9.2.2向量的数乘(2)(教学课件)-高中数学苏教版(2019)必修第二册

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活动二 掌握向量共线定理
问题：平面向量共线定理： 【解析】 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向 量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa.
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思考2►►► 已知b＝λa，且a＝0，求λ的值．
【解析】 当a＝0时，λ为任意实数
【解析】 因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点， 所以 DE∥BC，所以D→E与B→C共线． 又 DE＝12BC，且D→E与B→C同向， 所以D→E＝12B→C.
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思考1►►► 如果两个非零向量共线，那么它们满足什么条件？反之，如果它们 满足这个条件，那么它们共线吗？ 【解析】 可线性表示 共线
【解析】 由已知得 2(a＋3b)－5(a－b)＝2(3a＋2b)，即 2a＋6b－5a ＋5b＝6a＋4b，即－9a＝－7b，所以 a＝79b，所以向量 a 与 b 共线．
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例 3 设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知A→B＝2e1－8e2，C→B＝e1＋ 3e2，C→D＝2e1－e2，求证：A，B，D 三点共线．
【答案】 B
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3 ． ( 多 选 )(2023·佛 山 月 考 ) 已 知 e 为 非 零 向 量 ， 向 量 a ＝ 2e ， b ＝ －
6e，则下列说法中正确的是
()
A．a∥b
B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b|
D．b＝－3a
【解析】 因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，所以a∥b，3|a|＝ |b|，且向量a，b方向相反．故选ABD.
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活动三 掌握向量共线定理的应用
例2 (1) 已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1和e2不共线．求 证：向量a＋b与向量6e1－2e2共线；
【解析】 (1) a＋b＝3e1－e2＝12(6e1－2e2)， 所以 a＋b 与 6e1－2e2 共线．
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(2) 设非零向量a，b不共线，向量c＝ka＋b，d＝a＋kb(k∈R)，若 c∥d，求k的值．
【解析】 因为A→B＝2e1－8e2，B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2， 所以A→B＝2B→D，所以A→B与B→D共线． 又存在公共点 B，所以 A，B，D 三点共线．
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利用向量共线得三点共线时，务必要说明有个公共点．
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已知a＝2e1－2e2，b＝－3(e2－e1)，求证：a与 b是共线向量．
【解析】 因为c∥d，所以c与d共线，所以存在实数λ，使c＝λd，即 ka＋b＝λ(a＋kb).
又a，b不共线，故k＝±1.
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两个非零向量共线的充要条件是，存在一个实数λ使得b＝λa，若 a，b中有一个是零向量，则a与b必共线．
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已知向量 a，b，满足15(a＋3b)－12(a－b)＝15(3a＋2b)，求证：向量 a 与 b 共线．
正确的是
()
A．A→D＝－13A→B＋43A→C
B．A→D＝13A→B－43A→C
C．A→D＝43A→B＋13A→C
D．A→D＝43A→B－13A→C
【解析】 因为B→C＝3C→D，所以A→C－A→B＝3(A→D－A→C)，所以A→D＝－
13A→B＋43A→C.
【答案】 A
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2．(2022·长郡中学期末)在△ABC 中，A→P＝191A→B－29A→C，则下列结论
【解析】 当 e1，e2 共线时，存在实数 λ， 使 e1＝λe2，所以 a＝2(λ－1)e2，b＝3(λ－1)e2， 所以 a＝23b，所以 a 与 b 共线； 当 e1，e2 不共线时，a＝23b，所以 a 与 b 共线． 综上所述，a 与 b 是共线向量．
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1．设 D 为△ABC 所在平面内的一点，若B→C＝3C→D，则下列关系中
【答案】 ABD
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4．(2023·舒城中学期中)若平面上不共线的四点 O，A，B，C 满足O→A ＋3O→C＝4O→B，且|B→C|＝2，则|A→B|＝________．
【解析】 由已知得(O→A－O→B)＋3(O→C－O→B)＝B→A＋3B→C＝0，所以A→B ＝3B→C.又|B→C|＝2，所以|A→B|＝3|B→C|＝6.
中正确的是
()
A．点 P 在线段 BC 上，且BBCP＝29
B．点 P 在线段 CB 的延长线上，且BBCP＝29
C．点 P 在线段 BC 的延长线上，且BBCP＝29
D．点 P 在线段 BC 上，且CBCP＝29
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【解析】 由题设，A→P－A→B＝29(A→B－A→C)，则B→P＝29C→B.又B→P，C→B存 在公共点 B，所以 C，P，B 三点共线，且点 P 在线段 CB 的延长线上， CBPB＝29.
第9章 平面向量
9.2 向量运算
9.2.2 向量的数乘(2)
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学习目标 活动方案 检测反馈
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理解两个平面向量共线(平行)的条件及含义．
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活动一 掌握向量数乘的概念及简单应用
例 1 已知 D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 的中点，求证：B→C与 D→E共线，并用B→C表示D→E.
【答案】 6
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5．已知非零向量 e1，e2 不共线． (1) 若 a＝12e1－13e2，b＝3e1－2e2，判断向量 a，b 是否共线； (2) 若A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A，B，D 三点共线．
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【解析】 (1) 因为 b＝6a，所以 a 与 b 共线． (2) 因为A→B＝e1＋e2，B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2) ＝5A→B， 所以A→B，B→D共线，且有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线．