河北省承德市存瑞中学高三数学理上学期期末试题含解析

河北省承德市存瑞中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的一个单调减区间是
A． B． C．
D．
参考答案：
B
2. 从男女共有36名的大学生中任选2名去考“村官”，任何人都有同样的当选机会，若选出的同性
大学生的概率为，则男女生相差（）名
A .1 B.3 C.6 D.10
参考答案：
C
略
3. 某几何体的主视图与俯视图如图，主视图与左视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积为．
参考答案：
由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1，所以原几何体的体积为。

4. 已知集合，则（）A. {0} B. {1} C. {0,1} D. {－1,0,1,2}
参考答案：
C
【分析】
利用一元二次不等式解出集合，利用补集的运算即可求出。

【详解】由集合，解得：
，
故答案选C。

【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。

5. 已知不平行于坐标轴的直线l与以原点O为中心的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两及其两条渐近线从左到右依次交于A，B，C，D不同的四点，则下列一定成立的是（）
A．|AD|=2|BC| B．|AB|=|BC|=|CD| C． +=+D． ?=?
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设l的方程为y=kx+m，分别设A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4），分别根据韦达定理求出并得到x1+x2=x3+x4，同理得到y1+y2=y3+y4，
根据向量的坐标运算得到=+，故结论一定成立的选项即得到
【解答】解：如图所示：
设l的方程为y=kx+m，代入双曲线方程并整理得：
（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2（m2+b2）=0，
设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=
再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程b2x2﹣a2y2=0 并整理得
（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2m2=0．
设B（x3，y3），C（x4，y4），则x3+x4=
∴x1+x2=x3+x4，
同理可得y1+y2=y3+y4，
∵=（x1，y1），=（x3，y3），=（x4，y4），=（x2，y2），
∴=（x1+x2，y1+y2），+=（x3+x4，y3+y4）
∴=+
故选：C
【点评】本题考查了直线和双曲线的关系，以及韦达定理，向量的坐标运算，属于中档题
6. 下列命题中正确的是（）
A.如果空间中两条直线，与平面所成的角相等，那么
B.如果两平面，同时平行于直线，那么
C.如果两平面，同时垂直于直线，那么
D.如果平面与两平面，所成的二面角都是直二面角，那么
参考答案：
C
7. 在（）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
参考答案：C
根据正弦定理可知，即，所以
或，即或，即，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，选C.
8. 已知（x，y）满足，z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数x+ay=0应与直线BC平行；进而计算可得答案．
【解答】解：由题意，的可行域如图：
z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，
最优解应在线段BC上取得，故x+ay=0应与直线BC平行
∵k BC=1，
∴a=﹣1，
故选：B．
9. 已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据双曲线的一个焦点坐标求出的值，进而可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由于双曲线的一个焦点为，则，
双曲线的标准方程为，其渐近线方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了利用双曲线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题.
10. 设，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
参考答案：
A
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵，
＞20160=1，
0=log20161＞b=＞=，
c=＜=，
∴a＞b＞c．
a，b，c的大小关系为a＞b＞c．
故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点
作圆的切线，则切线的极坐标方程是
．
参考答案：
略
12. 设圆
C 的圆心为双曲线的右焦点，且圆C 与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线截得的弦长等于2,则a的值为．
参考答案：
由题知圆心C(，0)，双曲线的渐近线方程为x±ay＝0，圆心C到渐近线的距离d＝＝，即圆C的半径为.由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径为可知，圆心C到直线l的距离为1，即＝1，解得a＝.
13. 已知的定义域为(-2，2)，则的定义域为；
参考答案：
因为函数的定义域为，即，所以.由得，，即的定义域为.
14. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频
率为。

参考答案：
解析：频率/组距
，组距
，频率
15. 已知各项均为正数的等比数列
的公比为，
，
，则
．
参考答案：
2 因为
为等比数列，所以
，又因为各项均为正数，
，
故答案为 2.
16. 下列命题：
①函数
在
上是减函数；
②点A （1，1）、B （2，7）在直线两侧；
③；
④数列为递减的等差数列，，设数列的前n 项和为，则当时，
取得最大值；
⑤定义运算则函数
的图象在点
处的切线方程是
其中正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）. 参考答案： ②③⑤
17. 已知抛物线
的焦点为
，准线与y 轴的交点为
为抛物线上的任意一点，且满足
，则
的取值范围是．
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求不等式的解集
；
（2）设
，证明：
．
参考答案：
法一：（Ⅰ）（ⅰ）当
时，原不等式可化为
，解得
，
此时原不等式的解是； ………2分
（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式无
解； ………3分
（ⅲ）当
时，原不等式可化为
，解得
，
此时原不等式的解是
；………4分
综上，
．
………5分
（Ⅱ）因为
………6分
………7分
．………8分
因为，所以，
，………9分
所以，即．………10分
法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为
，………7分
所以，要证，只需证，
即证
，
………8分
即证，
即证，即证．………9分
因为，所以，所以成立，
所以原不等式成
立． (10)
分
19. 已知函数，. （1）求函数在处切线方程；
（2）求函数的最大值和最小值．
参考答案：
（1）；（2）最小值为，最大值为.
【分析】
（1）对函数求导，计算出切线的斜率，以及的值，再利用点斜式可写出所求切线的方程；
（2）对函数求导，求出该函数的极值点，列表分析函数的单调性与极值，然后比较极值与端点函数值的大小关系，即可得出函数的最大值和最小值.
【详解】（1），斜率，切点．
所以切线方程为，即；
（2），令，得，
当变化时，、的变化情况如下表：
极大值极小值
所以函数的最小值为，最大值为.
【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最值，解题时要注意导数应用的一些基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20. （本题满分12分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，。

（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不小于1小时的学生中可以申请在学校住宿，请估计学校
名新生中有多少名学生可以住宿。

参考答案：
由直方图可得：
21. （本小题满分7分）已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属
于特征值1的一个特征向量.
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵;
（Ⅱ）计算A3的值. 参考答案：
(Ⅰ)法一:依题意,.. ………… 2分
所以…………4分
(Ⅱ):=2－…………5分
A3=2×63－13=…………7分
22. 数列满足。

（Ⅰ）求及数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求。

参考答案：
略。