A ．180°﹣2α
B ．2α
C ．90°+α
D ．90°﹣α
5．将二次函数2
2y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( ) A ．()2
241y x =-- B ．()2
241y x =+- C ．()2241y x =-+ D ．()2
241y x =++
6．
O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定 7．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()2
49x +=- B ．()2
47x +=- C ．()2
425x += D ．()2
47x += 8．二次函数y =x 2﹣2x +1与x 轴的交点个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表： x
…
1
3
4 …
y … 2 4 2 ﹣2
…
则下列判断中正确的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x=﹣1时y ＞0
D ．方程ax 2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间
10．“一般的，如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P 21”参考上述教材中的话，判断方程x 2﹣2x =1
x
﹣2实数根的情况是 （ ） A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根 11．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A ．x 2﹣x ﹣1＝0
B ．x 2+x +1＝0
C ．x 2+1＝0
D ．x 2+2x +1＝0
12．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A ．12
a -
B ．1
(1)2
a -
+ C ．1
(1)2
a -
- D ．1
(3)2
a -
+ 二、填空题
13．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.
14．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝________．
15．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A 、B 、C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝3，且
1
2
m n =，则m ＋n 的最大值为___________．
16．已知，二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是________．
17．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AE
AC
，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．
18．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣
3
m
+2010的值为_____． 19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．
20．如图，在ABC 中，62BC =+，45C ∠=︒，2AB AC =，则AC 的长为
________．
21．抛物线2
28y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为________．
22．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．
23．如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接 CP ，以 CP 为 边，在 PC 的右侧作等边△CPQ ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E ，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．
24．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．
三、解答题
25．如图，Rt △FHG 中，∠H=90°，FH ∥x 轴，
=0.6GH
FH
，则称Rt △FHG 为准黄金直角三角形（G 在F 的右上方）.已知二次函数2
1y ax bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y
轴交于点E （0，3-），顶点为C （1，4-），点D 为二次函数
22(1)0.64(0)y a x m m m =--+->图像的顶点.
（1）求二次函数y 1的函数关系式；
（2）若准黄金直角三角形的顶点F 与点A 重合、G 落在二次函数y 1的图像上，求点G 的坐标及△FHG 的面积；
（3）设一次函数y=mx+m 与函数y 1、y 2的图像对称轴右侧曲线分别交于点P 、Q. 且P 、Q 两点分别与准黄金直角三角形的顶点F 、G 重合，求m 的值并判断以C 、D 、Q 、P 为顶点的四边形形状，请说明理由.
26．某校为了丰富学生课余生活，计划开设以下社团：A ．足球、B ．机器人、C ．航模、D ．绘画，学校要求每人只能参加一个社团小丽和小亮准备随机报名一个项目. （1）求小亮选择“机器人”社团的概率为______；
（2）请用树状图或列表法求两人至少有一人参加“航模”社团的概率.
27．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如：如图，已知
O 的两条弦AB CD ⊥，则AB 、CD 互为
“十字弦”，AB 是CD 的“十字弦”，CD 也是AB 的“十字弦”.
（1）若
O 的半径为5，一条弦8AB =，则弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为______，
最小值为______. （2）如图1，若
O 的弦CD 恰好是O 的直径，弦AB 与CD 相交于H ，连接AC ，
若12AC =，7DH =，9CH =，求证：AB 、CD 互为“十字弦”；
（3）如图2，若
O 的半径为5，一条弦8AB =，弦CD 是AB 的“十字弦”，连接AD ，
若60ADC ∠=︒，求弦CD 的长.
28．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CE ＝
16
3
，AB ＝6，求⊙O 的半径．
29．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （1）两辆车中恰有一辆车向左转； （2）两辆车行驶方向相同． 30．解方程：（1）2620x x ++= （2）2(3)3(3)x x x -=-
31．如图，矩形OABC 中，O 为原点，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，点B 的坐标为（4,3），抛物线2
38
y x bx c =-
++与y 轴交于点A ，与直线AB 交于点D ，与x 轴交于C E ，两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，与此同
时，点Q 从点A 出发，在线段AC 上以每秒5
3
个单位长度的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接DP DQ PQ 、、，设运动时间为t （秒）.
①当t 为何值时，DPQ ∆得面积最小？
②是否存在某一时刻t，使DPQ
∆为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.
32．某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是；
（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．
【详解】
解：如图作CD⊥AB于D,
CD=2,AD=22,
tanA=
21
2
22
CD
AD
==,
故选A.
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°求出∠ACB 的度数，然后根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解．
【详解】
解：连接OC
∵OA=OC，OB=OC
∴∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°
∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=54°-16°=38°
∴∠AOB=2∠ACB=76°
故选：D
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，掌握相关性质定理是本题的解题关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选D．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
4．D
解析：D 【解析】
连接OC ，则有∠BOC=2∠A=2α， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ， ∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°， ∴2∠OBC+2α=180°， ∴∠OBC=90°-α， 故选D.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意直接利用二次函数平移规律进而判断得出选项． 【详解】
解：2
2y x =的图象向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：()2
241y x =+-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交． 【详解】
∵⊙O 的半径为5，圆心O 到直线的距离为3，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交． 故选A ． 【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】
2890x x ++=，
289x x +=-，
2228494x x ++=-+，
所以()2
47x +=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 8．B
解析：B
【解析】
由△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x 2-2x+1的图象与x 轴有一个交点．故选
B ．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据表中的对应值，求出二次函数2
y ax bx c =++的表达式即可求解．
【详解】
解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴二次函数表达式为232y x x =-++
∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；
∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；
当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；
令0y =，得2320x x -++=，解得：13172x +=
，23172x -= ∵31710--＜＜，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．
10．C
解析：C
【解析】
试题分析：由
得，，即是判断函数
与函数的图象的交点情况.
因为函数
与函数的图象只有一个交点 所以方程
只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意. 11．A
解析：A
【解析】
【分析】
逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】
解：
在x 2﹣x ﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A 符合题意；
在x 2+x +1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B 不符合题意；
在x2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C不符合题意；
在x2+2x+1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】
设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为
a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣1
2
（a+3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
二、填空题
13．y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移
解析：y=2(x+2)2-3
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【详解】
解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，
二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为 y=2(x+2)2-3
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
14．-3
【解析】
【分析】
观察A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线.
【详解】
解：∵ A（3，﹣
解析：-3
【解析】
【分析】
观察A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线.
【详解】
解：∵ A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B 两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB 的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
15．【解析】
【分析】
过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过作于，延长交于，过作于，过 解析：274
【解析】
【分析】
过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于
M ，设AE BN x ==，CF BM y ==，得到3DM y =-，4DN x =-，根据相似三角形的性质得到xy mn =，29y x =-+，由12
m n =，得到2n m =，于是得到()3m n m +=最大，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，
设AE BN x ==，CF BM y ==，
3BD =，
3DM y ∴=-，3DN x =-，
90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，
90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
EAB CBF ∴∠=∠，
ABE BFC ∴∆∆∽，
∴AE BE BF CF
=，即x m n y =， xy mn ∴=，
ADN CDM ∠=∠，
CMD AND ∴∆∆∽， ∴AN DN CM DM
=，即3132m x n y -==-， 29y x ∴=-+，
1
2
m n =， 2n m ∴=，
()3m n m ∴+=最大，
∴当m 最大时，()3m n m +=最大，
22(29)292mn xy x x x x m ==-+=-+=，
∴当92(29)4x =-
=⨯-时，28128mn m ==最大， 94
m ∴=最大，
m n
∴+的最大值为
927
3
44
⨯=．
故答案为：27
4
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m的函数解析式是解题的关键．
16．【解析】
【分析】
直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】
解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜3．
故答案为：
解析：13
x
【解析】
【分析】
直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】
解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜3．
故答案为：-1＜x＜3．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
17．3
【解析】
【分析】
把AE＝2，EC＝6，AB＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】
解：∵＝，AE＝2，EC＝6，AB＝12，
∴＝，
解得：AD＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题
解析：3
【解析】
【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】 解：∵
AD AB ＝AE AC
，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226
， 解得：AD ＝3，
故答案为：3．
【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.
18．2019
【解析】
【分析】
根据m 是方程5x2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．
【详解】
解
解析：2019
【解析】
【分析】
根据m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m 2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣
1m ＝3，然后整体代入即可求得答案． 【详解】
解：∵m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，
∴5m 2﹣3m ﹣1＝0，
∴5m 2﹣1＝3m ，
两边同时除以m 得：5m ﹣
1m ＝3， ∴15m ﹣3m +2010＝3（5m ﹣1m
）+2010＝9+2010＝2019， 故答案为：2019．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.
19．110°.
【解析】
【分析】
由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°
,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°
【详解】
∵∠BOD=140°
解析：110°.
【解析】
【分析】
由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=
12∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°
【详解】
∵∠BOD=140°
∴∠A=12
∠BOD=70° ∴∠C=180°-∠A=110°，
故答案为：110°.
【点睛】
此题考查圆周角定理，解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度.
20．【解析】
【分析】
过点作的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求的长.
【详解】
过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．
【点睛】
本题考查勾股定
解析：2
【解析】
【分析】
过A 点作BC 的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求AC 的长.
【详解】
过A 作AD BC ⊥于D 点，设AC =，则2AB x =，因为45C ∠=︒，所以
AD CD x ==
，则由勾股定理得BD ==，因为BC =，所以
BC x =+=x 2AC =．
【点睛】
本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解. 21．8
【解析】
试题分析：由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可.
由题意得，解得
考点：本题考查的是二次根式的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x
解析：8
【解析】
试题分析：由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可.
由题意得，解得
考点：本题考查的是二次根式的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点.
22．【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
610
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出
AB AE AD AC =，由此即可解决问题． 【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高，
∴∠ADC=90°，
∴AC ==
∵AE 是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC ，
∵∠E=∠C ，
∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE AD AC
=， ∴
3AB =
∴5
AB =
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
23．【解析】
【分析】
如图，过点D 作DF⊥BC 于F ，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ ＝BP ，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD 的长，由锐角三角函数可求BP 的长，由相
解析：7
【解析】
【分析】
如图，过点D 作DF ⊥BC 于F ，由“SAS ”可证△ACQ ≌△BCP ，可得AQ ＝BP ，∠CAQ ＝∠CBP ，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD 的长，由锐角三角函数可求BP 的长，由相似三角形的性质可求AE 的长，即可求解．
【详解】
如图，过点D 作DF ⊥BC 于F ，
∵△ABC ，△PQC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，PC ＝CQ ，∠BCA ＝∠PCQ ＝60°， ∴∠BCP ＝∠ACQ ，且AC ＝BC ，CQ ＝PC ， ∴△ACQ ≌△BCP （SAS ） ∴AQ ＝BP ，∠CAQ ＝∠CBP ， ∵AC ＝6，AD ＝2， ∴CD ＝4，
∵∠ACB ＝60°，DF ⊥BC ， ∴∠CDF ＝30°， ∴CF ＝
1
2
CD ＝2，DF ＝CF ÷tan30°3＝3 ∴BF ＝4，
∴BD 22DF BF +1612+7， ∵△CPQ 是等边三角形， ∴S △CPQ 32
， ∴当CP ⊥BD 时，△CPQ 面积最小， ∴cos ∠CBD ＝BP BF
BC BD
=， ∴
627
BP =， ∴BP 127
， ∴AQ ＝BP 127
， ∵∠CAQ ＝∠CBP ，∠ADE ＝∠BDC ， ∴△ADE ∽△BDC ， ∴
AE AD
BC BD
=， ∴627
AE =， ∴AE 67
，
∴QE＝AQ−AE＝
7
．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出BP的长是本题的关键．24．【解析】
【分析】
根据几何概率的求解公式即可求解.
【详解】
解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为．
【点睛】
此题主要
解析：1 3
【解析】
【分析】
根据几何概率的求解公式即可求解.
【详解】
解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是31 93 ，
故答案为1
3
．
【点睛】
此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.
三、解答题
25．（1）y=(x-1)2-4；（2）点G坐标为（3.6，2.76），S△FHG=6.348；（3）m=0.6，四边形CDPQ为平行四边形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用顶点式求解即可,（2）将G点代入函数解析式求出坐标,利用坐标的特点即可求
出面积,（3）作出图象,延长QH ，交x 轴于点R ，由平行线的性质得证明△AQR ∽△PHQ,设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m 中，即可证明四边形CDPQ 为平行四边形. 【详解】
（1）设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由题可知该抛物线与y 轴交于点E （0，
3-），顶点为C （1，4-），
∴y=a(x-1)2-4,代入E （0，3-），解得a=1,
2(1)4y x =--（223y x x =--）
（2）设G[a,0.6(a+1)],代入函数关系式， 得，2
(1)40.6(1)a a --=+， 解得a 1=3.6，a 2=-1（舍去）， 所以点G 坐标为（3.6,2.76）. S △FHG =6.348
（3）y=mx+m=m （x+1）， 当x=-1时，y=0， 所以直线y=mx+m 延长QH ，交x 轴于点R ， 由平行线的性质得，QR ⊥x 轴. 因为FH ∥x 轴， 所以∠QPH=∠QAR, 因为∠PHQ=∠ARQ=90°， 所以△AQR ∽△PQH, 所以
QR QH
AR PH
= =0.6, 设Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m 中，
mn+m=0.6（n+1），m （n+1）=0.6（n+1）， 因为n+1≠0， 所以m=0.6..
因为y 2=（x-1-m ）2+0.6m-4,
所以点D 由点C 向右平移m 个单位，再向上平移0.6m 个单位所得， 过D 作y 轴的平行线,交x 轴与K,再作CT ⊥KD,交KD 延长线与T,
所以
KD QR
SK AR
==0.6, 所以tan ∠KSD=tan ∠QAR ， 所以∠KSD=∠QAR ， 所以AQ ∥CS ，即CD ∥PQ.
因为AQ ∥CS ，由抛物线平移的性质可得，CT=PH,DT=QH, 所以PQ=CD ，
所以四边形CDPQ 为平行四边形.
【点睛】
本题考查了待定系数法求解二次函数解析式,二次函数的图象和性质,一次函数与二次函数的交点问题,相似三角形的判定和性质,综合性强,难度较大,掌握待定系数法是求解（1）的关键,求出G点坐标是求解（2）的关键,证明三角形的相似并理解题目中准黄金直角三角形的概念是求解（3）的关键.
26．（1）1
4
；（2）
7
16
；
【解析】
【分析】
（1）属于求简单事件的概率，根据概率公式计算可得；
（2）用列表格法列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得.
【详解】
解：（1）小亮随机报名一个项目共有4种等可能结果，分别为A.足球、B.机器人、C.航模、D.绘画，其中选择“机器人”的有1种，为B.机器人，所以选择“机器人”的概率为
P=1 4 .
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中至少有一人参加“航模”社团有7种，分别为(A,C),(B,C),(C,A), (C,B),(C,C), (C,D),(D,C),所以两人至少有一人参加
“航模”社团的概率P=
7 16
.
【点睛】
本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率,用表格或树状图表示总结果数是解答此类问题的关键.
27．（1）10，6；（2）见解析；（3）3.
【解析】
【分析】
（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；
（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA,由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；
（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F,利用垂径定理得出OE=3，由正切函数得出
设DH=x，在Rt△ODF中，利用线段和差将边长用x表示，根据勾股定理列方程求解.
【详解】
解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10，
∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10；
当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度,过O点作ON⊥AM,垂足为N,作OG⊥AB，垂足为G,则四边形AGON为矩形，
∴AN=OG,
∵OG⊥AB,AB=8，
∴AG=4，
∵OA=5，
∴由勾股定理得OG=3，
∴AN=3，
∵ON⊥AM,
∴AM=6，
即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6.
（2）证明：如图，连接AD ， ∵12AC =，7DH =，9CH =，
∴
AC CH
CD
AC
, ∵∠C=∠C,
∴△ACH ∽△DCA, ∴∠CAH=∠D, ∵CD 是直径， ∴∠CAD=90°, ∴∠C+∠D=90°, ∴∠C+∠CAH=90°, ∴∠AHC=90°, ∴AH ⊥CD,
∴AB 、CD 互为“十字弦”.
（3）如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥CD 于点F ，连接OA ，OD ，则四边形OEHF 是
矩形，∴OE=FH,OF=EH, ∴AE=4，
∴由勾股定理得OE=3， ∴FH=3， ∵tan ∠ADH=AH
HD
, ∴tan60°=
3AH HD
,
设DH=,则AH=3x, ∴FD=3+x,OF=HE=4 -3x,
在Rt △ODF 中，由勾股定理得，OD 2=OF 2+FD 2， ∴(3+x)2+(4 -3x)2=52, 解得，x=3232
- , ∴FD=332332322
, ∵OF ⊥CD, ∴CD=2DF=3
2234332
即CD=433+
【点睛】
本题考查圆的相关性质，利用垂径定理，相似三角形等知识是解决圆问题的常用手段,对结合学过的知识和方法的基础上，用新的方法和思路来解决新题型或新定义的能力是解答此题的关键.
28．（1）DE 与⊙O 相切；理由见解析；（2）4. 【解析】 【分析】
（1）连接OD ，由D 为AC 的中点，得到AD CD =，进而得到AD=CD ，根据平行线的性质得到∠DOA ＝∠ODE ＝90°，求得OD ⊥DE ，于是得到结论；
（2）连接BD ，根据四边形对角互补得到∠DAB ＝∠DCE ，由AD CD =得到∠DAC ＝∠DCA
＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】
（1）解：DE与⊙O相切
证：连接OD，在⊙O中
∵D为AC的中点
∴AD CD
=
∴AD＝DC
∵AD＝DC，点O是AC的中点
∴OD⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵DE∥AC
∴∠DOA＝∠ODE＝90°
∵∠ODE＝90°
∴OD⊥DE
∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D
∴DE与⊙O相切.
（2）解：连接BD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DAB＋∠DCB＝180°
又∵∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,
∴∠ADC＝∠ABC＝90°
∵AD CD
=,
∴∠ABD＝∠CBD＝45°
∵AD＝DC，∠ADC＝90°
∴∠DAC＝∠DCA＝45°
∵DE∥AC
∴∠DCA＝∠
CDE＝45°
在△ABD和△CDE中
∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°∴△ABD∽△CDE
∴AB
CD
＝
AD
CE
∴
6
CD
＝16
3
AD
∴AD＝DC＝42, CE＝16
3
，AB＝6，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝42，
∴AC＝22
AD DC
＝8
∴⊙O的半径为4.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
29．（1）4
9
；（2）
1
3
【解析】
【分析】
此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．
【详解】
解：列表得：
左直右
左左左左直左右
直左直直直直右
右左右直右右右
相同有3种情况
（1）P （两辆车中恰有一辆车向左转）=49
； （2）P （两辆车行驶方向相同）=3193
=． 【点睛】
列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．
30．（1）1233x x =-=-；（2）122
,33
x x == 【解析】 【分析】
(1)根据配方法即可求解; (2)根据因式分解法即可求解. 【详解】
（1）2620x x ++=
2697x x ++=
2(3)7x +=
3x +=
1233x x =-=-.
（2）2(3)3(3)x x x -=-
2(3)3(3)0x x x ---=
(23x)(x 3)0--=，
2-3x=0或x-3=0
∴122
,33x x =
= 【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法. 31．（1）233384
y x x =-++；（2）① 32t =；
②1234531724,3,,,2617t t t t t =
====
【解析】 【分析】
（1）根据点B 的坐标可得出点A ，C 的坐标，代入抛物线解析式即可求出b ，c 的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，推出△QFA ∽△CBA ，
△CGP ∽△CBA ，用含t 的式子表示OF ，PG ，将三角形的面积用含t 的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）由题意知：A (0,3),C (4,0)，
∵抛物线经过A 、B 两点， ∴3316408
c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得，343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为：233384
y x x =-++． (2)① ∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90O ， ∴AC 2=AB 2+BC 2=5； 由2333384
x x -++=，可得120,2x x ==，∴D （2,3）． 过点Q 、P 作QF ⊥AB 、PG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ，
∵∠FAQ =∠BAC ， ∠QFA =∠CBA ，
∴△QFA ∽△CBA ． ∴AQ QF AC BC
=， ∴5335
AQ QF BC t t AC =
⋅=⋅=． 同理：△CGP ∽△CBA ， ∴PG CP AB AB =∴CP PG AB AB =⋅，∴45
PG t =， 1154162(5)2(3)22352
DPQ ABC QAD PQC PBD S S S S S t t t t ∆∆∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-222229323323(3)3()3342322
t t t t t =-+=-+-+=-+ 当32t =时，△DPQ 的面积最小.最小值为32
． ② 由图像可知点D 的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC 的解析式为：3y 34x =-
+． 三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：
当DPG 90∠=︒时，根据勾股定理可得出：
()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 整理，解方程即可得解；
当DGP 90∠=︒时，可知点G 运动到点B 的位置，点P 运动到C 的位置，所需时间为
t=3； 当PDG 90∠=︒时,同理用勾股定理得出：
()()22222255552t 3t 3434233434t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 整理求解可得t 的值．
由此可得出t 的值为：132t =,23t =,3176t =,42417t =,517145t -=．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．
32．（1）
14；（2）14. 【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
（1）解：一名游客经过此检票口时，选择A 通道通过的概率=
14， 故答案为:14
； （2）解：列表如下： A B
C D A （A ，A ） （A ，B ）
（A ，C ） （A ，D ） B （B ，A ） （B ，B ）
（B ，C ） （B ，D ） C （C ，A ） （C ，B ）
（C ，C ） （C ，D ） D （D ，A ）
（D ，B ） （D ，C ） （D ，D ） 共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E ，它的发生有4种可能：（A ，A ）、（B ，B ）、（C ，C ）、（D ，D ）。