2021年天津市红桥区中考数学三模试卷

2021年天津市红桥区中考数学三模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．计算()32--的结果等于（ ） A ．6-
B ．6
C ．5-
D ．5
2．2sin60︒的值等于（ ） A ．1
B
C
D ．2
3．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．2020年11月10日，万米级全海深载人潜水器“奋斗者”号在西太平洋马里亚纳海沟成功坐底，抵达洋底深度显示为10909米，刷新中国载人深潜新记录，其中10909用科学记数法可表示为（ ） A ．41.090910⨯
B ．51.090910⨯
C ．50.1090910⨯
D ．310.90910⨯
5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6
．估计 ） A ．5-和4-之间
B ．4-和3-之间
C ．3-和2-之间
D ．2-和1-之间
7．方程组31
24x y y x +=-⎧⎨
-=⎩
的解是（ ）
A ．1
2x y =-⎧⎨=⎩
B ．2
1x y =⎧⎨=-⎩
C ．1
4x y =⎧⎨=-⎩
D ．0
4x y =⎧⎨=⎩
8．分式方程
12
32
x x =-的解为（ ） A ．1x =
B ．1x =-
C ．25
x =
D ．25
x =-
9．已知点()()()1232,,1,,3,A y B y C y --在反比例函数1
a y x
+=-（a 为常数）的图象上，则123,,y y y 为的大小关系是（ ） A ．321y y y <<
B ．312y y y <<
C ．123y y y <<
D ．213y y y <<
10．如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点()2,3E ，则点F 的坐标为（ ）
A ．()1,5-
B ．()2,3-
C ．()5,1-
D ．()3,2-
11．如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ．以点B 为中心，取旋转角等于ABC ∠，把BAE 顺时针旋转，得到BA E ''，连接DA '．若60,50ADC ADA '∠=︒∠=︒，则DA E ∠''的大小为（ ）
A ．110︒
B ．130︒
C ．150︒
D ．160︒
12．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）与x 轴交于()()1,0,3,0A B -两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．有下列结论： ①20a b +=； ②430c b ->；
③当ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；
④当BCD △
是直角三角形时，2
a =-．
其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题 13．计算(
)3
22x
的结果等于__________.
14
．计算：=____________．
15．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、4个黑球和3个蓝球，这些球除颜色外无其
他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．
16．将直线24y x =-向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为__________．
17．如图，正方形纸片ABCD 的边长为6，G 是BC 的中点．沿着AG 折叠该纸片，得点B 的对应点为点F ，延长GF 交DC 于点E ，则线段DE 的长为_______．
三、解答题
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A ，B 均在格点上，
26BAC ∠=︒，经过A ，B ，C
（1）线段AB 的长等于_________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足38BPC ∠=︒，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）
19．解不等式组342251x x +≥-⎧⎨-≤⎩
①
②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为___________．
20．为了解八年级学生参加社会实践活动的情况，某区教育部门随机抽查了本区八年级部分学生，对他们第一学期参加社会实践活动的天数进行统计，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数为________，图①中的m 的值为__________； （2）求统计的这组数据的众数、中位数和平均数；
（3）若该区八年级学生有2000人，估计其中参加社会实践活动的时间大于7天的学生人数． 21．在ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与边AC BC ，交于点D ，E ，且DE BE =．
（1）如图①，若38CAB ∠=︒，求C ∠的大小；
（2）如图②，过点E 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点F ，交AC 于点G ，若52CAB ∠=︒，求BEF ∠的大小．
22．如图，为测量建筑物CD 的高度，在A 处测得建筑物顶部D 处的仰角为22︒，再向建筑物CD 前进30m 到达B 处，测得建筑物顶部D 处的仰角为58︒（A ，B ，C 在同一条直线上），求建筑物
CD 的高度（结果取整数）．参考数据：tan 220.40,tan 58 1.60︒≈︒≈．
23．“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离()y
m 与步行的时间()
min x 之间的函数关系式如图中折线段AB BC CD --所示．在步行过程中，小明先到达甲地．
请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表：
（2）填空：
①小丽步行的速度为________/min m ； ②小明步行的速度为________/min m ；
③图中点C 的坐标为_________． （3）请直接写出y 关于x 的函数解析式．
24． 将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点A 0），点B （0，1），
点O （0，0）．过边OA 上的动点M （点M 不与点O ，A 重合）作MN⊥AB 于点N ，沿着MN 折叠该纸片，得顶点A 的对应点A′．设OM =m ，折叠后的△A′MN 与四边形OMNB 重叠部分的面积为S ．
（Ⅰ）如图1，当点A′与顶点B 重合时，求点M 的坐标；
（Ⅱ）如图2，当点A′落在第二象限时，A′M 与OB 相交于点C ，试用含m 的式子表示S ；
（Ⅲ）当M 的坐标（直接写出结果即可）． 25．抛物线26y ax x c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）与y 轴交于点()0,5C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中()5,0B ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）该抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接,AC AP ． ①试判定APC △的形状，并说明理由；
②在直线BC 上是否存在点M ，使直线AM 与直线BC 所成的锐角等于ACB ∠的2倍？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案 1．D
利用有理数的减法法则直接计算即可． 解：()32325--=+=， 故选：D ． 点评：
本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 2．C
根据特殊角的三角函数值计算即可．
解：把=故选C. 点评：
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 3．C
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解即可． 解：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； B 、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项不合题意； C 、是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项合题意；
D 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C ． 点评：
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．A
科学记数法是把一个数写为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于10909有5位，所以可以确定n=5-1=4． 解：10909=41.090910⨯．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 5．A
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间有一个小正方形， 故选A ． 点评：
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 6．C
先判断被开方数7
即可判断. 解：∵4<7<9，
∴23<<．
∴32-<-． 故选：C 点评：
本题考查含有根号型的无理数的估算的知识点，熟知估算方法和步骤是解题的关键. 7．A
利用加减消元法解方程组求出方程组的解即可得答案．
3124x y y x +=-⎧⎨
-=⎩
①
②， ①-②得：5x=-5， 解得：x=-1，
把x=-1代入②得：y=2，
∴方程组3124x y y x +=-⎧⎨-=⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩
，
故选：A ．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组得方法是解题关键． 8．D
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； 解：去分母得：x-2=6x ，
解得：x=-2
5， 经检验x=-2
5
是分式方程的解．
∴原方程的解是：x=-2
5
故选D ． 点评：
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 9．B
先确定-(|a|+1)的属性，利用反比例函数的性质比较判断即可 ∵|a|+1＞0， ∴ -(|a|+1)＜0， ∴反比例函数1
a y x
+=-（a 为常数）的图象分布在第二、第四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大；
∵点()()()1232,,1,,3,A y B y C y --在反比例函数1
a y x
+=-（a 为常数）的图象上， ∴123,0y y y 0＜＜＜， ∴312y y y <<， 故选B 点评：
本题考查了绝对值的意义，反比例函数的图像分布与性质，准确判定图像的分布，活用反比例函数的性质比较大小是解题的关键． 10．A
过点E 构造一线三直角全等模型求解即可
如图所示，过点E 作EA⊥x 轴，垂足为A ，过点F 作FB⊥EA，交AE 的延长线于点B ，交y 轴与点C ，
∵四边形OEFG是正方形，
∴FE=EO，∠FEO=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠AOE=90°，
∴∠FEB =∠EOA，
∴△FEB≌△EOA，
∴FB=EA，EB=OA，
∵E（2，3），
∴FB=EA=3，EB=OA=2，
∵EA⊥x轴，FB⊥EA，OC⊥x轴，
∴四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=2，
∴FC=FB-BC=1，BA=EB+EA=5，
∵点F在第二象限，
∴点F（-1，5）
故选A．
点评：
本题考查了正方形的性质，三角形的全等和性质，点的坐标与象限的关系，熟练构造一线三直角全等模型是解题的关键．
11．D
根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可运用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，从而得到答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC＝60°，
∵AD∥BC，∠ADA′=50°，
∴∠DA′B=180°-∠ADA′＝130°， ∵AE⊥BC 于点E ，∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝30°，
∵△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′， ∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，
∴∠DA′E′＝∠DA′B+∠BA′E′＝160°． 故选：C ． 点评：
本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B 和∠BA′E′． 12．D
由图象可得对称轴为直线12b
x a
=-
=，可得2b a =-，可判断①；将点A 坐标代入解析式可得3c a =-，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a 的值，可判断③；由直角三角
形的性质和两点距离可求1a =-或2
-，可判断④，即可求解． 解：
二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，
∴对称轴为直线12b
x a
=-=， 2b a ∴=-，
20a b ∴+=，故①正确，
二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，且与y 轴的正半轴交于点C ，
∴抛物线开口向下， ∴a<0，
当1x =-时，0a b c =-+， 20a a c ∴++=，
3c a ∴=-，
4312660c b a a a ∴-=-+=->，故②正确；
二次函数223y ax ax a =--，(0)a <
∴点(0,3)C a -，
当BC AB =时，4
a ∴=
当AC BA =时，4，
a ∴= ∴当ABC ∆是等腰三角形时，a 的值有2个，故③正确；
二次函数2223(1)4y ax ax a a x a =--=--，
∴顶点(1,4)D a -，
22416BD a ∴=+，2299BC a =+，221CD a =+，
若90BDC ∠=︒，可得222BC BD CD =+， 222994161a a a ∴+=+++，
a ∴= 若90DCB ∠=︒，可得222BD CD BC =+， 222416991a a a ∴+=+++，
1a ∴=-，
∴当BCD ∆是直角三角形时，1a =-或
故选：D ． 点评：
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 13．68x
根据积的乘方和幂的乘方的运算法则计算可得． 解：原式=()3
2
2x =6
8x
.
故答案为68x ． 点评：
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．
14．4
利用平方差公式直接计算即可．
解：
22
=- 4=，
故答案为：4．
点评：
本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
15．29
根据概率公式，用红球的个数除以球的总数即可得到结果．
解：∵从袋子中取出1个球，共有9种等可能的结果，其中摸到的是红球的有2种结果， ∴P（红）=
29． 故答案为：
29
． 点评：
本题考查概率的计算的知识点，熟知求概率的公式是解题的关键．
16．21y x =-
根据上加下减的原则确定解析式即可
∵直线24y x =-向上平移3个单位长度，
∴平移后直线的解析式为y=2x-4+3即y=2x-1,
故答案为：y=2x-1．
点评：
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
17．2
连接AE ，通过折叠结合正方形的性质可证：DE EF =，然后设未知数，在Rt EGC △中，运用勾股定理列方程即可．
如图所示，连接AE
∵ABCD 是正方形
∴90B C D BAD ∠=∠=∠=∠=︒，6AB BC CD DA ====
由折叠可知：90AFE ∠=︒，6AF AB AD ===
∵DE =EF ∴DE EF =
设DE EF x ==，则6EC x =-
∵G 为BC 中点
∴3BG GF GC ===
在Rt EGC △中
222EG EC GC =+ ，即()()22
2363x x +=-+ 解得：2x =
故答案为：2
点评：
本题考查了轴对称、正方形的性质及勾股定理的知识，通过折叠的性质进行推导，在直角三角形中运用勾股定理列方程是解题的关键．
18．（1；（2）见解析，如图，取格点O ，连接OC 并延长；取格点D ，连接BD 并延长，与OC 的延长线相交于点P ，则点P 即为所求
（1）根据格点的特征及勾股定理即可求解；
（2）取格点O ，连接OC 并延长；取格点D ，连接BD 并延长，与OC 的延长线相交于点P ，则
点P 即为所求．
（1
）由勾股定理可得，AB =
；
（2）如图，取格点O ，连接OC 并延长；取格点D ，连接BD 并延长，与OC 的延长线相交于点P ，则点P 即为所求．
理由：连接OB ，
∵26BAC ∠=︒，
∴52BOC ∠=°，
在△OMB 和△DBN 中，
OM BN OMB DNB BM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△OMB≌△DBN，
∴∠MOB=∠DBN，
∵∠MOB+∠OBM=90°，
∴∠DBN+∠OBM=90°，
∴∠OBD=90°，
∴38BPC ∠=︒．
点评：
本题考查了作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
19．（1）x ≥-2；（2）3x ≤；（3）见解析；（4）23x -≤≤
分别求出每个不等式的解集，在数轴上确定它们的公共部分，从而确定不等式组的解集． 解：不等式①的解集为x ≥-2，
不等式②的解集为3x ≤．
在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为23x -≤≤．
故答案为：（1）x ≥-2；（2）3x ≤；（3）见详解；（4）23x -≤≤．
点评：
本题考查了不等式组的解法的知识点，熟知解不等式组的步骤和方法是解题的关键．
20．（1）80，20；（2）众数为5，中位数为6，平均数是6.4；（3）该区2000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数约为400人
（1）根据5天的人数和所占的百分比求出抽样调查总人数，用6天的人数除以总人数即可求出m 的值；
（2）根据众数、中位数和平均数的计算公式分别进行解答即可；
（3）用八年级的人数乘以参加社会实践活动时间大于7天的学生人数所占的百分比即可． 解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：28÷35%=80（人）， m%=1680
×100%=20%，则m=20； 故答案为：80，20；
（2）∵ 在这组数据中，5出现了28次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为5；
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，有
6662+=， ∴ 这组数据的中位数为6； 观察条形统计图，5286167208898 6.480
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==， ∴ 这组数据的平均数是6.4；
（3）∵ 在80名学生中，参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例为20%，
∴ 由样本数据，估计该区2000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数比例约为20%，于是，有200020%400⨯=(人)．
∴ 该区2000名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于7天的人数约为400人．
点评：
本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，众数、中位数、加权平均数的计算以及用样本估计总体的思想．关键是正确从统计图中获取正确信息．
21．（1）71°；（2）26°
（1）连接AE ，根据DE BE =可得DE BE =，根据圆周角定理可得12
EAC EAB CAB ∠=∠=∠，所以得到19EAC ∠=︒，根据“直径所对的圆周角是90°”可得90AEC AEB ∠=∠=︒，根据直角三角形的性质即可得到C ∠的大小；
（2）连接AE ，OE ，根据切线的性质可得90OEF ∠=︒，根据圆周角定理可得
1262
EAB CAB ∠=∠=︒，从而得到EBA ∠的度数，根据等腰三角形的性质可得OEB EBA ∠=∠，继而可求得BEF ∠的大小．
解：（Ⅰ）如图，连接AE ．
∵ DE BE =，
∴ DE BE =． ∴ 12
EAC EAB CAB ∠=∠=∠． ∵ 38CAB ∠=︒，
∴ 19EAC ∠=︒．
∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ 90AEC AEB ∠=∠=︒．
∴ 9071C EAC ∠=︒-∠=︒．
（2）如图，连接AE ，OE ．
∵ GF 为⊙O 的切线，
∴ 90OEF ∠=︒．
∵ 52CAB ∠=︒， ∴ 1262
EAB CAB ∠=∠=︒． ∴ 9064EBA EAB ∠=︒-∠=︒．
∵ OE OB =，
∴ 64OEB EBA ∠=∠=︒．
∴ 26BEF OEF OEB ∠=∠-∠=︒．
点评：
本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握各个知识点是解题的关键．
22．建筑物CD 的高度约为16m
分别在直角三角形DAC ，DBC 中，运用正切函数依此计算即可
解： 根据题意，22A ∠=︒，58DBC ∠=︒，30AB =．
∵ 在Rt DAC 中，tan DC A AC
=，
∴ tan 22DC AC =︒
． ∵ 在Rt DBC △中，tan DC DBC BC
∠=
， ∴ tan58DC BC =︒． ∵ AC AB BC =+，
∴ 30tan 22tan58DC DC =+︒︒
． ∴ 30tan 22tan5830 1.600.4016tan58tan 22 1.600.40DC ⨯︒⨯︒⨯⨯=
≈=︒-︒-． 答：建筑物CD 的高度约为16m ．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，选择适当的直角三角形，选择合适的三角函数是解题的关键．
23．（1）30，2700，5400，见解析；（2）①80；②100；③()54,4320；（3）当030x ≤≤时，1805400y x =-+；当3054x ＜≤时，1805400y x =-；当5467.5x ＜≤时，80y x =
（1）作O E x '⊥轴，分别交AB 于点E ，交x 轴于点O '；根据题意，结合中位线的性质计算，即可得到当步行时间为15min 时，两人时间的距离；再结合题意，可得当两人之间的距离为0m 和当步行的时间为67.5min 分别对应的时间和距离；
（2）①设小丽步行的速度为x /min m ，小明步行的速度为y /min m ，根据在步行过程中，小明先到达甲地，得y x >，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
②结合①的结论，即可得到答案；
③结合（2）①的结论，根据小明先到达甲地的情况进行计算，即可得到答案；
（3）结合（2）③的结论，根据一次函数的性质，通过列方程组并求解，即可得到答案．
（1）如图，作O E x '⊥轴，分别交AB 于点E ，交x 轴于点O '
根据题意，当步行时间为15min 时，12O B OO OB ''==
∵OA OB ⊥
∴//O E OA ' ∴127002
O E OA m '== 根据题意，当两人之间的距离为0m 时，步行的时间为30min ；当步行的时间为67.5min 时，两人时间的距离为：5400m
故答案为：30，2700，5400；
（2）①设小丽步行的速度为x /min m ，小明步行的速度为y /min m
∵在步行过程中，小明先到达甲地
∴y x >
根据题意得：()67.55400305400x x y =⎧⎨+=⎩
∴80100x y =⎧⎨=⎩
∴小丽步行的速度为80/min m
故答案为：80；
②结合①的结论，得小明步行的速度为100/min m
故答案为：100；
③根据题意，图中点C 的横坐标为：5400=54100
图中点C 的纵坐标为：80544320⨯=
∴图中点C 的坐标为：()54,4320
故答案为：()54,4320；
（3）根据题意，得()0,5400A ，()30,0B ，()54,4320C ，()67.5,5400D
设直线AB 解析式为：y kx b =+
∴5400300
b k b =⎧⎨+=⎩ ∴5400180b k =⎧⎨=-⎩
∴当030x ≤≤时，1805400y x =-+；
设直线BC 解析式为：y kx b =+
∴300544320k b k b +=⎧⎨+=⎩
∴5400180b k =-⎧⎨=⎩
∴当3054x ＜≤时，1805400y x =-；
设直线CD 解析式为：y kx b =+
∴67.55400544320k b k b +=⎧⎨+=⎩
∴080
b k =⎧⎨=⎩ 当5467.5x ＜≤时，80y x =
即当030x ≤≤时，1805400y x =-+；
当3054x ＜≤时，1805400y x =-；
当5467.5x ＜≤时，80y x =．
点评：
本题考查了三角形中位线、二元一次方程组、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一次函数、直角坐标系及坐标的性质，从而完成求解．
24．（Ⅰ）⎫⎪⎪⎝⎭．（Ⅱ）2304S m m =+<<⎝⎭．（Ⅲ）⎫⎪⎪⎝⎭
．
解：（Ⅰ）在Rt△ABO 中，点A 0），点B （0，1），点O （0，0），
∴OA =OB=1．
由OM=m ，得AM OA OM m =-=．
根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，有BM AM m =．
在Rt△MOB 中，由勾股定理可得，222BM OB OM =+，
即)221m m =+，解得m =．
∴点M 的坐标为0.⎫⎪⎪⎝⎭
（Ⅱ）在Rt△ABO 中，tan
3OB OAB OA ∠=
==, ∴∠OAB=30°．
由MN⊥AB,得∠MNA=90°．
∴在Rt△AMN 中，得)
1
sin 2MN AM OAB m =∠=，
)
cos 2AN AM OAB m =∠=．
∴()2
132AMN S MN AN m ==． 由折叠可知△A′MN≌△AMN，有∠A′=∠OAB=30°， ∴∠A′MO=∠A′+∠OAB=60°．
∴在Rt△COM 中，得：tan CO OM AMO =∠． ∴2132COM S OM CO m ==．
又111222
ABO S OA BO ==⨯=, 于是，ABO AMN COM S S S S =--
)2
228
2m =--，
2304m m m =+<<⎝⎭
． （Ⅲ）由第（Ⅰ）、（Ⅱ）问可得，
当0m <<S <≤
当m =时，S =，
S ∴=m <<， 此时情况如图所示，
重叠部分即为△A′MN，
A M AM m '==，∠NA′M =∠NAM =30°，
由MN⊥AB，得∠A′NM =90°,
∴2
m MN =，3)cos302m A N A M ''=⋅=，
则1122A MN S S MN A N ∆'==⋅'=．
若S =，则12=
整理，得21)3m =
，
解得，1m =，2m =（舍去）．
因此，当24S =时，点M
的坐标为（3
，0）． 25．（1）265y x x =-+；（2）①APC △的为直角三角形，见解析；②存在，M 1317()66，，237()66
， ． （1）利用待定系数法解题；
（2）①根据抛物线的对称性得PA PB =，结合等边对等角得到ABP BAP ∠=∠，继而证明5OB OC ==，得到45ABP ∠=︒，90APC ∠=︒据此解题；
②由因式分解法解得一元二次方程2650x x -+=的解为1x =或5x =，得到0(1
)A ，，继而由待定系数法得直线BC 的解析式为5y x =-+，再分类讨论：当12AM B ACB ∠=∠时，当22AM C ACB ∠=∠时，结合勾股定理解题．
解：（1）根据题意，得525300c a c =⎧⎨-+=⎩，， 解得15a c =⎧⎨=⎩
，． ∴ 抛物线的解析式为265y x x =-+；
（2）① APC △为直角三角形，理由如下，
∵ 点A ，B 是抛物线与x 轴的交点，点P 在抛物线的对称轴上，
∴ PA PB =，
∴ ABP BAP ∠=∠，
∵ (50)B ，
，(05)C ，， ∴ 5OB OC ==，
∴ 45ABP ∠=︒．
∴ 18090APB ABP BAP ∠=︒-∠-∠=︒，
∴ 90APC ∠=︒，
∴ APC △的为直角三角形．
② 由2650x x -+=，
(1)(5)0x x --=
解得1x =或5x =，
∴ 0(1
)A ，， 由(50)B ，
，(05)C ，，得直线BC 的解析式为5y x =-+，
如图，当12AM B ACB ∠=∠时，
得 1111M AC AM B ACM M CA ∠=∠-∠=∠，
∴ 11M C M A =，
设点1M 的坐标为11(5)m m -+，
， 过点1M 作1M D x ⊥轴，1M E y ⊥轴，垂足分别为D ，E ，
∴ 222211M E CE M D AD +=+，
∴ 22221111(1)(5)m m m m +=-+-+．解得1136
m =， ∴ 点1M 的坐标为1317()66
，； 当22AM C ACB ∠=∠时，设点2M 的坐标为22(5)m m -+，
， 由⊥AP BC ，12AM P AM P ∠=，得12PM PM =，
由2265(3)4y x x x =-+=--，得该抛物线的对称轴为直线3x =，
由平移得1233m m -=-，解得2236m =
， ∴ 点2M 的坐标为237()66
，， 综上，所求点M 的坐标为1317()66，，237()66
，． 点评：
本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．。