第8讲欧氏空间正交基
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(3 ,1 ) 1 (1 ,1 ) 2 (2 ,1 )
(3 ,1 ) 1 (1 ,1 )
解得 1(( 3 1,, 1 1))。
又 0 ( 由 3 ,2 ) ( 3 1 1 2 2 ,2 )
(3 ,2 ) 1 (1 ,2 ) 2 (2 ,2 )
解 因为
||| |(,) 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 ,
||| | (,) 3 2 1 2 5 2 1 2 6 ,
( ,) 1 3 2 1 2 5 3 1 1 , 8
故 , ar|c ( | |,c | | |)|o |a sr3 c1 2 c 6 8 os
2 .齐 次 性 :||k || |k ||| ||;
3 .三角 :| 不 | | |等 | | | ||式 | |。 |
第8页，共62页。
1. 零向 0(0,量 0, ,0)的长度 :|0 || |等 0。 于零 2. 长度等1于的向量称为单位向量。
3. 若 为非零 , 则 |向 | ||为 量单位 。向量
1 1 22 kk 0 ,
其,中 常数 1,2, ,k不全为零。
任取 i (向 i1 ,2,量 ,k),作内积如下
(i ,1 1 2 2 kk ) (i ,0 ) 。
第19页，共62页。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( i ,1 1 2 2 k k ) ( i ,0 )
由 于 i j,( i , j ) 0 ,而 ( i ,i ) i2 0 ,故 得
| | |2 | | ||2 | | | |2 |。
第17页，共62页。
例 设 ,是欧E 氏 n中空 的间 两 ,且 个 ,向量
证 :||明 |2 | |||2 | |||2 |。
证 因 V 为 ,有 (,) |||2 |,故
几何意| |义 |2 | ( , )
在R3中
(,) 2 (, ||) (|, 2 | ) |, ||2 | |||2 |
第31页，共62页。
3 . 若 ( 3 , 1 ) 0 , ( 3 , 2 ) 0 , 则 3 3 。 ( 3 1 取 , 3 2 )
若 (3 ,1 ) 0 ,(3 ,2 ) 0 ,则取
3 3 1 1 2 2,
于 ,由 0 是 ( 3 ,1 ) ( 3 1 1 2 2 ,1 )
3. 正定 : (, 性 )0,当且 仅 0时当 等号成
第5页，共62页。
例 若 ( 2 ,0 , 3 , 5 ,2 ) , ( 1 , 8 ,2 , 2 ,0 ) , 则
( ,) 2 ( 1 ) 0 8 3 2 5 ( 2 ) 2 0
6。
( , ) ( 1 ) 2 8 0 2 3 ( 2 ) 5 0 2
第7页，共62页。
欧氏空间中向、 量 向的 量长 间度 的夹角
(x 1 ,x 2 , ,x n ) E n ,定义 的 向 长 量 度
|| | | (, )x 1 2x2 2 xn 2。 (,)||||2
向量 的长||度 ||具有以:下性质
1正 . :|定 || |0 ,当 性 且 0 时 ,|仅 || |0 ; 当
第12页，共62页。
二. 向量的正交性
欧氏空间中向量间的夹 角
欧氏 En中 空 ,两 间 个非 与 零 间向 的量 夹角
, a rc| c ( | |,| |o |)|,|s ,[0 ,]。
第13页，共62页。
例 设 ( 1 ,2 ,2 , 3 ) , ( 3 , 1 , 5 , 1 ) , 求 , 。
arcco2s 。
24
第14页，共62页。
两个向量正交的定义
设和为欧氏 En中 空的 间两个,非 若零向
(,)0,
即arcco|| s(|,||)||0
则称 与 相 向互 量 ,记 正 为 。 交
两个向量正交的充要条件
设和为欧氏 En中 空的 间两个,非 则零向
,。
2
第15页，共62页。
由正交矩阵的定义下可列知条件等: 价 1. A为正交矩;阵 2. ATAE; 3. ATA1; 4. A1 也是正交矩阵。
第25页，共62页。
例 证:明 若 n阶方 A和 阵 B均为正,交矩阵 则AB也是n阶正交矩阵。
证 因 A T 为 A E , B T B E , 所 , 以
( A ) T A B B B T A T A B B T ( A T A ) B B TE B B TB E ,
(i , 1 1 2 2 kk ) i(i ,i) i i2 ,
又 (i,0)0, 从而
i 0 , (i 1 ,2 , ,k ) 。
这与 1,2, ,k不全为零矛说 盾明 。 : 了 该矛盾
欧氏空间中的组 正是 交线 向性 量无关的。
显,然 正交向量组 个所 数含 不向 大量 V 于 的 的 所 维在 数
施密 (S特 chm )正 id交 t 法
第30页，共62页。
施密 (S特 chm )正 id交 t 法
设 1,2, ,m是空 Vn中 间的一组线 量性 组无
1. 令11。 1 ,2 ,3 , ,m 1 ,2 ,3 , ,m
2 .若 ( 2 ,1 ) 0 ,则 2 2 。 ( 取 2 1 )
i,j 1 ,2 , ,n。
1, i j ,
第28页，共62页。
充要条件的证明
请翻开书 , 看 P 131 倒数第 4 行 的定理 2 及其证明。
第29页，共62页。
四. 正交化方法
在n维向量V 空 n中 间 , 一个线性无关 不的 一向 定量 是组 正交 , 向量
但总可以找法 到将 适线 当性 的无 方化 关为 的向 正交向量 这组 样。 的方法称方 为法 正。 交化
欧氏空E间 n中向量间的距离
设, En, 称非负数 d(,)|||| 为En中向 与 量 的距离。
第10页，共62页。
例 证明：在欧 En中 氏柯 空西 间不等式成立
(,) 2 (,),() , , V ,
其中 , 等号当且 与仅 线当 性相关时成立。
证 1 .若 与 线性 ,则 无 对 关 任 , 意 0,实
且 ( , ) | | |2 | 0 ,故有
( , ) ( ) ) ( ( )
b24ac ? 0
2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2 ( a, ) 2 ( b ,) ( c,) 0 。
关于 的二次三项式
一般泛 , 记 指 (为 ,内 )。 积时
第4页，共62页。
内积的运算性质
1 .对:称 ( ,) 性 (,);
2 .双 :( k 1 线 1 k 2 2 ,) 性 k 1 ( 1 ,) k 2 ( 性 2 ,) ,
( , k 1 1 k 2 2 ) k 1 ( ,1 ) k 2 ( ,2 ) ;
4. 任何一个非 均零 可向 单 。 量 位化
第9页，共62页。
由向量的长度的定义,式若
( a 1 ,a 2 , ,a n ), ( b 1 ,b 2 , ,b n ) E n ,
则 || | |( b 1 a 1 ) 2 ( b 2 a 2 ) 2 ( b n a n ) 2 。
第20页，共62页。
欧氏空间中的标准向正量交组
设 1,2, ,m是欧氏 En中 空的 间一组,正交
如果 1, 2, , m中的每个向向 量量 ,均 则为 称单 该位
正交向量组为向 标量 准,组 正 简交 称为标准正交组
第21页，共62页。
三 . n维向量 Vn的 空正 间交基
Vn 是一些或全部
第8讲欧氏空间正交 基
第1页，共62页。
第三章 向量空间 第四节 欧氏空间
本节教学要求：
▲ 了解向量的内积和向量正交的概念。
▲ 知道欧氏空间的概念。
▲ 了解向量空间的正交基的概念。
▲ 能熟练地将向量空 间的一般基转换为相应的正交基。
第2页，共62页。
第四节 欧几里得空间
一. 欧几里得空间 二. 向量的正交性
三 . 向量空 Rn的 间正交基
四. 正交化方法
第3页，共62页。
一. 欧几里得空间
向量的内积
( x 1 , x 2 , , x n ) 和 ( y 1 , y 2 , , y n ) R n ,称
n
xiyi x1y1x2y2 xnyn
i1
为和 向 的 ,记 量 内 (,) 或 为 积 。
由定义 : A可 B 也知 n 是 阶正交矩阵。
第26页，共62页。
判别正交矩阵的充要条 件 n 阶方阵 A为正交矩阵的充是要: 条件 A的任意一行（素 列的 ）平 各方 元和 1, 等于 而任意一行（ 元列 素） 与的 另各 一行 对（列 应元素的乘积之和为零。
第27页，共62页。
a11 a12 a1n 1
又 ,所 ,(,以 ) 0 ,从 , 勾而 股定理
| | |2 | | ||2 | | | |2 |。
在 Rn 中, 。
第18页，共62页。
例 欧氏空 En中 间两两相互正 非交 零的 向一 量组
1,2, ,k
称为V 的一个正交向量组。
证明 : 欧氏空间中组 的是 正线 交性 向无 量关
证 如果正 1 ,2 交 , ,k 向 是量 线,组 性 则相 有
n维向量 Vn的 空正 间交基
n维向量的集合。
设向 1 , 2 , 量 , n是 组 向 V n 的 量 一 , 空
如 果 1,2, ,n是两两 , 则 正 称 交 它 的 们为
间Vn 的一组正交基。
如果正1交 , 2,基 , n中的每个向量均
向量 , 则称该正交基 交为 基 (或标 称准 为正 规 )。范基
第11页，共62页。
由二次三项式的知识得可
(,)2(,)(,)。
即与线性无,关 柯时 西不等式成立。
2. 证明等号成立 因 为 k R, 有
(k ,)2 (k ,)k (,)
k2(,)(,) (k ,k )(,),
与 (,)2(,)(,)比,立 较即 : 可 k知
当且 仅 与当 线性相, 柯 关西 时不等式中 。等
记 Aa 21 a 22 a 2n2, 则
行
an1 an2 ann n
0, i j,
A为正交 矩 ( i, 阵 j)
i,j 1 ,2 , ,n。
1, i j ,
a11 a12 a1n
记Aa 21 a 22 a 2n[1 2n],则 列
an1 an2 ann
0, i j,
A为正交 矩 ( i, 阵 j)
规定零向量与任何向量正交。
第16页，共62页。
例 设 ,是欧E 氏 n中空 的间 两 ,且 个 ,向量
证 :||明 |2 | |||2 | |||2 |。
证 因 V 为 ,有 (,) |||2 |,故
| | |2 | ( , )
(,) 2 (,) (,) ,
又 ,所 ,( , 以 ) 0 ,从 , 而
若 (2 ,1 ) 0 ,则 2 取 2 1(为待 ),定
于 ,由 0 是 ( 2 ,1 ) ( 2 1 ,1 )
( 2 ,1 ) ( 1 ,1 ) ( 2 ,1 ) ( 1 ,1 )
解得 (( 2 1,, 1 1)),
则2 向 2 ( (2 1 , ,量 1 1 ) )1 与 1 正 向 。 (2 交 量 1 )
第22页，共62页。
基
最大无关组
由向量构成的矩阵的秩
我们将引进正 描交 述矩 标阵 准来 正交 。基的
第23页，共62页。
正交矩阵
重要啊！
|A T A | |A T||A | |A |2,
若 n阶方 A满 阵足 |E|1,
ATAE,
故 |A|1。
则称A 为正交矩阵。
正交矩阵必满秩。
第24页，共62页。
6。
(,) 2 2 0 0 3 3 5 5 2 2 0 ( 正 ) 。 定
双线性性请自己举例验证。
第6页，共62页。
欧几里得空间
定义 (,)了 的内 向 R n ,称 积 量 为 空
n维欧几里 ,简得 称空 为间 欧 , 记氏 E 为 n。 空间
在欧氏空间 , 向中量与点被视为。 等同的 En中的元 “ 素 向 ,可 也 量 称 可 “ ” 为 称 。 点为 ”
(3 ,1 ) 1 (1 ,1 )
解得 1(( 3 1,, 1 1))。
又 0 ( 由 3 ,2 ) ( 3 1 1 2 2 ,2 )
(3 ,2 ) 1 (1 ,2 ) 2 (2 ,2 )
解 因为
||| |(,) 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 ,
||| | (,) 3 2 1 2 5 2 1 2 6 ,
( ,) 1 3 2 1 2 5 3 1 1 , 8
故 , ar|c ( | |,c | | |)|o |a sr3 c1 2 c 6 8 os
2 .齐 次 性 :||k || |k ||| ||;
3 .三角 :| 不 | | |等 | | | ||式 | |。 |
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1. 零向 0(0,量 0, ,0)的长度 :|0 || |等 0。 于零 2. 长度等1于的向量称为单位向量。
3. 若 为非零 , 则 |向 | ||为 量单位 。向量
1 1 22 kk 0 ,
其,中 常数 1,2, ,k不全为零。
任取 i (向 i1 ,2,量 ,k),作内积如下
(i ,1 1 2 2 kk ) (i ,0 ) 。
第19页，共62页。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( i ,1 1 2 2 k k ) ( i ,0 )
由 于 i j,( i , j ) 0 ,而 ( i ,i ) i2 0 ,故 得
| | |2 | | ||2 | | | |2 |。
第17页，共62页。
例 设 ,是欧E 氏 n中空 的间 两 ,且 个 ,向量
证 :||明 |2 | |||2 | |||2 |。
证 因 V 为 ,有 (,) |||2 |,故
几何意| |义 |2 | ( , )
在R3中
(,) 2 (, ||) (|, 2 | ) |, ||2 | |||2 |
第31页，共62页。
3 . 若 ( 3 , 1 ) 0 , ( 3 , 2 ) 0 , 则 3 3 。 ( 3 1 取 , 3 2 )
若 (3 ,1 ) 0 ,(3 ,2 ) 0 ,则取
3 3 1 1 2 2,
于 ,由 0 是 ( 3 ,1 ) ( 3 1 1 2 2 ,1 )
3. 正定 : (, 性 )0,当且 仅 0时当 等号成
第5页，共62页。
例 若 ( 2 ,0 , 3 , 5 ,2 ) , ( 1 , 8 ,2 , 2 ,0 ) , 则
( ,) 2 ( 1 ) 0 8 3 2 5 ( 2 ) 2 0
6。
( , ) ( 1 ) 2 8 0 2 3 ( 2 ) 5 0 2
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欧氏空间中向、 量 向的 量长 间度 的夹角
(x 1 ,x 2 , ,x n ) E n ,定义 的 向 长 量 度
|| | | (, )x 1 2x2 2 xn 2。 (,)||||2
向量 的长||度 ||具有以:下性质
1正 . :|定 || |0 ,当 性 且 0 时 ,|仅 || |0 ; 当
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二. 向量的正交性
欧氏空间中向量间的夹 角
欧氏 En中 空 ,两 间 个非 与 零 间向 的量 夹角
, a rc| c ( | |,| |o |)|,|s ,[0 ,]。
第13页，共62页。
例 设 ( 1 ,2 ,2 , 3 ) , ( 3 , 1 , 5 , 1 ) , 求 , 。
arcco2s 。
24
第14页，共62页。
两个向量正交的定义
设和为欧氏 En中 空的 间两个,非 若零向
(,)0,
即arcco|| s(|,||)||0
则称 与 相 向互 量 ,记 正 为 。 交
两个向量正交的充要条件
设和为欧氏 En中 空的 间两个,非 则零向
,。
2
第15页，共62页。
由正交矩阵的定义下可列知条件等: 价 1. A为正交矩;阵 2. ATAE; 3. ATA1; 4. A1 也是正交矩阵。
第25页，共62页。
例 证:明 若 n阶方 A和 阵 B均为正,交矩阵 则AB也是n阶正交矩阵。
证 因 A T 为 A E , B T B E , 所 , 以
( A ) T A B B B T A T A B B T ( A T A ) B B TE B B TB E ,
(i , 1 1 2 2 kk ) i(i ,i) i i2 ,
又 (i,0)0, 从而
i 0 , (i 1 ,2 , ,k ) 。
这与 1,2, ,k不全为零矛说 盾明 。 : 了 该矛盾
欧氏空间中的组 正是 交线 向性 量无关的。
显,然 正交向量组 个所 数含 不向 大量 V 于 的 的 所 维在 数
施密 (S特 chm )正 id交 t 法
第30页，共62页。
施密 (S特 chm )正 id交 t 法
设 1,2, ,m是空 Vn中 间的一组线 量性 组无
1. 令11。 1 ,2 ,3 , ,m 1 ,2 ,3 , ,m
2 .若 ( 2 ,1 ) 0 ,则 2 2 。 ( 取 2 1 )
i,j 1 ,2 , ,n。
1, i j ,
第28页，共62页。
充要条件的证明
请翻开书 , 看 P 131 倒数第 4 行 的定理 2 及其证明。
第29页，共62页。
四. 正交化方法
在n维向量V 空 n中 间 , 一个线性无关 不的 一向 定量 是组 正交 , 向量
但总可以找法 到将 适线 当性 的无 方化 关为 的向 正交向量 这组 样。 的方法称方 为法 正。 交化
欧氏空E间 n中向量间的距离
设, En, 称非负数 d(,)|||| 为En中向 与 量 的距离。
第10页，共62页。
例 证明：在欧 En中 氏柯 空西 间不等式成立
(,) 2 (,),() , , V ,
其中 , 等号当且 与仅 线当 性相关时成立。
证 1 .若 与 线性 ,则 无 对 关 任 , 意 0,实
且 ( , ) | | |2 | 0 ,故有
( , ) ( ) ) ( ( )
b24ac ? 0
2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2 ( a, ) 2 ( b ,) ( c,) 0 。
关于 的二次三项式
一般泛 , 记 指 (为 ,内 )。 积时
第4页，共62页。
内积的运算性质
1 .对:称 ( ,) 性 (,);
2 .双 :( k 1 线 1 k 2 2 ,) 性 k 1 ( 1 ,) k 2 ( 性 2 ,) ,
( , k 1 1 k 2 2 ) k 1 ( ,1 ) k 2 ( ,2 ) ;
4. 任何一个非 均零 可向 单 。 量 位化
第9页，共62页。
由向量的长度的定义,式若
( a 1 ,a 2 , ,a n ), ( b 1 ,b 2 , ,b n ) E n ,
则 || | |( b 1 a 1 ) 2 ( b 2 a 2 ) 2 ( b n a n ) 2 。
第20页，共62页。
欧氏空间中的标准向正量交组
设 1,2, ,m是欧氏 En中 空的 间一组,正交
如果 1, 2, , m中的每个向向 量量 ,均 则为 称单 该位
正交向量组为向 标量 准,组 正 简交 称为标准正交组
第21页，共62页。
三 . n维向量 Vn的 空正 间交基
Vn 是一些或全部
第8讲欧氏空间正交 基
第1页，共62页。
第三章 向量空间 第四节 欧氏空间
本节教学要求：
▲ 了解向量的内积和向量正交的概念。
▲ 知道欧氏空间的概念。
▲ 了解向量空间的正交基的概念。
▲ 能熟练地将向量空 间的一般基转换为相应的正交基。
第2页，共62页。
第四节 欧几里得空间
一. 欧几里得空间 二. 向量的正交性
三 . 向量空 Rn的 间正交基
四. 正交化方法
第3页，共62页。
一. 欧几里得空间
向量的内积
( x 1 , x 2 , , x n ) 和 ( y 1 , y 2 , , y n ) R n ,称
n
xiyi x1y1x2y2 xnyn
i1
为和 向 的 ,记 量 内 (,) 或 为 积 。
由定义 : A可 B 也知 n 是 阶正交矩阵。
第26页，共62页。
判别正交矩阵的充要条 件 n 阶方阵 A为正交矩阵的充是要: 条件 A的任意一行（素 列的 ）平 各方 元和 1, 等于 而任意一行（ 元列 素） 与的 另各 一行 对（列 应元素的乘积之和为零。
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a11 a12 a1n 1
又 ,所 ,(,以 ) 0 ,从 , 勾而 股定理
| | |2 | | ||2 | | | |2 |。
在 Rn 中, 。
第18页，共62页。
例 欧氏空 En中 间两两相互正 非交 零的 向一 量组
1,2, ,k
称为V 的一个正交向量组。
证明 : 欧氏空间中组 的是 正线 交性 向无 量关
证 如果正 1 ,2 交 , ,k 向 是量 线,组 性 则相 有
n维向量 Vn的 空正 间交基
n维向量的集合。
设向 1 , 2 , 量 , n是 组 向 V n 的 量 一 , 空
如 果 1,2, ,n是两两 , 则 正 称 交 它 的 们为
间Vn 的一组正交基。
如果正1交 , 2,基 , n中的每个向量均
向量 , 则称该正交基 交为 基 (或标 称准 为正 规 )。范基
第11页，共62页。
由二次三项式的知识得可
(,)2(,)(,)。
即与线性无,关 柯时 西不等式成立。
2. 证明等号成立 因 为 k R, 有
(k ,)2 (k ,)k (,)
k2(,)(,) (k ,k )(,),
与 (,)2(,)(,)比,立 较即 : 可 k知
当且 仅 与当 线性相, 柯 关西 时不等式中 。等
记 Aa 21 a 22 a 2n2, 则
行
an1 an2 ann n
0, i j,
A为正交 矩 ( i, 阵 j)
i,j 1 ,2 , ,n。
1, i j ,
a11 a12 a1n
记Aa 21 a 22 a 2n[1 2n],则 列
an1 an2 ann
0, i j,
A为正交 矩 ( i, 阵 j)
规定零向量与任何向量正交。
第16页，共62页。
例 设 ,是欧E 氏 n中空 的间 两 ,且 个 ,向量
证 :||明 |2 | |||2 | |||2 |。
证 因 V 为 ,有 (,) |||2 |,故
| | |2 | ( , )
(,) 2 (,) (,) ,
又 ,所 ,( , 以 ) 0 ,从 , 而
若 (2 ,1 ) 0 ,则 2 取 2 1(为待 ),定
于 ,由 0 是 ( 2 ,1 ) ( 2 1 ,1 )
( 2 ,1 ) ( 1 ,1 ) ( 2 ,1 ) ( 1 ,1 )
解得 (( 2 1,, 1 1)),
则2 向 2 ( (2 1 , ,量 1 1 ) )1 与 1 正 向 。 (2 交 量 1 )
第22页，共62页。
基
最大无关组
由向量构成的矩阵的秩
我们将引进正 描交 述矩 标阵 准来 正交 。基的
第23页，共62页。
正交矩阵
重要啊！
|A T A | |A T||A | |A |2,
若 n阶方 A满 阵足 |E|1,
ATAE,
故 |A|1。
则称A 为正交矩阵。
正交矩阵必满秩。
第24页，共62页。
6。
(,) 2 2 0 0 3 3 5 5 2 2 0 ( 正 ) 。 定
双线性性请自己举例验证。
第6页，共62页。
欧几里得空间
定义 (,)了 的内 向 R n ,称 积 量 为 空
n维欧几里 ,简得 称空 为间 欧 , 记氏 E 为 n。 空间
在欧氏空间 , 向中量与点被视为。 等同的 En中的元 “ 素 向 ,可 也 量 称 可 “ ” 为 称 。 点为 ”