2019北师大版高中数学选修1-1新优化全国通用练习：模块综合测评 Word版含解析

姓名，年级：时间：
模块综合测评
（时间：120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1。

已知命题p：∀x∈R，x≥1,则命题 p为（)
A。

∀x∈R,x≤1
B.∃x∈R，x〈1
C.∀x∈R，x≤-1
D。

∃x∈R，x<-1
解析：全称命题的否定是特称命题。

答案：B
2。

已知a=(2，-1,3），b=（-4,2，x)，c=(1，-x,2）,若(a+b)⊥c，则x等于()
A。

4 B.—4
C.1
2
D。

-6
解析：∵a=（2，—1，3),b=(—4，2,x)，c=(1，-x，2）,a+b=（-2，1，x+3），且（a+b）⊥c,
∴(a+b）·c=0，即—2—x+2（x+3)=0,解得x=—4。

故选B.
答案：B
3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（)
A。

1
8B.-1
8
C。

8 D.—8
解析：由y=ax2得x2=1
a
y,
∴1a =-8,∴a=-1
8
. 答案:B
4.(2017天津高考）设x ∈R ，则“2—x ≥0”是“｜x-1|≤1”的( ) A.充分而不必要条件
B 。

必要而不充分条件
C 。

充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：∵x=—3满足2—x ≥0,但不满足｜x —1|≤1,
∴“2—x ≥0”不是“|x —1｜≤1”的充分条件。

若｜x —1|≤1,则-1≤x-1≤1，即0≤x ≤2,可得2-x ≥0， 即“2-x ≥0”是“｜x-1|≤1”的必要条件,
故“2-x ≥0”是“｜x-1|≤1”的必要而不充分条件。

故选B . 答案:B
5.下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A.p :a+c>b+d ，q :a 〉b 且c>d
B.p ：a>1,b>1,q ：f (x ）=a x
—b (a 〉0且a ≠1）的图像不过第二象限 C.p :x=1,q :x 2
=x
D 。

p ：a 〉1，q :f (x )=log a x (a 〉0且a ≠1）在（0,+∞）上为增函数
解析:由于a>b ，c 〉d ⇒a+c 〉b+d ,而a+c>b+d 却不一定推出a>b ，且c>d.故A 中p 是q 的必要不充分条件。

B 中，当a>1，b 〉1时，函数f (x ）=a x —b 不过第二象限，当f （x ）=a x
—b 不过第二象限时,有a 〉1,b ≥1.故B 中p 是q 的充分不必要条件。

C 中，因为x=1时有x 2
=x ，但
x 2=x 时不一定有x=1，故C 中p 是q 的充分不必要条件。

D 中p 是q 的充要条件。

答案：A
6。

(2017全国Ⅱ高考)若
a>1,则双曲线x 2
a 2-y 2=1
的离心率的取值范围是( ） A 。

(√2，+∞) B .（√2,2) C 。

（1，√2）
D 。

（1,2)
解析:由题意得e 2
=c 2a 2=a 2
+1a 2=1+1
a 2。

因为a〉1,所以1〈1+1
a2
<2。

所以1〈e〈√2。

故选C。

答案:C
7。

若当x=2时，函数f（x）=ax3—bx+4有极值-4
3
，则函数的解析式为(）
A.f（x)=3x3-4x+4
B.f(x）=1
3
x2+4
C.f（x）=3x3+4x+4
D.f(x）=1
3
x3—4x+4
解析:∵f（x)=ax3—bx+4，∴f’（x)=3ax2—b.
由题意得，{f(2)=8a-2b+4=-4 3 ,
f'(2)=12a-b=0,
解得{a=1 3 ,
b=4.∴f(x)=1
3
x3-4x+4。

答案:D
8.(2017天津高考）已知双曲线x2
a2−y2
b2
=1（a〉0，b〉0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线
上,△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为(）
A。

x2
4−y2
12
=1 B.x2
12
−y2
4
=1
C.x2
3—y2=1 D。

x2-y2
3
=1
解析:∵双曲线x2
a2−y2
b2
=1（a〉0，b>0)的右焦点为F(c,0），点A在双曲线的渐近线上,且△OAF
是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=b
a
x上,
∴{c =2,
b
a =tan60°,a 2+
b 2=
c 2,
解得{
a =1,
b =√3.
所以双曲线的方程为x 2-y 2
3=1。

故选D 。

答案:D
9.若函数f （x )=x 2
+a x
（a ∈R )，则下列结论正确的是
( )
A 。

∀a ∈R ,f （x )在(0，+∞）上是增函数
B 。

∀a ∈R ，f （x )在(0,+∞）上是减函数
C 。

∃a ∈R ,f (x ）是偶函数
D 。

∃a ∈R ，f （x ）是奇函数
解析:f'（x )=2x-a x 2,故只有当a ≤0时,f （x ）在(0，+∞)上才是增函数,因此A,B 不对;当a=0时，f （x ）=x 2
是偶函数，因此C 对;D 不对。

答案：C
10.（2017全国Ⅲ高考)已知椭圆
C :x 2a 2
+
y 2b
2
=1(a 〉b 〉0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2
为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C 的离心率为（ )
A.√63
B.√3
3
C.√2
3
D.13
解析:以线段A 1A 2为直径的圆的方程是x 2
+y 2
=a 2
.
因为直线bx —ay+2ab=0与圆x 2
+y 2
=a 2
相切, 所以圆心到该直线的距离d=
√b +a 2
=a ，
整理，得a 2
=3b 2
,即a 2
=3(a 2
-c 2
)，
所以c 2
a 2=23,从而e=c a =√6
3.故选A .
答案：A
11.若不等式2x ln x ≥-x 2
+ax —3对x ∈（0，+∞)恒成立,则实数a 的取值范围是（ ) A 。

(-∞，0） B 。

（—∞,4]
C.（0,+∞）
D.［4，+∞)
解析：由2x ln x ≥-x 2
+ax-3，得a ≤2ln x+x+3x ,设h (x ）=2ln x+x+3x （x>0),则h'（x )=(x+3)(x -1)
x 2
.当x ∈（0，1）时，h'（x )〈0,函数h （x ）单调递减；当x ∈(1,+∞)时,h'(x )>0，函数h （x ）单调递增，所以h (x )min =h （1)=4。

所以a ≤h (x )min =4。

故a 的取值范围是(—∞，4]. 答案:B
12。

已知点P (1,3
2)是椭圆x 2
4+y 2
3=1上一点，点A ，B 是椭圆上两个动点，满足PA
⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的斜率为（ ） A 。

-1
2
B 。

-√2
2
C 。

1
2
D.√2
2
解析：设A （x 1,y 1），B (x 2,y 2),
∵PA
⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点P (1,32
), ∴(x 1-1,y 1-32)+(x 2-1,y 2-3
2
) =3(-1,-32
)， ∴x 1+x 2=—1,y 1+y 2=-32。

把A ，B 代入椭圆方程，得{3x 12+4y 12
=12,
3x 22+4y 22
=12,
两式相减，得3(x 1+x 2）(x 1—x 2）+4(y 1+y 2）（y 1-y 2)=0,
∴y 1-y
2x 1
-x 2
=—3(x 1+x 2)
4(y 1
+y 2
)
.
∵x 1+x 2=—1，y 1+y 2=—32
， ∴k AB =y 1-y
2x 1
-x 2
=-3(x 1+x 2)4(y 1
+y 2
)=-12
.故选A .
答案:A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13。

(2017全国Ⅲ高考)双曲线x 2
a 2−y 2
9=1（a 〉0)的一条渐近线方程为y=3
5x ,则a= .
解析：由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±3a x.由题意得3a =35
，解得a=5。

答案:5
14.若命题“存在实数x ∈［1，2］，使得e x +x 2
+3—m<0”是假命题,则实数m 的取值范围为 .
解析：∵命题“存在实数x ∈［1,2］,使得e x +x 2
+3-m<0"是假命题，
即命题“任意实数x ∈[1，2],使得e x +x 2+3—m ≥0"是真命题,即e x +x 2
+3≥m 。

设f （x ）=e x +x 2
+3,则函数f (x )在[1，2]上为增函数，其最小值为f (1）=e +1+3=e +4， 故m ≤e +4。

答案:（-∞,e +4]
15。

（2017山东高考)在平面直角坐标系xOy
中,双曲线x 2
a 2
−
y 2b
2
=1(a>0,b>0）的右支与焦点为F
的抛物线x 2
=2py （p>0）交于A ，B 两点，若|AF|+｜BF|=4｜OF|,则该双曲线的渐近线方程为 。

解析:抛物线x 2
=2py 的焦点F (0,p 2),准线方程为y=-p
2。

设A (x 1，y 1）,B （x 2,y 2)，则|AF ｜+｜BF ｜=y 1+p 2+y 2+p 2=y 1+y 2+p=4｜OF|=4·p
2
=2p 。

所以y 1+y 2=p 。

联立双曲线与抛物线方程得{x 2a 2-y 2
b 2
=1,
x 2
=2py ,
消去x ，得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2
=0。

所以
y 1+y 2=2pb
2
a 2
=p ，所以b
2
a 2
=1
2。

所以该双曲线的渐近线方程为y=±√2
2
x 。

答案:y=±√2
2x
16.已知f （x ）=x 3+3x 2
+a （a 为常数）在［-3,3]上有最小值3,那么f （x )在［-3,3］上的最大值是 .
解析:f'(x )=3x 2
+6x ，令f'（x ）=0，
得x=0或x=—2。

又∵f （0）=a ,f （-3)=a ，
f （-2)=a+4,f （3)=54+a ,
∴f (x )的最小值为a ,最大值为54+a.
由题可知a=3，∴f (x ）的最大值为57。

答案:57
三、解答题（本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明，共70分）
17.（本小题满分10分)已知p ：x 2
—6x+5≤0，q ：x 2
—2x+1-m 2
≤0（m 〉0）. （1）若m=2,且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 充分不必要条件,求实数m 的取值范围. 解（1）由x 2
-6x+5≤0,得1≤x ≤5,∴p :1≤x ≤5。

当m=2时，q ：—1≤x ≤3。

若p ∧q 为真,p ，q 同时为真命题， 则{1≤x ≤5,
-1≤x ≤3,即1≤x ≤3.
（2）由x 2
—2x+1-m 2
≤0，得q :1—m ≤x ≤1+m.
∵p 是q 充分不必要条件, ∴［1,5]⫋[1-m ，1+m ］,
∴{m >0,
1-m ≤1,1+m ≥5,
解得m ≥4.
∴实数m 的取值范围为m ≥4.
18.(本小题满分12分)已知函数f （x )=ax 2
-43
ax+b ，f (1)=2，f'（1）=1.
(1)求f (x ）的解析式；
(2)求f (x )在(1,2）处的切线方程. 解(1）f'（x ）=2ax-43
a ,
由已知得{f '(1)=2a -43a =1,f (1)=a -43a +b =2,解得{a =3
2
,
b =5
2
,
∴f （x )=32x 2—2x+5
2
.
（2）函数f （x ）在（1,2）处的切线方程为y —2=x-1，即x —y+1=0。

19。

（本小题满分12分）设命题p :函数f （x )=lg (ax 2-x +a
16)的定义域为R ;命题q ：不等式
3x —9x
<a 对一切正实数x 均成立。

(1）如果p 是真命题,求实数a 的取值范围；
（2）如果命题“p ∨q ”为真命题,且“p ∧q ”为假命题,求实数a 的取值范围。

解（1）若命题p 是真命题，则有:①当a=0时，定义域为{x|x 〈0｝,不符合题意；②由
{a >0,1-4a ×a 16<0得{a >0,
a >2或a <-2,
∴a>2。

因此，实数a 的取值范围为（2,+∞）。

(2)若命题q 是真命题,则不等式3x —9x
〈a 对一切正实数x 均成立。

令t=3x
，t 〉1,y=t-t 2
. 当t=1时,y max =0，∴a ≥0.
若命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题,则p ,q 一真一假。

①若p 真q 假，则{a >2,
a <0,此时a 无解。

②若p 假q 真,则{a ≤2,
a ≥0,
得0≤a ≤2.
综上，实数a 的取值范围为0≤a ≤2。

20.
导学号01844063(本小题满分12分）
已知椭圆x 2
a 2+y
2
b
2=1（a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,短轴两个端点为A ，B ,且四边形F 1AF 2B 是
边长为2的正方形。

(1）求椭圆的方程;
(2)若C ，D 分别是椭圆的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ,连接CM ,交椭圆于点P 。

证明：OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP
⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值。

（3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线
DP ,MQ 的交点。

若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
（1)解a=2，b=c ，a 2
=b 2
+c 2
,∴b 2
=2,
∴椭圆方程为x 24+y 2
2=1。

(2)证明C (-2，0)，D (2,0),设M (2，y 0），P (x 1,y 1），
则OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1，y 1),OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，y 0）。

直线CM :y=y 04（x+2),即y=y
04x+12
y 0,代入椭圆方程x 2
+2y 2
=4，
得(1+y 02
8)x 2
+12y 02
x+12y 0
2—4=0.
∵x 1=—12
·4(y 02-8)
y 0
2+8，∴x 1=-2(y 0
2-8)
y 0
2+8
， ∴y 1=8y
y 0
2+8,
∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2(y 02-8)y 02+8
,8y 0y 02+8
)，
∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—4(y 02-8)y 02+8
+8y 02y 02+8
=4y 02+32y 02
+8
=4（定值）。

（3)解设存在Q (m ,0)满足条件，则MQ ⊥DP 。

MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（m —2,-y 0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4y 02y 02+8,8y 0y 02+8
)， 则由MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得-4y 02y 02+8（m-2)—8y 02y 02+8
=0, 从而得m=0，
∴存在Q （0,0）满足条件.
21.导学号01844064(本小题满分12分)（2017全国Ⅲ高考)已知函数f (x )=ln x+ax 2+(2a+1）x.
(1)讨论f （x ）的单调性；
（2)当a 〈0时,证明f (x ）≤—34a —2。

解(1）f (x )的定义域为（0，+∞）,f’(x )=1x +2ax+2a+1=(x+1)(2ax+1)x
. 若a ≥0，则当x ∈（0，+∞）时，f'(x ）〉0，故f （x ）在(0，+∞）单调递增。

若a 〈0，则当x ∈(0,-12a )时,f’(x )〉0;
当x ∈(-12a ,+∞)时，f'（x )〈0.
故f （x )在(0,-12a )单调递增,在(-12a ,+∞)单调递减.
(2）由(1）知,当a 〈0时,f (x ）在x=-12a 取得最大值，最大值为f (-12a )=ln (-12a )—1-14a 。

所以f (x )≤—34a -2等价于ln (-12a )-1—14a ≤-34a —2，
即ln (-12a )+12a +1≤0.
设g （x ）=ln x-x+1，则g'（x )=1x
—1。

当x ∈（0，1）时,g'（x )>0;
当x ∈(1，+∞）时，g’（x ）〈0。

所以g (x ）在(0，1)单调递增，在（1，+∞)单调递减.
故当x=1时,g (x ）取得最大值，最大值为g (1)=0.
所以当x>0时,g （x ）≤0。

从而当a<0时，ln (-12a )+12a +1≤0，
即f （x ）≤—34a —2。

22.导学号01844065(本小题满分12分）（2017天津高考）已知椭圆x 2a 2+y 2b
2=1(a 〉b>0）的左焦点为F (-c ，0)，右顶点为A ,点E 的坐标为(0，c )，△EFA
的面积为b 22. （1）求椭圆的离心率;
(2)设点Q 在线段AE 上，｜FQ|=3
2c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c. ①求直线FP 的斜率；
②求椭圆的方程.
解(1)设椭圆的离心率为e.
由已知，可得12(c+a )c=b 2
2. 又由b 2=a 2—c 2，可得2c 2+ac —a 2
=0,
即2e 2+e —1=0.
又因为0〈e<1，解得e=12
. 所以,椭圆的离心率为12。

（2）①依题意，设直线FP 的方程为x=my-c （m 〉0),
则直线FP 的斜率为1m .
由（1)知a=2c ，可得直线AE 的方程为x 2c +y c =1，
即x+2y —2c=0，
与直线FP 的方程联立,可解得x=
(2m -2)c m+2, y=3c m+2， 即点Q 的坐标为((2m -2)c m+2,3c m+2
). 由已知｜FQ ｜=32c ,有[
(2m -2)c m+2+c]2+(3c m+2)2=(3c 2)2， 整理得3m 2-4m=0,所以m=43,即直线FP 的斜率为34
. ②由a=2c ，可得b=√3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1。

由①得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0,
与椭圆方程联立{3x -4y +3c =0,x 24c 2+y 23c 2=1,消去y ,整理得7x 2+6cx —13c 2=0，
解得x=—13c 7
(舍去）或x=c 。

因此可得点P (c ,3c 2),进而可得｜FP ｜=√(c +c )2+(3c 2)2
=5c 2
， 所以｜PQ ｜=|FP|—|FQ ｜=5c 2−3c 2=c 。

由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP 。

因为QN ⊥FP ，所以｜QN|=｜FQ ｜·tan∠QFN=3c 2×34=9c 8
, 所以△FQN 的面积为12｜FQ ｜｜QN ｜=27c 232，
同理△FPM的面积等于75c2
32
,
由四边形PQNM的面积为3c，得75c2
32−27c2
32
=3c，
整理得c2=2c，又由c>0,得c=2。

所以,椭圆的方程为x2
16+y2
12
=1。