2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列9_7二项分布、正态分布及其应用课件理

名师点拨 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1．首先判断几个事件的发生是否相互独立． 2．再求相互独立事件同时发生的概率． (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
跟踪训练
甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为
1 2
跟踪训练 某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了 部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．
(1)估计全市学生综合素质成绩的平均值； (2)若评定成绩不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看 作有放回的抽样)，变量ξ表示3名学生中成绩优秀的人数，求变量ξ的分布列及期 望E(ξ)． 解析：(1)依题意可知 55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6， 所以综合素质成绩的平均值为74.6.
该校成绩高于120分的有
人．
[解析] (1)由题意知，P(AB)＝233＝38，
3 P(A)＝1－213＝78，所以P(B|A)＝PPAAB＝87＝37.
8
(2)因为成绩ξ～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤ξ≤120)
＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的
P(ξ＝50)＝12×1－12－13＋1－13－12×13＝356.
P(ξ＝60)＝1－13－12×1－12－13＝316. 故ξ的分布列为
ξ 20 30 40 50 60
P
1 6
13 11 5 1 36 36 36 36
∴ξ的数学期望是E(ξ)＝20×16＋30×1336＋40×3116＋50×356＋60×316＝35.
1 3
，
1 2
；2小时以上且不超过3小时还车的概
率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相等的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
[解析] (1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元， 甲、乙两人所付费用都是10元的概率为 P1＝13×12＝16. 甲、乙两人所付费用都是20元的概率为 P2＝12×13＝16.
.
答案：0.341 3
考点一|条件概率与二项分布 (易错突破)
【例1】 (1)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少一次出现反面”，事件B
＝“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝
.
(2)某校高三11月月考中理科数学成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示
P(60≤ξ≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，
(2)由频率分布直方图知优秀率为10×(0.008＋0.022)＝0.3，
由题意知，ξ～B3，130， P(ξ＝k)＝C3k130k1703－k， 故其分布列为
E(ξ)＝3×130＝190.
ξ0
1
2
3
P
343 1 000
441 1 000
189 1 000
27 1 000
第七节 二项分布、正态分布及其应用
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.了解条件概率和两个事件相互独立
的概念．
以理解独立重复试验、二项分布的
2．理解n次独立重复试验的模型及二 概念为主，重点考查二项分布概率
项分布．
模型的应用．识别概率模型是解决
3．借助直观直方图认识正态分布曲 概率问题的关键．在高考中，常以
数为C
2 40
，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A
所包含的基本事件数为C115C125，所以所求的概率P(A)＝CC115C420125＝1250× ×2359＝2552.
(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为 男性驾驶员的概率为14000＝25，故X～B3，25. 所以P(X＝0)＝C03250353＝12275， P(X＝1)＝C1325352＝15245，
跟踪训练 已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)
＝( )
A．0.85
B．0.70
C．0.35
D．0.15
答案：C
考点二|独立重复试验与二项分布 (方法突破) 【例2】 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家 用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名 男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在 45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25 人．
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
6．正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝
b

φμ，σ(x)dx，则称随机

a
变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)．
7．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴的 上方 ，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称．
1 2
(1－0.8)＝0.1，所以估
计成绩高于120分的有0.1×780＝78(人)．
[答案]
3 (1)7
(2)78
名师点拨 1.利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PPAAB，这是通用的求条 件概率的方法． 2．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生 的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nnAAB.
2．相互独立事件 (1)定义： 设A，B是两个事件，若P(AB)＝ P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质： 若事件A与B相互独立，那么A与 B ， A 与B， A 与 B 也都相互独立．
3．独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表 示第i次试验的结果，则P(A1A2A3…An)＝ P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) ．
线的特点及曲线所表示的意义，能解 解答题的形式考查，难度为中档.
决一些简单的实际问题.
[基础梳理]
1．条件概率
(1)定义：
PAB
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝ PA
下， 事件B 发生的概率．
为在 事件A 发生的条件
(2)性质： ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1； ②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
，乙、丙
做对的概率分别为m，n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生
中做对该题的人数，其分布列为：
ξ012 3
P
1 4
a
b
1 24
(1)求至少有一位学生做对该题的概率；
(2)求m，n的值；
(3)求ξ的数学期望．
解析：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题 意知，P(A)＝12，P(B)＝m，P(C)＝n. (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ＝0”是对立的，所以至少有 一位学生做对该题的概率是1－P(ξ＝0)＝1－14＝34.
每次抽一张，已知第1次抽到K，第2次也抽到K的概率为
．
答)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工
序的次品率分别为 710 ， 619 ， 618 ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品
率为
．
答案：730
4．(选修2－3·2.4B组改编)若x～N(5,1)，则P(5<x<6)＝
考点三|相互独立事件同时发生的概率 (思维突破)
【例3】 某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如
下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一
小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设
甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2 人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记 这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列．
[解析] (1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总
(3)曲线在x＝μ处达到峰值σ
1 2π.
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“ 瘦高 ”，表示总体的分 布越 集中 ；σ越大，曲线越“ 矮胖 ”，表示总体的分布越 分散 ．
8．3σ原则 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0．682 6 . (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0．954 4 . (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0．997 4 .
4．二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率
为p，则P(X＝k)＝C
k n
pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分
布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
5．正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)
P(X＝2)＝C2325235＝13265， P(X＝3)＝C33253350＝1285. 所以X的分布列为
X0 1 2 3
P
27 125
54 125
36 125
8 125
名师点拨 1.独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行 的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要 么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． 2．二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
(2)由题意知，P(ξ＝0)＝P( A B C ) ＝12(1－m)(1－n)＝14， P(ξ＝3)＝P(ABC)＝12mn＝214， 整理得mn＝112，m＋n＝172. 由m>n，解得m＝13，n＝14.
甲、乙两人所付费用都是30元的概率为 P3＝1－13－12×1－12－13＝316. 故甲、乙两人所付费用相等的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝1336.
(2)随机变量ξ的取值可以为20,30,40,50,60. P(ξ＝20)＝12×13＝16. P(ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1363. P(ξ＝40)＝12×13＋1－12－13×13＋1－13－12×12＝3116.
[三基自测]
1．(选修2－3·习题2.2B组改编)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，
无论哪一方先胜出三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为
2 3
，则甲以
3∶1的比分获胜的概率为( )
8 A.27
B．6841
4 C.9 答案：A
D．89
2．(选修2－3·2.2练习改编)从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，